1、高中数学专题-抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特殊模型 抽象函数正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函
2、数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或 )y(fx指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) 或对数函数 f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) )(fx)y(f或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )(fx1)yx(f余切函数 f(x)=cotx y目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例 1.若
3、函数 y = f（x）的定义域是2，2，则函数 y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 1 。解：f(x)的定义域是 ，意思是凡被 f 作用的对象都在 中。,2,评析：已知 f(x)的定义域是 A，求 的定义域问题，相当于解内函数 的不等式xfx问题。练习：已知函数 f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域。2,1xf3log21例 2：已知函数 的定义域为3，11，求函数 f(x)的定义域 。xf3log 1log,3评析： 已知函数 的定义域是 A，求函数 f(x)的定义域。相当于求内函数 的 x值域。练习：定义在 上的函数 f(x)的值域为 ，若它的反函数为 f-1(x)，则 y=f-
4、1(2-3x)的8,32,定义域为，值域为 。 8,340二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例 3.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1)0,则 f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令 x=y=0,得：,)1()1(, 2fnffynx得令f(0)=0,f(1)= ,21 .201)(f,2)(f,f()-f( 故即R 上的奇函数 y=f(x)有反函数
5、 y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数，则 f(2009)= .解析：由于求的是 f(2009)，可由 y=f-1(x+2)求其反函数 y=f(x)-2,所以 f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得 f(2009)=-4918.例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1, 且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.1解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1. 而 f(x+5)f(x)+5，所以 g(x+5)+(
6、x+5)-1g(x)+x-1+5 , 又 f(x+1)f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+x-1+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x). 所以 g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3) g(x+2)g(x+1),故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1, 故 g(2002)=1.71)( 7)1(,3)(,220)( 21),()(4311,)2(52bf bfff aaffaf同 理则设 可 解 得又 、练习： 1. f(x)的定义域为 ，对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ，则(0,)（ ）2.()f1。
7、2000的 值 是则且如 果 )201(f)5(f634)1(f2,)(f,y)x(f .( ,原式=16)2(1)ff22248(3)()(7)ffff()2nf3、对任意整数 函数 满足： ，若 ，则yx,xf1xyyfC)8(fA.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数 f(x)为 R 上的偶函数，对 都有 成立，若 ，则xR(6)(3)fxf(1)2f=（ ） （B）(205)fA . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f-1(x)，又 Y=f(x)过点（2，1） ，Y=f(2x)的反函数为 Y=f-1(2x)，则 Y=f-1(
8、16)为（ ） （A）A） B） C）8 D）161816的 值求的 值求均 有对 所 有上 的 函 数 ， 满 足 ，是 定 义 在为 实 数 ， 且、 已 知 )71(2)1( )(,0)(106fayafxyxf xffa三、值域问题例 4.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得 ，求函数 f(x)的值域。21x)(21xff解：令 x=y=0，有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立，这与存在实数 ，使得 成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。
9、21 )(21xff由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立，因此， ,又因为若0)2()xfff(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0)0 矛盾,所以 f(x)0.四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0u2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0u2)故 f(x)=-x2+3x+1 (0u2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 6、设对满足
10、x0,x1 的所有实数 x，函数 f(x)满足, ,求 f(x)xfx1的解析式。解: - (1),x0( 1)x(f) 且（2）):1-f得代 换用-（3）:)(- 得中 的代 换再 以 .1)(x-1(xf)0 2xf:2)(313且得由小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例 7.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:易知 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得
11、 :a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN; f(n 1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N* ;f(2)=4 同时成立 ?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件,得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2 x (xN*) (数学归纳证明 略） 小结：对于定义在正整数集 N*上的抽象函数,用数
12、列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、已知 是定义在R上的偶函数，且 恒成立，当)(xf )21()3(xff时， ，则当 时，函数 的解析式为（ D ）3,2x)0,2(xA B C D 4113x解：易知 T=2，当 时, , ;)1(x,x )(4)(xff当 时 , .故选 D。)0,1(x3,2x )(2)( xffxf 小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。练习：1、 .23|)x(f:|,)x1(f2),x(f,)x(fy 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设
13、解: ，03 ,12,x2与 已 知 得得代 换用 .|)x(f,04)(9f 02得由2.（2006 重庆）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解析表达式。22222(),)- ()-3(3,(1),I xff faaa解 ： 因 为 对 任 意 有所 以又 由 得 ） 即若 则 即 00200 022(I)(). (, ()()xRfxfxffxxfx因 为 对 任 意 ， 有又 因 为 有 且 只
14、有 一 个 实 数 ， 使 得所 以 对 任 意 有在 上 式 中 令 ， 有再 代 ， 得 ， 故 =或 1若 ， 则 ， 即2 002 (,1.) xf R 但 方 程 有 两 个 不 相 同 实 根 ， 与 题 设 条 件 矛 盾 。 故若 1， 则 有 即 易 验 证 该 函 数 满 足 题 设 条 件 。综 上 ， 所 求 函 数 为3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0， （1）求的值； f（2）对任意的 ， ，都有 f(x1)+20 时 f(x)0,f(x 2-x1)0 时，f(x)1,且对于任意实数 x、y
15、，有 f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在 R 上为增函数。证明：设 R 上 x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定) 。取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f（0）=0,令 x0,y=0，则 f(x)=0 与 x0 时，f(x)1 矛盾，所以 f(0)=1，x0 时，f(x)10,x0，f(-x)1,由，故 f(x)0，从而 f(x2)f(x1).即 f(x)在 R 上)(1)()0( xfxff得是增函数。（注意与例 4 的解答相比较，体会解答的灵活性）例
16、 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2都有，且当 时 ，1212()(fxf1()0,(2)1ff（1）f(x)在(0,+) 上是增函数； （2）解不等式 x解： （1）设 ，则21x2211()()(xfff2211()()xxff ， ， ，即 ，2102121()f021()0fxf21()fxf 在 上是增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()fx,)（2） ， ， 是偶函数不等式(4)(2ff()fx可化为 ，又函数在 上是增函数，(1)fx2|x0,0 ，解得：2| 10| 2x且练习：已知函数 f(x)的定义域为
17、 R，且对 m、nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f( )21=0,当 x 时， f(x)0.求证： f(x)是单调递增函数；21证明：设 x1x 2,则 x2x 1 ,由题意 f(x2x 1 )0,f(x 2)f(x 1)=f( x2x 1)+x1f(x 1)=f(x2x 1)+f(x1)1f(x 1)=f(x2x 1)1=f (x2x 1)+f( )1=f (x2x 1) 0, f(x)是单调递增函数.例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y) 对任意正数 x,y 都成
18、立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;(3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围 .解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y),2x,x0:)2( nm121 且 使可 令设证 明 0)(f)(f)(fn得由故 f(x1)0 可得 f(a)f(b). ）k练习 4、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)0,当 x1 时,f(x)f(x2
19、),故 f(x)在 R+上为减函数.)(f)(f)(f 121121 )2()0,),3(,3, )(5 ，、，、 的 解 集 为， 则上 单 调 递 减 ， 且在、 奇 函 数练 习 DCBA Cfxfxbaff(练习 6、. 已知函数 ()fx的定义域为 0,1，且同时满足：(1)对任意 0,1，总有 ()2fx； (2) 3f(3)若 12,且 12，则有 1212()()fxfxf.(I)求 ()的值； (II)求 fx的最大值；(III)设数列 na的前 项和为 nS，且满足 *2(3),nnaN.求证： 123 13()()()ffffa .解：（I）令 0x，由 (3),则 0,
20、0f由对任意 ,，总有 ,fxf （2 分）（II）任意 12且 12，则 2121,()xfx2 1()()(fxfffma()3f（6 分）(III) *1(3nnSaN123)(nnSa13 3),0(8 分)13()()4nnnnnnnffffff1143()，即 14()f。22112214 43 3 33() (nn nnnfafafa 故122 13()()()nfff即原式成立。 （14 分）六、奇偶性问题例 13. （1）已知函数 f(x)(x0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数 f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前
21、提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与 f(x)的关系：取 y=-1 有 f(-x)=f(x)+f(-1),取 x=y=-1 有 f(1)=2f(-1)，取 x=y=1 有 f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数。（2）已知 y=f(2x+1)是偶函数，则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=21解析：f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2x)关于 2x=1 对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则 f
22、(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于 x=1 对称。例 14：已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 ，（2）)(1)(1xfyfxf存在正常数 a，使 f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。证明：设 t=x-y,则 ，所以 f(x)为)()()()() tfxfyfxyft 奇函数。例 15：设 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，又)(xfR)0,(。求实数 的取值范围。)12312(aaf a解析：又偶函数的性质知道： 在 上减，而 ，(xf),012a，所以由 得032 )3(2f，解得 。1312aa0a（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性
23、较大，可以作一些条件变换如： 等；也可将定义域作一些调整）)21()()( afff 或例 16：定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 3 且对任意 x，yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 f(k3 )+f(3 -9 -2)0 对任意 x R 恒成立，求实数 k 的取值范围x(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令 y=-x，代入 式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0，代入 式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log 30，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是2增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3 )-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2)， k3 -xxx x3 +9 +2，x3 -(1+k)3 +20 对任意 xR 成立令 t=3 0，即 t -(1+k)t+20 对任意 t02x x2恒成立
