1、3.1 3.2 柯西不等式1.二元均值不等式有哪几种形式？答案： 及几种变式.(0,)2abab2.已知 a、 b、 c、 d为实数，求证 222()()cdacb证法：（比较法） =.=2()(0d定理：若 a、 b、 c、 d为实数，则 .222()()ab变式： 或 22|cdA2|cdabA或 .c定理：设 ，则1212,nnabR 22 2112()()()nnabbaba （当且仅当 时取等号，假设 ）12n 0i变式： . 2 2112()nnaaa定理：设 是两个向量，则 .,|A等号成立？（ 是零向量，或者 共线）,练习：已知 a、 b、 c、 d为实数，求证 .2222()
2、()abcdacbd证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式： 定理：设 ，则 .12,xyR22221 11()()xyxyxy变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3,y例 1：求函数 的最大值？102yxx分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 变式： 推广：3102yxx ,(,)yabxcdefxabcdefR例 2：若 ， ，求证： .,xyR2y12xy分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造）要点： 22221 1()()()xy xy讨论：其它证法（利用基本不等式）练习：已知 ，求 的最小值.321xy2x
3、y解答要点：（凑配法） .222111()(3(3)xyxy讨论：其它方法 （数形结合法）练习：已知 、 ，求证： .abR1()4ab例 1：已知 ，求 的最小值.321xyz22xyz练习：若 ，且 ，求 的最小值.,xyzR1xyz23yzx变式：若 ，且 ，求 的最小值. ,xyzR1xyz22xyz变式：若 ，且 ，求 的最大值.,xyzR1xyzxyz例 2：若 ，求证： .abccaba41要点： 211()()()(14cbc例 3已知正数 ,abc满足 1c 证明 2233abcabc证明：利用柯西不等式 23131222ab22333abcc233abc 1abc又因为 2
4、2ab 在此不等式两边同乘以 2，再加上 22得：3abcc223322ababc故2233abcabc例 4 设 p是 ABC内的一点， ,xyz是 p到三边 ,的距离， R是 ABC外接圆的半径，证明 221xyzabcR证明：由柯西不等式得， 11xyzaxbycz 1axbyczabcA记 S为 ABC的面积，则 242SR12abccaxyz bcaR221bc故不等式成立。练习：已知实数 ,abcd满足 3abcd， 22365abcd试求 a的最值解：由柯西不等式得，有 22216即 22236bcdbc由条件可得， 2253a解得， 1a当且仅当 3611d 时等号成立，代入
5、,36bcd时， max2 21,3bc时 min1a3.3 排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组: ; . 是 ， 的任一排列,则12ana12bnb12,cnc12,bnb有+ (同序和)1a+ (乱序和)2cn+ (反序和)11nab1b当且仅当 = 或 = 时，反序和等于同序和.2n2n排序不等式的应用：例 1：设 是 n个互不相同的正整数，求证：,. 3212123na证明过程：设 是 的一个排列，且 ，则 .12,nb1,na 12nb12,nbb又 ，由排序不等式，得23321 122n nba小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知 为正数，求证： .,abc332222()()()()abcacbacb解答要点：由对称性，假设 ，则 ，于是 ， ， 222222两式相加即得.
