1、1运动学一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动2.匀变速直线运动3.变速运动:微元法问题：如图所示，以恒定的速率 v1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v 2是多少？ 设在 t（t0）的时间内物体由B 点运动到C点， 绳子与水平面成的夹角由 增大到 +，绳子拉 过的长度为 s1，物体运 动的位移大小为 s2。因 t0，物体可看成匀速运 动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v 平 = v即 =s/t，s1与 s2有什么关系？如果取ACD为 等腰三角形，则B D =s1，但 s1s2cos。如果取ACD为 直角三角形，则 s1=s2cos,但D Bs1。普
2、通量和小量；等价、同价和高价有限量（普通量）和无限量 x0的区别. 设有二个小量 x1和 x2，当 , x1和 x2为等价无穷小，可互相代替，当 普通量, x11 21x和 x2为同价无穷小，当 （或 ）, x2比 x1为更高价无穷小。201在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。如当 0时，AB弧与AB 弦为 等价， （圆周角）和 （弦切角）为同价。如图OAB为等腰三角形，OAD为直角三角形， OA=OB=OD+BD=OD。，即 （等价）。OADBAOD,tan,sin tansi，比 更高价的无穷小量。2sico1回到问题：因为DD为高价无 穷小量，绳
3、子拉过的长度 s1=BD=BD，因直角三角形比 较方便，常取直角三角形。（v 2=v1/cos）例：如图所示，物体以v 1的速率向左作匀速运动，杆 绕O点转动，求（1）杆与物体接触点P的速率？（v 2=v1cos）（2）杆转动的角速度？（ =v1sin/OP）。 1. 细杆M绕O轴以角速度为 匀速转动,并带动套在杆和固定的 AB钢丝上的小环C滑动,O轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与 点距离为X时，小环沿钢丝滑动的速度.（答案： ）dx2解:设t时刻小环在C位置,经 t时间( t足够小),小环移动 x,由于 t很小,所以 也很小 ,于是小环的速度v =x/t,根据图示关系,CD =OC,
4、， ,从上面关系得cosx2dxO2. dxxdxOCttxv222)/(coscsos 2. 用微元法求：自由落体运动，在 t1到t 2时间内的位移。（答案： ）21gtt解：把t 1到t 2的时间分成n等分，每段为 t,则 ,且看成匀速。nt12则v 1=gt1+gt,s1=( gt1+gt)t,v2=gt1+2gt,s2=(gt1+2gt)t,vn=gt1+ngt,sn=(gt1+ngt)t,s=s1+s2+sn= .2121122 )()()1( gtttgtgn若v 1=gt1,s1=gt1t,v2=gt1+gt,s2=(gt1+gt)t,vn=gt1+（n-1）gt,sn=gt1+
5、（n-1）gtt,s=s1+s2+sn= 2121122 )()()1( gtttgtnt 也可用图象法求解。 3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反比,当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m的A点处时,速度是v 1=2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少? （答案：75s）解法1:将蚁巢中心定为坐 标原点O,OA连线即为x轴正方向 ,则坐标x 处蚂蚁的速度可表示为 .将AB连线分成n等份,每等份 .当n很大时,每小段的运动可看成是匀xv1 L)(12速运动.每小段对应的速度为 ， ， 。 1Lvxv12 xvn)1(3)2()(121 Lxvxtn
6、切s752)( 1211 vvLvLLn解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度 ,xL即 ，1/v-x的图象如图所示。Lv1蚂蚁运动的时间t为如图梯形的面 积， t= =75s. 12121)( LvLv二.运动的合成与分解1.相对运动4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t时间才发现丢失,汽3艇立即调头航行,并在丢失点下游s距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 . （答案：s/2t）以地为参照物,水速为v 1,船速为v 2,船调头后追上救生圈的时间为t,对船(v 2+v1)t=(v2-v1)+v1(t+t)t，得t =t,所以v 1=s/2t.或以水
7、为参照物,则救生圈静止,t=t,所以v 1=s/2t 5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v 0射出很多的小球,问(1)这些小球在空间下落时会不会相碰?(2)经t时间这些小球中离得最远的二个小球 间的距离是多少?（答案：不会相碰；2v 0t）解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系 ,则小球都以v 0的速度作匀速直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最远的二个小球间的距离等于球面的直径,即d=2v 0t.6. 一只气球以10m/s的速度匀速上升 ,某时刻在气球正下方距气球 为10m 的地方有一个石子以v 0的初速度竖直上
8、抛(取g=10m/s 2),石子要击中气球,则v 0应满足什么条件? （答案： m/s）)1(0解法1:设气球的速度为v,开始相距为h,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气球,否则石子不能击中气球,速度相等时所用的时间t =(v0-v)/a-(1),则好击中时的位移关系为v 0t- gt22=vt+h-(2) 1解得石子的初速度至少 m/s.)2(0g解法2:以气球为参照物,则 初速度v 1=v0-v,未速度v 2=0,所以( v0-v)2=2gh,解得石子的初速度至少 m/s. 20h2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一 时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决
9、于沿它们连线方向分运动，而它 们相对方们 位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。求下列各图中v 1和v 2的关系.答案依次是：A:v 1=v2cos;B:v1=v2cos;C:v1cos=v2cos;D:v2=vtan; 7. 如图所示，AB杆的A 端以匀速v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半 圆周的半径为R ，当杆与水平线的交角为 时，求此时：（1）杆上与半圆周相切点C 的速度大小。（2）杆转动的角速度。（3）杆上AC中点的速度大小。（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。答案：（1） ；（2） ；（3）； ；（4） cosvsintaRvsinco2vsintav解：把A的速
10、度分解成沿杆的速度 ，和垂直杆方向速度 。1i2v4（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C的速度大小 。cos1vC（2）A点对C点的转动速度 为 ，sin2v所以杆转动的角速度为 。sintacotsiRAC（3） 4si)2(21vvAC（4）在相同时间内，杆转过 的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也为，sintaRv杆与半圆周相切的切点的速度大小 。 sintavRC8. 如图所示，杆 长为 ，可 绕过 点的水平轴在竖直平面内 转动，其端OARO点 系着一跨过定滑轮 、 的不可伸长的轻绳， 绳的另一端系一物 块B，滑轮的半径可忽略， 在 的正上方， 之间的距离为
11、 。某一 时MBH刻，当绳的 段与 之间的 夹角为 时，杆的角速度 为 ，求此时物块的速率 。v解： ，AR沿绳 的分量BcosMAv由正弦定理知 siniOH由图看出 2由以上各式得 sinMv3.运动的合成与分解:在船渡河中， 。推广切切切 乙 丙甲 乙甲 丙 vv9. 当骑自行车的人向正东方向以5m/s的速度行驶时,感觉风 从正北方向吹来,当骑自行车的人的速度增加到10m/s时,感觉风从正 东北方向吹来.求风对地的速度及的方向 . （答案： m/s，方向正东南）25V风对地 =V风对人 +V人对地 ，得V 风对 地 = m/s，方向正东南 2510. 如图所示,质点P 1以v 1的速度由
12、A向B 作匀速直线运动, 同时质点P 2以v 2的速度由B向C作匀速直5线运动,AB=L,ABC= ,且为锐角,试确定何时刻t,P 1、P2的间距d最短,为多少?（答案： ； ）cos2)(11vvt cosin21vvLd解:以A为参照物,v BA=vB地 +v地A 。B相对A的运动方向和速度的大小如图所示.则B相对A 的速度为 cos21有正弦定理 ，sinsi2vvcsin21当B运动到D时(AD 垂直AB)P 1、P2的间距d最短, .cos2inin11vLLd所需的时间 . cos2)(coscos 11vvLvt 11. 一半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速率为v做匀速运动.在
13、半圆柱体上搁置一根竖直杆,杆与半圆柱体接触为点P，此杆只能沿竖直方向运动,如图所示.求当OP与柱心的连线与竖直方向的夹角为 时,竖直杆运动的速度和加速度.（答案：vtan ； ）32cosRva解:(1)取半圆柱体作为参照系.在此参照系中P点做圆周运动,v 杆柱 的方向沿着圆上P点的切线方向,v 杆地 的方向竖直向上,因为 ,切切切vv矢量图如图a所示.得v 杆地 =vtan。也可用微元法求.(2)有 ,切切切a因a 柱地 =0,所以a 杆地 =a杆柱 ,而a 杆地 的方向竖直向下,又a 杆柱 可分解成切线方向a t和法线方向a n,矢量图如图b所示,所以得到 .22cosRvn切 32cos
14、sRvn切问题：若圆柱体的加速度为a，则a 杆地 =？ ，切切切切 atn，a杆地 的方向仍在竖直方向上。 tncs22tnav切三抛体运动1.竖直上抛运动:v= v0-gt,s=v0t-gt2/2.如初速 v0=20m/s 竖直向上抛出,取 g=10m/s2.求经 t=3s 物体的位移 .可用分段解,也可用 s=v0t-gt2/2 直接求解(15m,方向向下)12. 在地面上的同一点分别以v 1和v 2的初速度先后竖直向上抛出两个可视作质点的小球,第二个小球抛出后经过 t时间与第一个小球相遇,改变两球抛出的时间间隔,便可改变t的值,已知v1v2,则t的最大值为 .(忽略空气阻力) （答案：
15、）gv212解法1： ， ，相碰条件21()(tgtvh21tgtvh2h6得 0)(2)(211tvtvgt 要使方程有解： 0)(24 1tvg解得 ,取t2t解法2：因v 1v2,所以第二小球一定在上升时与第一小球相碰,在使 t最大,则高度h应为最大: ,解得 ,取1tgtggvt212gvt2122.平抛运动水平方向匀速运动:v x=v0,x=v0t 竖直方向自由落体运动:v y=gt,y=gt2 13. 如图所示,从高H处的同一点先后平抛两球 1和2.球1直接经竖直挡板的顶端落到水平地面B点,球2与地面的A点碰撞后经竖直挡板的顶端,第二次落到水平地面B点.设球2与地面的碰撞是弹性碰撞
16、,求竖直挡板的高度h. （答案： ）Hh43解:因球2与地面的碰撞是 弹性碰撞,所以弹起后的运动与原来的运动对称,它的运动时间为t 2=3t1,它们的水平初速v 1=3v2,所以当水平位移相等时,它们的运动时间为3倍关系,两球飞抵挡板的时间是t 2=3t1,设球2第一次着地到飞跃挡板顶端的时间为t,因小球的上升和下落的运动是对称的,所以它们的时间关系为:.得ghHtg/)(3/ gHht /2/)(对球2下落 解得 . ,433.斜抛运动（抛射角为 ，初速为 v0）水平方向：v x=v0cos,x=v0cost,竖直方向：v y=v0sin,y= v0sint- gt2,1物体运动到最高点的时
17、间： ,gsin0射高： ，gvy2sin0射程： ，当 =45时 X 最大。gvtx2sinco0014. 一物体以v 0的初速从A 点开始以恒定的加速度作曲线运动，经1s运动到B点，再经1s运动到C点。已知AB =3m，BC= m，AB BC，求初速度大小v 0和加速度大小a。3（答案： m/s; m/s2,）21a解：物体与加速度垂直方向是匀速运动，在相等 时间内的位移相等。作直角三角形，AC的中点P与B的连线应是加速度反方向，如图所示。在A到B 的过程，设x方向的初速为v x,则 m/s5.130costAPv设y方向的初速为v y,加速度大小为a, m2C7在A到B的过程 2016s
18、ingtvABy在A到C的过程 )(3解得加速度大小 m/s2, m/s，所以 m/s=4.58m/s。 a35yv 2120yxv15. 如图所示,一仓库高25m, 宽40m. 今在仓库前L、高5m的A点处抛出一石块过屋顶,问L为多少时所需的初速v 0可最小.（答案：14.6m）解:当v 0最小 时,抛物线必经过屋顶边缘的B、C 两点,物体 经过B点时的速度也必最小,所以把坐标的原点移到B点,建立水平方向为x轴,竖直方向为y轴.因斜抛物体的射程BC一定,所以当 vB的方向与水平方向成 =450角时,v B最小.由 ，所以 -g2sin0g2水平方向x=v Bcost, 竖直方向y=v Bsi
19、nt- gt2-.1两式消去t得y= x-x2/40-(3),将A点的坐标(-L,-20)代入(3)得L=14.6m. 16. 如图所示,一人从离地平面高为h处以速率v 0斜向上抛出一个石子,求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？（答案： ; ）ghv2sin01ghvx20ma解法1：射程最大时， 45（45）根据斜抛运动规律：x=v 0cost-y=-h=v0sint- gt2-把上述二式消去 得 ,1)2/(00tvhgtx或 -htghtvx 2042202 )()1()当 时， x2有极值，即 x有极值。2gabt把t代入式得 。再把t代入式，得 。ghvx0ma ghv2
20、sin01解法2：用x=v 0cost,y=v0sint- gt2,两式中消去 ,1得 或 ,)/(200thgt )()(420xhtvg8有 0求得.x的最大值x= .ghv20解法3:设发射角为 ,水平方向为x=v 0cost,竖直方向为 y=v0sint- gt2,1有运动方程消去时间得 ,当y=-h时,x=s ,20costanxy.hgsghsgv 2cosini2co)tan(220令 =tan-1 ,则v 02= ,当sin(2 -)=1,s最大,h)in(s的最大值s = .gh解法4：把斜抛运动分解成v 0方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其位移矢量图如图所示。则由图
21、可得 。2202)1()httvx以下解法与解法1相同。解法5:初速v 0、末速v 和增加的速度 gt有如图的关系,这个矢量三角形的面积S= vxgt= g(vxt),式中v xt就是石子的水平射程,所以当S最大时,石子的水平射程也最大,而三2角形面积又可表示为S= v0vsin.因v 0和v= 的大小都是定值,所以当 =900时,S有最21gh2大值, .gsv210因此最大射程s= vxt= .ghv200说明：不同的解法， 有不同的表达式，根据三角函数可证明结果一样。 17. 如图所示，弹性小球从高 为h处自由下落，落到与水平面成 角的长斜面上，碰撞后以同样的速率反弹回来。求：（1）每相
22、邻两点第一点和第二点、第二点和第三点第n点和第（n+1） 间的距离。（2）当小球与斜面发生碰撞前瞬间，斜面以 v的速度竖直向上作匀速直线运动，求第一点和第二点间的距离。答案：（1） ; sin81hxn 212)(sin4vghx解：（1）取沿斜面向下为x轴，垂直斜面方向为y轴。小球与斜面第一次碰撞前后的速度大小 ，方向与y轴对称，gv0则v x1=v0sin,ax=gsin,vy1=v0cos,ay=-gcos,9第一点与第二点碰撞时间间隔 。gvvt0012cos所以第一点与第二点间的距离 。sin8si4sin1i20102 hgvttx 第二次碰撞时刻的速度v x2=v0sin+gsi
23、nt1=3v0sin,vy2=v0cos-gcost1=-v0cos,碰后，v y大不变 ，每相邻两次碰撞时间间隔不变， 。gt02所以第二点与第三点间的距离 。sin8sin1si32102 httvx同理，第n点与第n+1点间的距离 。81hn(2)因 ，当斜面向上作匀速运动时，以斜面为参照物，小于与斜面碰撞时的gvxsin4201速度v=v 0+v,所以 。22012 )(si4)(i vghv四圆周运动1.质点的匀速圆周运动(1)线速度度 ,(2)角速度 ,(3)角加速度 ,tsvtt(4)线速度和角速度的关系 ,(5)角速度与时间的关系 ,Rv t0(6)角度与时间和关系 ,(7)向
24、心加速度( 改变速度方向) ,201t vRvan2(8)切向加速度(改变速度大小 ) tat(9)质点的加速度(法向和切向的合成 ) .tna18. 一质点以半径为R,线速度为v作匀速圆周运动,求证质点的向心加速度 .Rvan2解:根据相似三角形,得 ,Rsv两边同除 t,得 ,tta当 t0时, 0,v的方向与v A方向垂直,即加速度的方向指向圆心, 就是线速度,所以得到向心加速度大小 .ts Rvan2问题： ，对非匀速圆周运 动适用吗？ Ran219. 赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶,在0.1s时间内速度由10.0m/s加大到10.5m/s, 那么该赛车在半径为30m的环形
25、公路段中 ,达到同样的结果需要多少时间?当环行公路的半径为多少时,赛车的速度就不可能增大到超过10m/s?设公路的平面是水平的.（答案：0.14s;20m ）解:合力产生的最大加速度 am=(v2-v1)/t1=5m/s2,10作圆周运动时 , ,则 s,tvatRvn2114.0,)(212tmt avRVa半径最小时： ,所以 =20m. 0t am20. 如图所示,半径为r的圆轮在半径为R的固定圆柱上滚动,已知半径为r的圆轮的轮心的速率恒为v,求当圆轮在固定圆柱的最高点的如图时刻:(1)圆轮上P点的加速度.(2)圆轮与圆柱接触点的加速度. 答案：(1) ; )(2Rrv2)(rvaP解:
26、(1)P点相 对O转动,有 ,P点相对 地的速度多大?切切切OPa由 .无相对滑动时,v P地 =0，aP地 0，vPO大小等于 vO地 =v，有滑动时？切切v而a P对O = ,方向向上;a O对地 = ,方向向下.r2Rrv2所以P点的速度度a P对地 =aP对O -aO对地 = ,方向向上.)(2(2)接触点P运动的线速度v= ,接触点的加速度 . rv22)(rRvaP21. 如图所示，利用定滑轮绳 索拉物体，已知拉 绳索的速率 v恒定不变。求如图时刻：物体离定滑 轮的水平距离为s、物体离定滑轮的竖直距离为h时物体的加速度。（答案： ）23vsa解:设物体的速度为v，绳与水平夹角为 。
27、则 ，物体的速度 v=v/cos,shstan,co2此时刻物体可看成相对绕滑轮（圆心）半径为 、速度v 切 =vtan的转动，2hsR物体的加速度沿水平方向。因圆心作匀速运动，物体 对地的加速度等于物体 对圆心作圆周运动的加速度，物体的加速度可分解成垂直绳子a t切向加速度和沿绳子a n法向加速度，其合加速度的方向水平。法向加速度： ，22tanshvRn切所以物体的加速度： 。232costcovhn注意：若拉绳子的加速为a,则物体的加速度多大？物体沿绳子方向相对地的加速度a 地 =a+ an ，所以物体的加速度： 。shsan322cos切a合 不是a和a的合成，为什么？（a不影响a n，但要影响a t,a合 的方向仍水平方向）。 2.刚体的转动、瞬时轴(1)刚体上各点相对某一点的角速度都相等。
