1、第 1 页 共 34 页高中数学选修 4-4 全套教案第一讲 坐标系一 平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境 1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运
2、动的轨迹。情境 2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题 1：如何刻画一个几何图形的位置？问题 2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两
3、垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置第 2 页 共 34 页2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例 1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为 1 的正六边形的顶点。*变式训练如何通过它们到点 O 的距离以及它们相对于点 O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？例 2 已
4、知 B 村位于 A 村的正西方 1 公里处,原计划经过 B 村沿着北偏东 60 的方向设0一条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米出,发现一古代文物遗址 W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问:埋设地下管线 m 的计划需要修改吗?*变式训练1一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距800 米，并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程2在面积为 1 的 中， ，建立适当的坐标系，PMN2tan,21tanMNPP求以 M，N 为焦点并过点 P 的椭圆方程例 3 已知 Q（a,b ）,分别按下
5、列条件求出 P 的坐标（1）P 是点 Q 关于点 M（m,n）的对称点（2）P 是点 Q 关于直线 l:x-y+4=0 的对称点（Q 不在直线 1 上）*变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。思考通过平面变换可以把曲线 变为中心在原点的单位圆，请求出该复14)(9)1(22yx合变换？四、巩固与练习五、小 结：本节课学习了以下内容：1如何建立直角坐标系； 2建标法的基本步骤；3什么时候需要建标。五、课后作业：课本 P14 页 1，2，3，4六、课后反思：第 3 页 共 34 页建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性，需要加强训练。课题：2、平
6、面直角坐标系中的伸缩变换教学目标：知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换过程与方法：体会坐标变换的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题授课类型：新授课教学措施与方法：启发、诱导发现教学.教学过程：一、阅读教材 P4P8问题探究 1：怎样由正弦曲线 得到曲线 ？sinyxsin2yx思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？问题探究 2：怎样由正弦曲线 得到曲线 ？siyx3siyx思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的 3 倍”的实质是什么？问题探究
7、3：怎样由正弦曲线 得到曲线 ？sinyxsin2yx二、新课讲解：定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应 P(x,y).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换注 （1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。例 1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形。23xy（1）2x+3y=0; (2) 21xy例 2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线 ，yx,392yx求曲线 C 的方程并画出图象。三、知识应用：1
8、、已知 （ 的图象可以看作把 的图象在其所xfxf sin)(,sin)(21)0(2xf )(1xf(0):xy0,第 4 页 共 34 页在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的，则 为（ ）31A B .2 C.3 D.212、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线 则yx5281,xy曲线 C 的方程为（ ）A B. C D.25361xy22901xy2041x2593、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形。yx31（1） ;025yx（2） 。1四、知识归纳：设点 P（ x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作
9、用下，点 P(x,y)对应到点 ，称 为平面直角坐标系),0(,:y ),(yxP中的坐标伸缩变换五、作业布置：1、抛物线 经过伸缩变换 后得到 24yx143xy2、把圆 变成椭圆 的伸缩变换为 216216x3、在同一坐标系中将直线 变成直线 的伸缩变换为 y2xy4、把曲线 的图象经过伸缩变换 得到的图象所对应的方程为 3sin2yx45、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为21xy，则曲线 C 的方程 21640xyx六、反思：第 5 页 共 34 页二 极坐标系课题：1、极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位
10、置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境 2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏 60方向走 120M 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎
11、样的坐标系呢？问题 2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础二、讲解新课： 从情镜 2 中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个极坐标系。（其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。 ）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点 M，用 表示线段 OM
12、 的长度，用 表示从 OX 到 OM 的角度， 叫做点 M 的极径， 叫做点 M 的极角，有序数对（，）就叫做 M 的极坐标。第 6 页 共 34 页特别强调：由极径的意义可知 0;当极角 的取值范围是0,2 )时,平面上的点(除去极点 )就与极坐标（ ，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角或负角当 0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。M （， ）也可以表示为 )12(,)2,( kk或 (z4、数学应用例 1 写出下图中各点的极坐标（见教材 14 页）A（4
13、，0）B（2 ）C（ ）D（ ）E（ ）F（ ）G（ ） 平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。变式训练 在极坐标系里描出下列各点A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， ）E（3， ）F（4， ）G（6，246535点的极坐标的表达式的研究例 2 在极坐标系中，(1)已知两点 P（5， ） ，Q ，求线段 PQ 的长度；),1(2)已知 M 的极坐标为（，）且 = ， ，说明满足上述条件的点 M 的位置。3R变式训练1、若 的的三个顶点为ABC .),67()
14、,58(),2(判 断 三 角 形 的 形 状CBA2、若 A、B 两点的极坐标为 求 AB 的长以及 的面积。 （O 为极点）21AB例 3 已知 Q（，） ，分别按下列条件求出点 P 的极坐标。（1） P 是点 Q 关于极点 O 的对称点；（2） P 是点 Q 关于直线 的对称点；2（3） P 是点 Q 关于极轴的对称点。变式训练1.在极坐标系中,与点 关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) )6,8(),(5),8()6DCBA第 7 页 共 34 页2 在极坐标系中，如果等边 的两个顶点是 求第三个顶点 C 的坐标。ABC),452(,BA三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：
15、1如何建立极坐标系。 2极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位。3极坐标中的点与坐标的对应关系。五、课后作业：六课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。课题：2、极坐标与直角坐标的互化教学目的： 知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学
16、过程：一、复习引入：情境 1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境 2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题 1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题 2：平面内的一个点的直角坐标是 ，这个点如何用极坐标表示？)3,1(学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课： 直角坐标系的原点 O 为极点， 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长x度单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 和 ，则由三角函数),(yx),的定义可以得到如下两组公式： sincoyxxy
17、tan22说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0， 。23 互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合;第 8 页 共 34 页3. 两种坐标系的单位长度相同.三举例应用：例 1 （1）把点 M 的极坐标 化成直角坐标)32,8(（2）把点 P 的直角坐标 化成极坐标6变式训练在极坐标系中,已知 求 A,B 两点的距离),2(),BA例 2.若以极点为原点,极轴为 轴正半轴,建立直角坐标系.x(1)已知 A 的极坐标 求它的直角坐标,)354(2)已知点 B 和点 C 的直角坐标
18、为 )15,0()2,和求它们的极坐标. 0,0 2 )(变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 0,0 )2)4,3(),2,0()1,DA例 3.在极坐标系中,已知两点 .)2,6(,BA求 A,B 中点的极坐标.变式训练在极坐标系中,已知三点 .判断 三点是否在一条直线)6,32(),0,32(PNMPNM,上.四、巩固与练习：课后练习五、小 结：本节课学习了以下内容：1极坐标与直角坐标互换的前提条件； 2互换的公式；3互换的基本方法。五、课后作业：六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要
19、教师的点拨引导。这点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。但教学时间不足。第 9 页 共 34 页三 简单曲线的极坐标方程课 题: 1、圆的极坐标方程教学目标：1、掌握极坐标方程的意义2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程教学重点、极坐标方程的意义教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。教 具：多媒体、实物投影仪 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一、复习引入：问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程
20、和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤4、极坐标与直角坐标的互化关系式:二、讲解新课： 1、引例如图，在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标( ,)满足的条件？解：设 M (,)是圆上 O、A 以外的任意一点，连接 AM，则有：OM=OAcos，即：2acos ，2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？可以验证点 O(0,/2) 、A(2 a,0)满足式.等式就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.反之，适合等式的点都在这个圆上.第 10 页 共 34 页3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程
21、的0),(f点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。例 1、已知圆 O 的半径为 r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？建系；设点；M （，）列式；OMr ， 即： r证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标方程()中心在 (a,0)，半径为 a；()中心在(a, /2)，半径为 a；()中心在 (a, )，半径为 a答案：(1)2acos (2) 2asin (3) 0cos()a 例 2 （1）化在直角坐标方程 为极坐标方程，082yx（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。)3cos(6三、课堂练习：1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，
22、1 为半径的圆的方程是 (C).cos.2sin4421ABCD2.极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是多少？ 2sin(4)3 说 明 下 列 极 坐 标 方 程 表 示 什 么 曲 线 (1) co(- 2 cos(-)3 240xy 填 空 ： ()直 角 坐 标 方 程 的 极 坐 标 方 程 为 2直 角 坐 标 方 程 的 极 坐 标 方 程 为 3直 角 坐 标 方 程 的 极 坐 标 方 程 为 (4)直 角 坐 标 方 程 的 极 坐 标 方 程 为 四、课堂小结：1曲线的极坐标方程的概念2求曲线的极坐标方程的一般步骤五、课外作业：教材 1，28P1在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 ，C)6,3(3r（1）求圆 的极坐标方程。
