1、高中物理中的弹簧问题归类剖析有关弹簧的题目在高考中几乎年年出现，由于弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的认识，不能建立与之相关的物理模型并进行分类，导致解题思路不清、效率低下、错误率较高.在具体实际问题中，由于弹簧特性使得与其相连物体所组成系统的运动状态具有很强的综合性和隐蔽性，加之弹簧在伸缩过程中涉及力和加速度、功和能、冲量和动量等多个物理概念和规律，所以弹簧试题也就成为高考中的重、难、热点，一、 “轻弹簧”类问题在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧” ，是一种常见的理想化物理模型.由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧，其两端所受张力一定平衡，否
2、则，这小段弹簧的加速度会无限大.故轻弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力.弹簧一端受力为 ，另一端受力一定也为 ,若是弹簧秤，则弹簧秤示数FF为 .F【例 1】如图 1 所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量 不能忽略，弹簧及挂m钩质量不计，施加水平方向的力 、 ，且 ，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 1F212，弹簧秤的读数为 .1、如右图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为 F 的拉力作用，而左端的情况各不相同： 中弹簧的左端固定在墙上， 中弹簧的左端受大 1 2小也为 F 的拉力作用， 中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动， 中弹 3
3、 4簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以L1、L 2、L 3 、 L4 依次表示四个弹簧的伸长量，则有：AL 2L1; B. L4L3;CL 1L3; D. L2=L4.2如图所示，在一粗糙水平面上放有两个质量分别为 m1、m 2 的铁块 1、2，中间用一原长为 L，劲度系数为 k 的轻弹簧连接起来，铁块与水平面的动摩擦因数为 。现有一水平力 F 拉铁块 2，当两个铁块一起以相同的加速度做匀速运动时，两铁块间的距离为 （ ）A BkgmFm/)(121 kgL/1C D/kL 23如图 34，木块用轻弹簧连接，放在光滑的水平面上，紧靠墙壁，在木块上施加向左的
4、水平力，使弹簧压缩，当撤去外力后 .尚未离开墙壁前，弹簧和的机械能守恒；.尚未离开墙壁前，系统的动量守恒；.离开墙壁后，系统动量守恒；.离开墙壁后，系统机械能守恒。二、质量不可忽略的弹簧【例 2】如图 3-7-2 所示，一质量为 、长为 的均质弹簧平放在光ML滑的水平面,在弹簧右端施加一水平力 使弹簧向右做加速运动.试分析F弹簧上各部分的受力情况.4 如图 30 所示，弹簧秤外壳质量为 m0，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊着一重物质量为 m，现用一方向竖直向上的外力 F 拉着弹簧秤，使其向上做匀加速运动，则弹簧秤的读数为：图 3-7-2图 1FFFFF1 23 4Fm0m图30图 34A.m
5、g; B. ; C. ; D.mg0F0Fm0三、弹簧的弹力不能突变(弹簧弹力瞬时)问题弹簧(尤其是软质弹簧)弹力与弹簧的形变量有关，由于弹簧两端一般与物体连接，因弹簧形变过程需要一段时间，其长度变化不能在瞬间完成，因此弹簧的弹力不能在瞬间发生突变. 即可以认为弹力大小和方向不变，与弹簧相比较，轻绳和轻杆的弹力可以突变.【例 3】如图 3-7-3 所示，木块 与 用轻弹簧相连，竖直放在木块 上，三者静置于地面，ABC的质量之比是 1:2:3.设所有接触面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块 的瞬时，木块 和ABC、 、 A的加速度分别是 = 与 = Aaa说明：区别于不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以
6、突变.【例 4】如图 3-7-4 所示，质量为 的小球用水平弹簧连接，并用倾角为 的光滑木板 托住，使小球恰好处于静m03B止状态.当 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 ( )BA. B.大小为 ，方向竖直向下0 23gC.大小为 ，方向垂直于木板向下 D. 大小为 , 方向水平向右23g四、弹簧长度的变化问题设劲度系数为 的弹簧受到的压力为 时压缩量为 ，弹簧受到的拉力为 时伸长量为 ，此时的“-”号表示k1F1x2F2x弹簧被压缩.若弹簧受力由压力 变为拉力 ，弹簧长度将由压缩量 变为伸长量 ，长度增加量为 .由胡克12 1x12x定律有: , .11()Fx2则: ,即22()kkx说
7、明:弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时 表示的物理意义是弹簧长度的改变量，并不是x形变量.【例 5】如图 3-7-6 所示，劲度系数为 的轻质弹簧两端分别与质量为 、 的物块 1、2 拴接，劲度1k 1m2系数为 的轻质弹簧上端与物块 2 拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态.现将物块2k1 缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块 2 的重力势能增加了 ,物块 1 的重力势能增加了 .五、弹簧形变量可以代表物体的位移弹簧弹力满足胡克定律 ，其中 为弹簧的形变量，两端与物体相连时 亦即物体的位移，因此弹簧可以与Fkx x运动学知识结
8、合起来编成习题.【例 6】如图 3-7-7 所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 ，其质量分别为 ， AB、 ABm、弹簧的劲度系数为 , 为一固定挡板，系统处于静止状态,现开始用一恒力 沿斜面方向拉 使之向上运动，求 刚kC F要离开 时 的加速度 和从开始到此时 的位移 (重力加速度为 ).AaAdg【答案】 ()sinABmgdk图 3-7-4图 3-7-7图 3-7-3图 3-7-6六、弹力变化的运动过程分析弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出
9、形变量 与物体空间位置变化的几何关系，分析x形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关.以此来分析计算物体运动状态的可能变化.结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果.此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动.结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程.【例7】如图3-7-8所示，质量为 的物体 用一轻弹簧与下方地面上质量也为 的物体 相连，开始时 和 均处mAmBAB于静止状态，此时弹簧压缩量为 ，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体 、另一端 握在
10、手中，各段绳0x AC均刚好处于伸直状态，物体 上方的一段绳子沿竖直方向且足够长.现在 端施加水平恒力 使物体 从静止开始向CF上运动.(整个过程弹簧始终处在弹性限度以内). (1)如果在 端所施加的恒力大小为 ，则在物体 刚要离开地面时物体 的速度为多大?C3gB(2)若将物体 的质量增加到 ，为了保证运动中物体 始终不离开地面，则 最大不超过多少?B2【答案】 02gx32m说明: 区别原长位置与平衡位置.和原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关,和平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关.七与弹簧相关的临界问题通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及临界极值问
11、题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两个物体速度相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等.此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论.【例 8】如图 3-7-9 所示， 两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块 的质量分别为 和 ，弹簧的AB、 AB、 0.42kg.0劲度系数 ，若在 上作用一个竖直向上的力 ,使 由静止开始以 的加速度竖直向上做匀加速运10/kNm F20.5/ms动（ ）求： 2gs(1) 使木块 竖直做匀加速运动的过程中，力 的最大值; A(2)若木块由静止开始做匀加速运动，直到 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了 ，求这一过程中 对
12、木AB、 .48JF块做的功.【答案】 （1） 4.1mFN29.6410FWJ【例 9】如图 3-7-11 所示，一质量为 的塑料球形容器，在 处与水平面接触.它的内部有一直立MA 图 3-7-9图 3-7-8图 3-7-11的轻弹簧，弹簧下端固定于容器内部底部，上端系一带正电、质量为 的小球在竖直方向振动，当加一向上的匀强电m场后，弹簧正好在原长时，小球恰好有最大速度.在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为 0，求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力.【答案】 Mgm2八、弹力做功与弹性势能的变化问题弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机械能守恒规律综合应用
13、,我们用公式计算弹簧势能，弹簧在相等形变量时所具有的弹性势能相等一般是考试热点.21PEkx弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量.弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以下四种方法求解:(1)因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算;(2)利用 图线所包围的面积大小求解;Fx(3)用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和;(4)根据动能定理、能量转化和守恒定律求解.由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解.特别是涉及两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代求解.
14、【例 10】如图 3-7-13 所示，挡板 固定在足够高的水平桌面上，物块 和 大小可忽略，它们分别带有 和PABAQ的电荷量，质量分别为 和 .两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与 连接，BQAmB B另一端连接轻质小钩.整个装置处于场强为 、方向水平向左的匀强电场中， 、 开始时静止，已知弹簧的劲度系E数为 ,不计一切摩擦及 、 间的库仑力, 、 所带电荷量保持不变， 不会碰到滑轮. k AB(1)若在小钩上挂质量为 的物块 并由静止释放，可使物块 对挡板 的压力恰为零，但不会离开 ,求物块 下MCPPC降的最大距离 .h(2)若 的质量为 ,则当 刚离开挡板 时,
15、 的速度多大 ?C2P【答案】 （1） （2）()ABEhQk()2ABMgEQvkm 图 3-7-13图 3-7-14【例 11】如图 3-7-14 所示，质量为 的物体 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 的物体 相连，弹簧的劲度1mA2mB系数为 ,物体 都处于静止状态.一不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体 ，另一端连接一轻挂钩.开始时各kAB、 A段绳都处于伸直状态，物体 上方的一段绳沿竖直方向.现给挂钩挂一质量为 的物体 并从静止释放，已知它恰好2C能使物体 离开地面但不继续上升.若将物体 换成另一质量为 的物体 ，仍从上述初始位置由静止释放，C12()mD则这次物体 刚离地时物体
16、的速度大小是多少?已知重力加速度为Dg【答案】212()mgvk说明： 研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用.九、弹簧弹力的双向性弹簧可以伸长也可以被压缩，因此弹簧的弹力具有双向性，亦即弹力既可能是推力又可能是拉力，这类问题往往是一题多解.【例 12】如图 3-7-15 所示，质量为 的质点与三根相同的轻弹簧相连，静止时相邻两弹簧间的m夹角均为 ，已知弹簧 对质点的作用力均为 ，则弹簧 对质点作用力的大小可能为 ( )012ab、 FcA、 B、 FgC、 D、Fmg十、弹簧振子弹簧振子的位移、速度、加速度、动能和弹性势能之间存在着特殊
17、关系，弹簧振子类问题通常就是考查这些关系，各物理量的周期性变化也是考查的重点.【例 13】如图 3-7-16 所示，一轻弹簧与一物体组成弹簧振子，物体在同一竖直线上的 间做简谐运动， 点为AB、 O平衡位置; 为 的中点，已知 ，弹簧振子周期为 ,某时刻弹簧振子恰好经过 点并向上运动,则从此时刻CAOChTC开始计时，下列说法中正确的是 ( )A、 时刻，振子回到 点4TtB、 时间内，振子运动的路程为24hC、 时刻，振子的振动位移为38t 0D、 时刻，振子的振动速度方向向下T十一、弹簧串、并联组合弹簧串联或并联后劲度系数会发生变化，弹簧组合的劲度系数可以用公式计算，高中物理不要求用公式定
18、量分析，但弹簧串并联的特点要掌握:弹簧串联时，每根弹簧的弹力相等;原长相同的弹簧并联时，每根弹簧的形变量相等.【例 14】 如图 3-7-17 所示，两个劲度系数分别为 的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连接，并有一光滑的轻12k、滑轮放在细线上;滑轮下端挂一重为 的物体后滑轮下降，求滑轮静止后重物下降的距离.G图 3-7-17图 3-7-16图 3-7-15【答案】 12()4Gk十二、通电的弹簧【例 15】如图 3-7-18 所示装置中，将金属弹簧的上端固定，下端恰好浸入水银，水银与电源负极相连，弹簧上端通过开关 与电源正极相连.当接通开关 后，弹簧的运动情况如何?SS5如图所示，一质量 m
19、 的塑料球形容器放在桌面上，它的内部有一劲度系数为 k 的轻弹簧，弹簧直立地固定于容器内壁的底部，弹簧上端经绝缘物系住一只带正电 q、质量也为的 m 小球。从加一个向上的场强为 E 的匀强电场起，到容器对桌面压力减为零时为止。求：（1）小球的电势能改变量（2）容器对桌面压力减为零时小球的速度大小。十三、物体沿弹簧螺旋运动【例 16】如图 3-7-19 所示，长度为 的光滑钢丝绕成高度为 的弹簧，将弹簧竖直放置.一中间有孔的小球穿过钢LH丝并从弹簧的最高点 由静止释放，求经多长时间小球沿弹簧滑到最低点 .A B【答案】 2LgH十四、生产和生活中的弹簧弹簧在生产和生活中有着广泛的应用，近几年高考
20、中也出现了不少有关弹簧应用方面的试题.【例 17】如图 3-7-21 所示表示某同学在科技活动中自制的电子秤原理，利用电压表示数来指示物体质量，托盘与电阻可忽略的弹簧相连，托盘与弹簧的质量均不计，滑动变阻器的滑动头与弹簧上端连接;当托盘中没放物体且 闭合S时，电压表示数为零.设变阻器的总电阻为 、总长度为 ，电源电动势为 、内阻为 ，限流电阻阻值为 ，弹簧RLEr0R劲度系数为 ，不计一切摩擦和其他阻力.k图 3-7-18图 3-7-19(1)推导出电压表示数 与所称物体质量 的关系式.xUm(2)由(1)结果可知，电压表示数与待测物体质量不成正比、不便于进行刻度.为使电压表示数与待测物体质量
21、成正比，请利用原有器材进行改进并完成电路原理图，推导出电压表示数 与待测物体质量 的关系式.xUm【答案】 （1） （2）0()xmgREUkLr0()xmgREUkLr课后练习1如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板 M 的左端，右端与小木块 m 连接，且 m、M 及 M与地面间接触光滑开始时，m 和 M 均静止，现同时对 m、M 施加等大反向的水平恒力 F1 和 F2，从两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度，对于 m、M 和弹簧组成的系统（ ） 由于 F1、F 2 等大反向，故系统机械能守恒 当弹簧弹力大小与 F1、F 2 大小相等时，m、M 各自的动能最大 由于 F1
22、、F 2 大小不变，所以 m、M 各自一直做匀加速运动 由于 F1、F 2 等大反向，故系统的动量始终为零A B C D 2如图 34，木块用轻弹簧连接，放在光滑的水平面上，紧靠墙壁，在木块上施加向左的水平力，使弹簧压缩，当撤去外力后 .尚未离开墙壁前，弹簧和的机械能守恒；.尚未离开墙壁前，系统的动量守恒；.离开墙壁后，系统动量守恒；.离开墙壁后，系统机械能守恒。3如图 35 所示，两物体 A、 B 用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上，现同时对 A、B 两物体施加等大反向的水平恒力 F1、F 2，使 A、B 同时由静止开始运动，在运动过程中，对 A、B 两物体及弹簧组成的系统，正确的说法是（整个
23、过程中弹簧不超过其弹性限度）A.动量始终守恒; B.机械能始终守恒;C.当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大 ;D.当弹簧弹力的大小与F 1、F 2的大小相等时，A 、B两物速度为零4如图所示，质量 kg 和 kg 的两物体，叠放在动摩擦因数为 0.50 的粗糙水平地面上，一处于水平位01m302图 3-7-21图 35图 34置的轻弹簧，劲度系数为 250N/m，一端固定于墙壁，另一端与质量为 m1 的物体相连，弹簧处于自然状态，现用一水平推力 F 作用于质量为 m2 的物体上，使它缓慢地向墙壁一侧移动，当移动 0.40m 时，两物体间开始相对滑动，这时水平推力 F 的大小为（ ）A100N
24、 B 300N C200N D250N5.如图 521 所示，A 、 B 两物体的质量比 mAm B=3 2，它们原来静止在平板车 C 上，A 、 B 间有一根被压缩了的弹簧，A 、 B 与平板车上表面间动摩擦因数相同，地面光滑.当弹簧突然释放后，则有A.A、 B 系统动量守恒 B.A、 B、 C 系统动量守恒C.小车向左运动 D.小车向右运动6.如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方 A 位置有一只小球。小球从静止开始下落，在 B 位置接触弹簧的上端，在 C 位置小球所受弹力大小等于重力，在 D 位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是A 在 B 位 置 小 球
25、动 能 最 大B 在 C 位 置 小 球 动 能 最 大C 从 A C 位 置 小 球 重 力 势 能 的 减 少 大 于 小 球 动 能 的 增 加D 从 A D 位 置 小 球 重 力 势 能 的 减 少 等 于 弹 簧 弹 性 势 能 的 增 加7.光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为 2kg 的 A、B 两物块都以V0=6m/s 的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为 4kg 的物块 C 静止在前方，如图 8 所示。B 与 C 碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为 J 时，物块 A 的速度是 m/s。8质量都是 1kg 的物体 A、 B，中间用一轻弹簧连接，
26、放在光滑的水平地面上。现使 B物体靠在墙上，用力推物体 A 压缩弹簧，如图 21 所示。这个过程中外力做功为 8J，待系统静止后突然撤去外力。从撤去外力到弹簧第一次恢复到原长时 B 物体的动量为 。当 A、B 间距离最大时 B 物体的速度大小为 m/s。9如图 5 所示，质量为 M 的小车 A 右端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为 m 的小物块 B 从左端以速度 v0 冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车左端时刚好与车保持相对静止求整个过程中弹簧的最大弹性势能 EP 和 B 相对于车向右运动过程中系统摩擦生热 Q 各是多少？ABCDA B图 8C图 21AB图 510.如图所
27、示，一轻质弹簧一端固定，一端与质量为 m 的小物块 A 相联，原来 A 静止在光滑水平面上，弹簧没有形变，质量为 m 的物块 B 在大小为 F 的水平恒力作用下由 C 处从静止开始沿光滑水平面向右运动，在 O 点与物块 A 相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短） 。运动到 D 点时，将外力 F 撤去，已知 CO=4s，OD =s,则撤去外力后，根据力学规律和题中提供的信息，你能求得哪些物理量（弹簧的弹性势能等）的最大值？并求出定量的结果。11如图 9 所示，一劲度系数为 k=800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为 m=12kg 的物体 A、B。物体 A、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，
28、现要加一竖直向上的力 F 在上面物体 A 上，使物体 A 开始向上做匀加速运动，经 0.4s物体 B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取 g=10m/s2 ，求：（1）此过程中所加外力 F 的最大值和最小值。（2）此过程中外力 F 所做的功。12如图所示，质量 M=3.5kg 的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长 L=1.2m，其左端放有一质量为 0.5kg 的滑块 Q。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为 1kg 的小物块 P 置于桌面上的 A 点并与弹簧的右端接触。此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将 P 缓慢推至 B 点（弹簧仍在弹性限度内）时
29、，推力做的功为 WF=6J，撤去推力后，P 沿桌面滑到小车上并与 Q 相碰，最后 Q 停在小车的右端，P 停在距小车左端 0.5m 处。已知 AB 间距 L1=5cm，A 点离桌子边沿 C 点距离 L2=90cm，P 与桌面间动摩擦因数 ，P、Q4.01与小车表面间动摩擦因数 。 （g=10m/s 2）求：.02（1）P 到达 C 点时的速度 VC。（2）P 与 Q 碰撞后瞬间 Q 的速度大小。ABs4sDOCFABF图 913质量为 m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上平衡时，弹簧的压缩量为 x0，如图 1-9-15 所示一物块从钢板正上方距离为 3x0 的 A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动已知物块质量也为 m 时，它们恰能回到 O 点若物块质量为 2m，仍从 A 处自由落下，则物块与钢板回到 O 点时，还具有向上的速度求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离14如图 5 所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块 B 相连，木块 A 放在木块 B 上，两木块质量均为 m，在木块 A 上施有竖直向下的力 F，整个装置处于静止状态（1）突然将力 F 撤去，若运动中 A、B 不分离，则 A、B 共同运动到最高点时，B 对 A 的弹力有多大？（2）要使 A、B 不分离，力 F 应满足什么条件？
