1、第 0 页目录第一章 集合2第二章 函数152.1 函数及其性质152.2 二次函数 212.3 函数迭代 282.4 抽象函数 32第三章 数列373.1 等差数列与等比数列373.2 递归数列通项公式的求法 443.3 递推法解题48第四章 三角 平面向量 复数51第五章 直线、圆、圆锥曲线60第六章 空间向量 简单几何体68第七章 二项式定理与多项式75第八章 联赛二试选讲 828.1 平几名定理、名题与竞赛题 828.2 数学归纳法 998.3 排序不等式 103第 1 页第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：
2、集合思想、集合 语言和集合的符号在高中数学的很多章 节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学 竞赛中出现的问题 .1.1 集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3集合的分类：无限集、有限集、空集 .4. 集合间的关系：二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集：记 A、B 是两个集合，则所有属于
3、A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 .BA即 且 .x2.集合的运算性质(1) , (幂等律 );(2) , (交换律);B(3) , (结合律);)(CAB)CBA(4) , (分配律);( )(5) , (吸收律);)(B)(6) (对合律);ACU(7) , (摩根律)(CBU)(BCAU(8) , .( B3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出 (互为充要条件),即等价;第 2 页(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合
4、相等的必要条件.【典例精析】【例 1】在集合 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之,2n和是 .分析 已知 的所有的子集共有 n2个.而对于 ,显然 中, ,21ni,21n包含 的子集与集合 的子集个数相等.这就说明 在集合i ,1,21i i的所有子集中一共出现 次,即对所有的 求和,可得,21n ni ).(21ninS【解】集合 的所有子集的元素之和为, )1(2n= .2)1(n说明 本题的关键在于得出 中包含 的子集与集合 的子,21n i ,1,2ni 集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例 2】已知集合 且 ,求参
5、数034|,03| 222 axBxA BA的取值范围.a分析 首先确定集合 A、B,再利用 的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得 0)3(|,12| axx当 时, ,由 知无解;0a3|axBB当 时, ,显然无解; 当 时, ,由 解得|xA.321a综上知,参数 的取值范围是 .a321说明 本题中,集合的定义是一个二次三 项式,那么寻于集合 B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例 3】已知 ,集合 .若Ryx, 1,2,1,2 yxxA,则 的值是( )BA2A.5 B.4 C.25 D.10【解】 , ,且 及集合中元素的互异性知0)1(2xxx1
6、2 012第 3 页,即 ,此时应有xx121.112xx而 ,从而在集合 B 中,Ry .yy由 ,得A)3(212yx由(2)(3)解得 ,代入(1) 式知 也满足(1) 式.,1,1yx.522yx说明 本题主要考查集合相等的的概念 ,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例 4】已知集合 .若 ,|,0),lg(,yxBxyABA求 + 的值.)1()(2yx)1208分析 从集合 A=B 的关系入手,则易于解决.【解】 , ,根据元素的互异性,由 B 知 .BA0)lg(|xy 0,yx且
7、, ,故只有 ,从而00.1xy又由 及 ,得1.1所以 或 ,其中 与元素的互异性矛盾!|xy1yx所以 代入得:,1+ =( )+2+( )+2+( )+2=0.)()(2yx)1(208yx22说明 本题是例 4 的拓展,也是考 查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例 5】已知 A 为有限集,且 ,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等 ,*N写出所有这样的集合 A. 【解】设集合 A= 且 ,由)1(,21na na21 na21第 4 页,na21,得 ,即*)
8、(Nnnna21 na21)!1()!1(n或 (事实上,当 3时,有 .3 2)()!( 当 时, ,而2,112121 a ,2当 时, ,n 3233 a.1a由 ,解得3a.综上可知, .21A说明 本题根据集合中元素之 间的关系找到等式,从而求得集合 A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例 6】已知集合 ,若 ,求实数02|,023|2 axSxP PS的取值组成的集合 A.a【解】 ,设 .1|xaf)(2当 ,即 时, ,满足 ;04)2(a1SP当 ,即 或 时,若 ,则 ,不满足 ,故舍去;0aSP若 时,则 ,满足 .1S
9、当 时,满足 等价于方程 的根介于 1 和 2 之间.04)2(a 02ax即 .034120)2(1af或 综合得 ,即所求集合 A .1|a说明 先讨论特殊情形(S= ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对 分类讨论,确定 的a取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论 .0【例 7】(2005 年江苏预赛)已知平面上两个点集 R, 2(,)|1|(),MxyxyR. 若 , 则 的取值范围是(,|1|,NxyayxyNa第 5 页【解】由题意知 是以原点为焦点、直线 M10xy为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， 是以 为N(,)a中心的正方形及其内部的点集(如图) 考察 时, 的取值范
10、围:Na令 , 代入方程 ,1y2|1|()xyxy得 ，解出得 所以，240x6当 时, 6aMN令 ，代入方程 , 得 . 解出得2y 2|1|()xyxy2610x所以，当 时, 310x30a因此, 综合 与 可知，当 ，即 时, 630a,31a故填 .MN16,30【例 8】已知集合 , ,其中 ,42aA,24321aB4321a.若 , .且 中的所有元素之和为 124,求a4321, 104BA集合 A、B.【解】 ,且 , ,又 ,所以4321a41a21Na.1又 ,可得 ,并且 或04a92.23若 ,即 ,则有 解得 或 (舍)922 ,835363此时有 .1,25
11、531BA若 ,即 ,此时应有 ,则 中的所有元素之和为 100 124.不合题意.23aaBA综上可得, .89说明 本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例 9】满足条件 的函数 形成了一个集合 M,其中|4)(| 2121xxg)(xg-2 -1 4 6-3 5 7-1yx1231 2 3O第 6 页,并且 ,求函数 与集合 M 的关系.Rx21, 1,2x )(23)(2Rxxfy分析 求函数 集合 M 的关系,即求该
12、函数是否属于集合 M,也就是判断3)(f该函数是否满足集合 M 的属性.【解】 |3|)23()2(|)(| 2121121 xxxxfxf取 时, 65,421 .|4|9| 11f由此可见, .)(xf说明 本题中 M 是一个关于函数的集合 .判断一个函数 是否属于 M,只要找至一个或几)(xf个特殊的 使得 不符合 M 中的条件即可证明ix)(if .M【例 10】对集合 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数208,1按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如 的“交替和”是9,6421,集合 的“交替和”是 107=3,集合 的“交替和”是 5 等等.64
13、69,75试求 A 的所有的“交替和” 的总和.并针对于集合 求出所有的“交替和”.,n分析 集合 A 的非空子集共有 个,显然,要想逐个 计算“交替和”然后相加是不可能的.必1208须分析“交替和” 的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如1,2,3,4 的非空子集共有 15 个,共“交替和”分别为:1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除4以
14、外,可以把1,2,3,4的子集分为两类: 一类中包含 4,另一类不包含 4,并且构成这样的对应:设是1,2,3,4中一个不含有的子集,令 与 相对应 ,显然这两个集合的“交替和”的和iAiAi4为 4,由于这样的对应应有 7 对,再加上4的“交替和” 为 4,即1,2,3.4 的所有子集的“交替和”为 32.【解】集合 的子集中,除了集合 ,还有 个非空子集.将其分为208,1 208208两类:第一类是含 2008 的子集 ,第二类是不含 2008 的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果 是第二类的,则必有 是第一类的集合;如果 是第一类中的集合,则 中iAiAjBjB除 2008 外,
15、还应用 1,2,2007 中的数做其元素,即 中去掉 2008 后不是空集,且是第二类j中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得 A 的所有子集的“交替和”为 .208208)2(1708 同样可以分析 ,因为 个元素集合的子集总数为 个( 含 ,定义其“交替和”,n n2第 7 页为 0),其中包括最大元素 的子集有 个,不包括 的子集的个数也是 个,将两类子集n12n 12n一一对应(相对应的子集只差一个元素 ),设不含 的子集 “交替和”为 S,则对应的含 子集的“交替和”为 ,两者相加和为 .故所有子集的“交替和”为S .1n说明 本题中退到最简,从特殊到
16、一般的思想及分 类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例 11】一支人数是 5 的倍数的且不少于 1000 人的游行队伍，若按每横排 4 人编队，最后差 3 人；若按每横排 3 人编队，最后差 2 人；若按每横排 2 人编队，最后差 1 人，求这支游行队伍的人数最少是多少？分析 已知游行队伍的总人数是 5 的倍数，那么可设总人数为 .“按每横排 4 人编队，最后n5差 3 人”，从它的反面去考 虑，可理解为多 1 人，同 样按 3 人、2 人编队都可理解为“多 1 人”，显然问题转化为同余问题. 被 4、3、2 除时都余地，即 是 12
17、的倍数，再由总人数不n1少于 1000 人的条件，即可求得 问题的解.【解】设游行队伍的总人数为 ，则由题意知 分别被 4、3、2 除时均余 1，)(5Nn5即 是 4、3、2 的公倍数，于是可令 ，由此可得：15n )(12Nmn要使游行队伍人数最少，则式中的 应为最少正整数且 为 5m m的倍数，应为 2.于是可令 ，由此可得：)(25pq， 1)25(1pn 560n所以 ， .064取 代入式，得71427故游行队伍的人数最少是 1045 人.说明 本题利用了补集思想进 行求解，对于题目中含有“至少”、 “至多”、 “最少”、 “不都”、 “都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反
18、面（反义词）考虑 ，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁 为简、化 难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例 12】设 且 15， 都是1，2，3， 真子集， ，且nNBA, nAB=1，2，3， .证明： 或者 中必有两个不同数的和为完全平方数.AB【证明】由题设，1，2，3， ， 的任何元素必属于且只属于它的真子集 之一.n ,假设结论不真，则存在如题设的1，2，3， 的真子集 ，使得无论是 还nBA,A是 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.B不妨设 1 ，则 3 ，否则 1+3= ，与假设矛盾，所以 3 .同样 6 ，所A2 第 8 页
19、以 6 ，这时 10 ， ，即 10 .因 15，而 15 或者在 中，或者在 中，但当ABnAB15 时，因 1 ，1+15= ，矛盾；当 15 时，因 10 ，于是有 10+15= ，仍24 25然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基 础.因此，深刻理解集合的概念 ,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样
20、的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006 年江苏预赛) 设在 平面上， ， 所围成图形的面积为 ，xOy20xy131则集合 的交集 所表示的图形面,1),(yxM),(NNM积为( ) A. B. C. D.312342. (2006 年陕西预赛) 为实数,集合 M= 表示把集合 M 中的元ba xfaPb:,0,1素 映射到集合 P 中仍为 ,则 的值等于( )xxA. B.0 C.1 D.13. (2004 年全国联赛)已知 M= ，N= ，若对于所32|),yxbmxy|),(有的
21、 ，均有 则 的取值范围是RmNMbA B.（ ）C.（ ） D. 26,26,3,32,4. (2005 年全国联赛) 记集合 ,654,10T,431,|74321iTaaMi将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2005 个数是（ ）A B432657 4327657C D701015. 集合 A,B 的并集 AB=a1,a2,a3，当且仅当 AB 时，(A,B)与(B,A) 视为不同的对，则这样的(A,B) 对的个数有 ( )第 9 页A.27 B.28. C.26 D.256.设 A=n|100n600,nN，则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为_.
22、7. 已知 , .若2430,AxxR120,(7)50,xBaxR且 ,则实数 的取值范围是 .Ba8. 设 M=1,2,3,1995，A 是 M 的子集且满足条件: 当 xA 时,15x A，则 A 中元素的个数最多是_.9. (2006 年集训试题)设 n 是正整数，集合 M=1，2，2n求最小的正整数 k，使得对于 M 的任何一个 k 元子集，其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 10. 设 | , ，Aa2xyZ求证： ( )； .12 ()kAZ11.（2006 年江苏）设集合 ， 若12log3Ax21aBx，求实数 的取值范围ABa12. 以某些整数为元素的集合 具有下列性质
23、： 中的元素有正数，有负数； 中的PPP元素有奇数,有偶数；1 ；若 ， ,则 试判断实数 0 和 2 与集合xyxy的关系.P(B 组)1. 设 为满足下列条件的有理数的集合：若 ， ，则 + ，SaSbabS；对任一个有理数 ，三个关系 ， ， 0 有且仅有一个成立.证abrrr明： 是由全体正有理数组成的集合.2 为非空集合，对于 1，2，3 的任意一个排列 ，若 ，则321, kji,jiyx,kSyx（1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3已知集合： 问1|),(,1|),(,1|),( 2 yxCayxByaxA（1）当 取何值时， 为含有两个元素的集合？aC（2）当 取何值时， 为含有三个元素的集合？)(4已知 ,2(,)470,AxyxyxR.1,B请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合 A 与 B 的距离定义;依据中的定义求出 与 的距离.AB
