1、1高中数学易错易混易忘题分类汇编“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。一、集合部分常见错误：当集合用特征性质描述法表示时，把代表元素看错；忽视
2、空集；忽略集合中元素的互异性；集合运算出错。【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例 1、 设 ， ，若 ，求实数 a 组成的集2|8150Ax|10BxaAB合的子集有多少个？子集共有 个。3【练】已知集合 、 ，若 ，2|40x22|10xaxA则实数 a 的取值范围是 。答案： 或 。【例】已知集合 ，若 ，则实数 m 的值为 .答案：0，1 或-1【例】设集合 集合 ，则 .答案：变式 1：设集合 集合 ，则 .答案：变式 2：设集合 集合 ，则 的子集个数为 .答案： 4变式 3：设集合 集合 ，则 .答案：二、基本初等函数与导数常见错误：对函数定义域关注不够；对
3、函数性质掌握不准,特别是函数的局部性质.【例】函数 的单调减区间是（ ）2答案：A变式：已知函数 在 上单调递增，那么 a 的取值范围是 .答案：【例】已知函数 在区间 上的最大值是 2，求实数 a 的值.答案： .【例】已知函数 2()cosincs)fxaxb.（1）求函数 的对称轴方程和对称中心坐标；（2）当 0,2x时， ()fx的值域是 3,4求 ,a的值.答案：（1） ；（2） .【例】已知函数 ，当 时函数 的极值为 ，则 321()fxaxb1x()fx712()f答案： 53【例】过点 与曲线 S： 相切的切线的方程为 .答案：答案： .【易错点 2】求解函数值域或单调区间易
4、忽视定义域优先的原则。例、已知 ,求 的取值范围214yx2xy1, 3283【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 对 x、y 的限制，214x显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1， 。此外本题还可通过三角换元2y转化为三角最值求解。【练】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线 上变化，则 的最大值为（）214xyb02xy（A） （B） （C） （D）240b20b24b答案：A【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例. 是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数21xaf 1fx【易错点分析】求解
5、已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用 （或 ）求得 a=1.0fxf0f（2）由 即 ，设 ,则 由于 故 ，a21xfyfx21xy1y2xy，而 所以12logyx21xf ,x112logxf【知识点归类点拔】 （1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略） 。（2）应用 可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和()()fbafb函数值要互换。【练】（2004 全国理）函数 的反函数是（）1fxxA、 B、2yx21yC、 D、 1x答案：B【易
6、错点 4】求反函数与反函数值错位例、已知函数 ，函数 的图像与 的图象关于直线 对21xfygx1yfxyx称，则 的解析式为（）ygx4A、 B、 C、 D、32xg21xg12xg32gx【易错点分析】解答本题时易由 与 互为反函数，而认为yyf的反函数是 则 = = 而1yfxfxgx1f13x错选 A。解析：由 得 从而 再求21fx12fx121yfxx的反函数得 。正确答案：B1yfg【知识点分类点拔】函数 与函数 并不互为反函数，他只是表示1yfx1yfx中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 则1f 1yfx，y再将 x、y 互换即得 的反函数为
7、 ，故1xf1fx1yfx的反函数不是 ，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。y1【练】 （2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是（）答案：B【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例.判断函数 的奇偶性。2lg1()xf【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数 为非奇非偶函数的错误结论。2l()xfffx5解析：由函数的解析式知 x 满足 即函数的定义域为 定义域关于原点对称，2101,0,在定义域下 易证 即函数为奇函数。2lgfxfxf【
8、知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数 具有奇偶性，则 是对定义域内 x 的恒等式。fxfxf或 fxf常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练】判断下列函数的奇偶性： 244fxx1xfx1sincoxf答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例.函数 的反函数为 ，证明 是奇函数且在其定211log2xf x或 1fx1fx义域上是增函数。【思维分析】可求 的表达式，再证明。若注意到 与 具有相同
9、的单调性和奇偶性，1fx 1ff只需研究原函数 的单调性和奇偶性即可。解析： ，故 为奇函数从而 为212121logllogxxxfffx1fx奇函数。又令 在 和 上均为增函数且 为增函数，tx,2logty故 在 和 上分别为增函数。故 分别在 和 上分别f1,2,1fx0,0为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。 （2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 （4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。1()()fbafb【
10、练】 （1） （99 全国高考题）已知 ，则如下结论正确的是（）()2xefA、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数fx f6C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数fx fx答案：A（2） （2005 天津卷）设 是函数 的反函数，则使 成立的1fx112xfa1fx的取值范围为（）A、 B、 C、 D、x2(,)a(,)2(,)a(,)a答案：A （ 时， 单调增函数，所以 .）1fx211 1fxfxffa 【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例、试判断函数 的单调性并给出证明。0,bfax【易错点分析】在解答题中
11、证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的 的任意性。以及函数的单调区间必是12,xD1212ffffx12,函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于 即函数 为奇函数，因此只需判断函数 在 上的单调fxff fx0,性即可。设 ， 由于 故当12012121axbfxf12时 ，此时函数 在 上增函数，同理可12,bxa120fff,a证函数 在 上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在 为减函数，在f0, ,0b为增函数。综上所述：函数 在 和 上分别为增函数，在,bafx,a,和 上分别为减函数.0,0【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小
12、、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。（2）单调性的定义等价于如下形式： 在 上是增函数 ， 在fx,ab120fxffx上是减函数 ，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两,ab120fxf点 连线的斜率都大于（小于）零。12,xff7（3） 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中0,bfxa不能说 在 上为增函数，在 上为减函数,f,ba0,ba0在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”.【练】 （1） （潍坊市统考题） （1）用单调性的定义判断函数 在xfxfx上的单调性。 （2）设 在 的最小值为 ，求 的解析式。
13、0,0gayga答案：（1）函数在 为增函数在 为减函数。 （2）1,a1,a120（2） （ 2001 天津）设 且 为 R 上的偶函数。 （1）求 a 的值（2）试判断函数在0xef上的单调性并给出证明。0,答案：（1） （2）函数在 上为增函数（证明略）1a0,【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例、 （2004 全国高考卷）已知函数 上是减函数，求 a 的取值范围。321fxax【易错点分析】 是 在 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程0,fxbf,b中易误作是充要条件，如 在 R 上递减，但 。3fx230fx解析：
14、求函数的导数 （1）当 时， 是减函数，则26afx故 解得 。 （2）当 时，23610fxax03a3a易知此时函数也在 R 上是减函数。 （3）当 时，332189f x a在 R 上存在一个区间在其上有 ，所以当 时，函数 不是减函数，综上，所求 a0fafx的取值范围是 。,3【知识归类点拔】若函数 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：fx8与 为增函数的关系: 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数0)(xf)(f 0)(xf)(xf在 上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要3,0)(xf条件。 时， 与 为增函数的关系:若将 的根作为分界点，因为)(xf)
15、(xf)(f 规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。当 时，0x)(xf 0)(xf是 为增函数的充分必要条件。 与 为增函数的关系: 为增函数，)(xf)(f 0)(f一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数 x0)(xf)(xf在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。 是 为增函数0)(xf)(xf 的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的
16、讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对 和 进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分3a条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练】 （1） （2003 新课程）函数 是是单调函数的充要条件是（）2yxbc0,xA、 B、 C、 D、0b0答案：A（2）是否存在这样的 K 值，使函数 在 上递减，在24321fxkxk,2上递增？,答案： 。 （提示据题意结合函数的连续性知 ，但 是函数在 上递减，12k20f0f1,在 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 求出 K 值后要检验。 ）,【易错点 9】应用
17、重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。a1b错解 :(a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +42ab+ +44 +4=8(a+ )2+(b+ )2的最a1b2 ab1b1小值是 8【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b= ,2第二次等号成立的条件 ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。ab19解析：原式= a 2+b2+ + +4=( a2+b2)+(
18、 + )+4=(a+b)2-2ab+ ( + )2- +4 =(1-2ab)1b12ba1b(1+ )+4 由 ab( )2= 得：1-2ab1- = ,且 16，1+ 17原式242217+4= (当且仅当 a=b= 时，等号成立)(a+ )2+(b+ )2的最小值是 。5a5【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【练】 （97 全国卷文 22 理 22）甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c km/h ,已知汽车每小
19、时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为 b;固定部分为 a 元。（1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为:（1） （2）使全程运输成本最小，当 c 时，行驶速度 v=20sbvacba；当 c 时，行驶速度 v=c。ba【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例、是否存在实数 a 使函数 在 上是增函数？若存在求出 a 的值，若不存在，说2log
20、axf,4明理由。【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。解析：函数 是由 和 复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方fx2xlogxay法（1）当 a1 时，若使 在 上是增函数，则 在 上是增函2logaf,42xa,4数且大于零。故有 解得 a1。 （2）当 a1 使得函数 在 上是增函数2logaxf,【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数
21、的范围（大于 1 还是小于 1） ，特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制） 。10【练】 （1） （黄岗三月分统考变式题）设 ，且 试求函数 的的单调区0a12log43ayx间。答案：当 ，函数在 上单调递减在 上单调递增当 函数在 上单0a31,23,421,2调递增在 上单调递减。3,42（2） （2005 高考天津）若函数 在区间 内单调递增，则3log0,1afxxa(,0)2的取值范围是（）A、 B、 C、 D、a1,)4,1)49(,)491,4答案：B.（记 ，则 当 时，要使得 是增函数，则需有3gxa23gxaf
22、x恒成立，所以 .矛盾.排除 C、D 当 时，要使 是函数，则需有0x2101恒成立，所以 .排除 A）g34a【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性例、已知 求 的最大值1sinxy2sincox【易错点分析】此题学生都能通过条件 将问题转化为关于 的函数，进而利用换1si3ysinx元的思想令 将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成sit错解，解析：由已知条件有 且 （结合 ）得1insi3yxnsi1,yxsi1,x，而 = = 令2si3x2coi2co2in3则原式= 根据二次函数配方得：当 即in1tt213tt2t时，原式取
23、得最大值 。2si3x49【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。【练】 （1） （高考变式题）设 a0，000 求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和2最小值。
