1、涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅1坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点()Pxy (0):xyA对应到点 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换., )2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单OOx位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两
2、条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设 M 是平面内一点,极点 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线OOx为终边的角 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对 叫做点 M 的极坐标,记作 .Ox()(,)一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.0,特别地,当点 在极点时,它的极坐标为(0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标0,2 ()表示的点也是唯一确定
3、的.(,)3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐M()xy涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅2标是 ( ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:,)0点 M直角坐标 (,)xy极坐标 (,)互化公式cosiny22tan(0)xy在一般情况下,由 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.tan4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆r (02)r
4、圆心为 ,半径为 的圆(0)rr 2cos()2r圆心为 ,半径为 的圆()2rr sin(0)r圆心为 ,半径为 的圆()rr 2si()r过极点,倾斜角为 的直线(1) ()()RR或(2) 00和过点 ,与极轴垂直的直线(0)a cos()2a过点 ,与极轴平行的直()2线sin(0)a涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅3注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 都表(,)2),(),(),示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于
5、极坐标方程 点 可以表示为,(,)4M等多种形式,其中,只有 的极坐标满足方程 .5(,2)(,2)444或 或 - 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 ，半径为 r，求圆的极坐标方程。0(,)M设 为圆上任意一点，由余弦定理，得(,)PPM2 = OM2 +OP2 2OMOPcosPOM ，则圆的极坐标方程是： 222000cos r（2）直线的极坐标方程若直线 l 经过点 ，且极轴到此直线的角为 ，求直线 l0(,)M的极坐标方程。设直线 l 上任意一点的坐标为 P(，) ，由正弦定理，得：= OPsin OMP OMsin OPM整理得直线 l 的极坐标方程为00
6、si si6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 ：)0(a acos2acos2 sin2in)(MP 00 O xxOP(，)M(0， 0)l00涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅46、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： 0cosacosa sinain)(cos2aa xO M图 2sin2aaxOM图 4 sin2aaxOM图 5cos2aa xOM图 3aa xO M图 1 ),(a)cos(2aa xOM图 600xO M图 1（ ， ） cosaaO M图 2 cosaaOM 图 3sina
7、OM图 4a sinaOM 图 5a),(a)cos(aOMpN图 6（ ， ）a涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅5（二） 、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 ,并,xyt()xftyg且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点 都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的t ()M参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的,xyt方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不
8、同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求出另一个变数与,xyt()xft参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()ygt()ftg的取值范围保持一致.,x注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，OrM0 O设 ，则 。(,)Mxycos()inr为 参 数这就
9、是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度。r0M圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，(,)ab22()()xaybr它的参数方程为： 。cosinxary为 参 数4椭圆的参数方程以坐标原点 为中心，O焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为 ，x21(0),xyabcos()inxayb为 参 数涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅6其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方程是 其参数方程为 y21(0),yxabcos(),inxbya为 参 数其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为
10、0，2 ） 。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范围内） ，在其他任何 02一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。025双曲线的参数方程以坐标原点 为中心，O焦点在 轴上的双曲线的标准议程为 其参数方程为x21(0,),xyab，其中sec()tanyb为 参 数 30,),.2且焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为21(0,),yxabcot(0,).sxbeya为 参 数 ， 其 中 且以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物
11、线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为2(0)ypx2().xpty为 参 数7直线的参数方程经过点 ，倾斜角为 的直线 的普通方程是 而过0(,)Mxy()2l00tan(),yx，倾斜角为 的直线 的参数方程为 。0(,)l0cosinxty()t为 参 数注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为0(,)Ml，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点 为终点的有向线段0cosinxty()t为 参 数 tl0(,)Mxy的数量，当点 在 上方时， 0；当0M0Mt涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李
12、军波 魏军燕 张利梅7点 在 下方时， 0；当点 与 重合时， =0。我们也可以把参数 理解为以 为原点，直M0tM0t t0M线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。l其中参数 t 是以定点 P（x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M（x，y ）为终点的有向线段 PM的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA和 tB，则 1 ABtBtt4)(2线段 AB 的中点所对应的参数值等于 2 2BAt三）例题鉴赏例 1（2012 湖北）(23)( 本小题满分
13、10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy中，圆 2:4Cxy，圆 22:(Cxy。()在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 12,C的极坐标方程，并求出圆12,C的交点坐标(用极坐标表示)； () 求出 1与 的公共弦的参数方程。涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅8例 2（坐标系与参数方程）直线 2cos1与圆 2cos相交的弦长为 3解析：化极坐标为直角坐标得直线 3,()1, 2=.xy圆 由 勾 股 定 理 可 得 相 交 弦 长 为例 3（陕西文 17）直角坐标系 中，以原点 O 为极点
14、， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点yxA，B 分别在曲线 ： （ 为参数）和曲线 ： 上，则 的最小值为 1 1C3cosinx2C1|AB【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程【解】曲线 的方程是 ，曲线 的方程是 ，两圆外离，所以 的最小值12(3)1xy221xy|为 230例 4（浙江理科）已知直线 ， 为参数， 为 的倾斜角，且 与曲线 :lsincotyxt(l0)为参数 相交于 A、B 两点，点 的坐标为sinco2:yxC()F)0,1(（1）求 的周长； （2）若点 恰为线段 的三等分点，求 的面积。ABF)0,1(EABABF解：（1）将曲线 C 消去 可得： ，直线 过曲线 C 的左焦点 ，2yxl )0,1(由椭圆的定义可知 为 | FAFB242|)|(|)|(| aAF（2）可设直线 的方程为 ，若点 为线段 的三等分点，不妨设l1kyx)0,(EAB， ，则EB),(),(21 21y联立 ，消去 得：022kyxx0)(kk则 ，消去 得：21212ky2y7k此时 814322)1(8|21 kky涉县第一中学高二 1 级部数学理科 选修 4-4 知识点总结 总结人：李军波 魏军燕 张利梅9所以 8143|221yEFSAB
