1、坤宏文化课培训1高中数学公式大全（最新整理版）01. 集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系, .UxACxAx2.德摩根公式 .();()UUUBBC3.包含关系AAUCUR4.容斥原理.()()cardBcardBcardA5集合 的子集个数共有 个；真12,n 2n子集有 1 个；非空子集有 1 个；非空的真子n集有 2 个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;)hka(3)零点式 .12x7.一元二次方程的实根分布依据：若 ，则方程 在()0fmn0)(f区间 内至少有一个实根 .(,)n设 ，则qpxf2（1）方程 在区间 内有根的充要条
2、件),(为 或 ；0)(f402m（2）方程 在区间 内有根的充要条件为xf(,)n或 或 或()0fn240fpqmn0)(f；0)(f（3）方程 在区间 内有根的充要条件xf(,)为 或 .()fm240pq8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间 的子区间 （形如 ，),(L,， 不同）上含参数的二次不等式,( 为参数)恒成立的充要条件是0fxt.min,L(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次),不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是,ft.()0anx(3) 恒成立的充要条件是024cbxf或 .0bc29.真值表 非 或 且真 真 假 真 真真 假 假 真
3、假假 真 真 真 假假 假 真 假 假10.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件（1）充分条件：若 ，则 是 充分条件.pq（2）必要条件：若 ，则 是 必要条件.（3）充要条件：若 ，且 ，则 是p充要条件 .q注：如果甲是乙的充分条件，则 乙是甲的必要条件；反之亦然.02. 函数11.函数的单调性(1)设 那么2121,xbax()()0ff上是增函数；f ,021在12(
4、)()xffx上是减函数.baf ,21在(2)设函数 在某个区间内可导，如果)(fy，则 为增函数；如果 ，则0)(xfx0)(xf坤宏文化课培训2为减函数.)(xf12.如果函数 和 都是减函数,则在公共)(xfg定义域内,和函数 也是减函数; 如果函数和 在其对应的定义域上都是减函数,则)(ufy复合函数 是增函数 .)(f13奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数是偶函数14.若函数 是偶函数，则)(xfy；若函数 是偶函)(axf)(axfy数
5、，则 .15.对于函数 ( ),)fR恒成立,则函数 的对称轴是()(xbff )(f函数 ;2ax两个函数 与 的图)(afy)(xbfy象关于直线 对称.b16 若 ,则函数 的图象关)()(xff)(f于点 对称; 0,2a若 ,则函数 为周期)()(aff)(xfy为 的周期函数.17.函数 的图象的对称性()yfx(1)函数 的图象关于直线 对称xa()fa.2(f(2)函数 的图象关于直线 对称)yx2bx(famfb.)f18.两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于()yfx(yfx直线 (即 轴)对称.0x(2)函数 与函数 的a)bm图象关于直线 对称 .2bm(
6、3)函数 和 的图象关于直线)(xfy)(1xfy=x 对称.19.若将函数 的图象右移 、上移 个单ab位，得到函数 的图象；若将曲线baf)(的图象右移 、上移 个单位，得到曲线0),(yxfab的图象.ba20互为反函数的两个函数的关系.ff)()(121.若函数 存在反函数,则其反函数kxy为 ,并不是 ,而函1bfk)(1bkxfy数 是 的反函数.)()k22.几个常见的函数方程(1)正比例函数 ,(fxc.()1fxyfy(2)指数函数 ,a.(0f(3)对数函数 ,)logax.(),1)fxyfy(4)幂函数 ,(.)fff(5)余弦函数 ,正弦函数 ，cosx()singx
7、，()()xygy. 0)1,limf23.几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()axf)(xf（2） ，0或 ，)(1(ff或 ,xaf)x或 ,21()(,()012fafx则 的周期 T=2a；)(xf(3) ，则 的)()(1fxf )(f周期 T=3a；(4) 且)()(2121ff，则),0|faxfxa的周期 T=4a；(5) )()3(4)ffaff,则 的(2xxa(xf周期 T=5a；坤宏文化课培训3(6) ，则 的周期)()(axfaxf)(xfT=6a.24.分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,nN1(2) （ ，且 ）.n,25
8、根式的性质（1） .()a（2）当 为奇数时， ；na当 为偶数时， .n,0|26有理指数幂的运算性质(1) .(,)rsrsaQ(2) .()0(3) .,rrbbr注： 若 a0，p 是一个无理数， 则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质， 对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)N28.对数的换底公式 ( ,且 , ,且llmaam, ).10推论 ( ,且 ,loglmnaab01a,且 , , ).n1N29对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;log()llogaa(2) ;a(3) .ll()naR03.
9、数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则p对于时间 的总产值 ，有 .xy(1)x31.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列 的前 n 项的和为1,2nnsaa).12s32.等差数列的通项公式；*11()()nadnaN其前 n 项和公式为 1()2ns1()2d.1dad33.等比数列的通项公式；*11()nnqN其前 n 项的和公式为 1(),nnasq或 .1,nnsa34.等比差数列 :n的通项公式为11,(0)naqdbq；1,nnd其前 n 项和公式为.(),1,(1)nnbqsdd04. 三角函数35常见三角不等式（1）若 ，则 .(
10、0,)2xsintax(2) 若 ，则 .1cos2(3) .|sin|cos|36.同角三角函数的基本关系式 ， = ，22itancosi.ta1ct37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）坤宏文化课培训421()sin,sin(2co21()s,s(innco38.和角与差角公式;in()icossi;cos.tanta1t(平方正22sin()si()siin弦公式);.coco= (辅助角sisab2si)ab所在象限由点 的象限决定, ).()tna39.二倍角公式 .sin2sico.2222cos1sin.tata140.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数si
11、n()yx，xR(A, 为常数，且coA0，0)的周期 ；2T函数 ， (A,tan()yx,kZ为常数，且 A0，0)的周期 .41.正弦定理 .2sinisinabcRBC42.余弦定理;22oA;cca.sb43.面积定理（1） （ 分122abcShhabc、 、别表示 a、b、c 边上的高）.（2） .11sinsisin2SabCcAaB(3) .2(|)()OABBO44.三角形内角和定理 在ABC 中，有 ().2C2()CA45.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.
12、46.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）;(3)（ a+b）c= a c +bc.47.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底48向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且 b 0，则 a b(b 0) .1(,)xy2(,)A1210xy49. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos50. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的
13、长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积51.平面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b=1(,)xy2(,).12(,x(2)设 a= ,b= ，则 a-b=,. ,)(3)设 A ，B ,则1(,y2()x.1BOy(4)设 a= ，则 a= .,)R(,)x(5)设 a= ,b= ，则 ab=1(2(,).12(xy52.两向量的夹角公式(a= ,b=122cosxy1,)xy(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)坤宏文化课培训5).2(,)xy53.平面两点间的距离公式=,ABd|AB(A ，B ).2211()()xy1(,)xy2(
14、,)54.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则,2,xA|b b=a .121a b(a 0) ab=0 .2y55.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的1(,)Pxy2(,)x(,)Px12P分点, 是实数，且 ，则1212y12O（ ）.12()OPttPt56.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、1Ax,y)、 ,则ABC 的重心的坐标是2B(x,y)3C.1123,)yG57.点的平移公式 . xhxhykyk OP注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形上的对应点为 ，且 的坐标为 . (,)P (,)hk58.“按向量平移”的几个结
15、论（1）点 按向量 a= 平移后得到点xy(,hk.(,)hk(2) 函数 的图象 按向量 a= 平移(fC(,)k后得到图象 ,则 的函数解析式为 .C yfxh(3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 , ,)hk若 的解析式 ,则 的函数解析式为(yfx.()yfxhk(4)曲线 : 按向量 a= 平移后得,)0(,)到图象 ,则 的方程为 .C (,0fhyk(5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的(,y向量仍然为 m= .)x59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 为 所在平面上一点，角 所对边OAB,ABC长分别为 ，则,abc（1） 为 的外心 .OABC22OABC
16、（2） 为 的重心 .0（3） 为 的垂心.（4） 为 的内心.0aAbBc（5） 为 的 的旁心OCA.06. 不 等 式60.常用不等式：（1） (当且仅当 ab,abR2ba时取“=”号)（2） (当且仅当 ab,时取“=”号)（3） 30,).abcac（4）柯西不等式 222()(),dbdR（5） .61.极值定理已知 都是正数，则有yx,（1）若积 是定值 ，则当 时和 有pyx最小值 ；p2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有sx最大值 .4s推广 已知 ，则有Ryx,yx2)()(2（1）若积 是定值,则当 最大时,|yx最大；|当 最小时, 最小.|（2）若和 是定值,则当
17、 最大时, yx|最小；|xy当 最小时, 最大.|62.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.2xaax或 .a63.无理不等式坤宏文化课培训6（1） .()0()()fxfxgfg（2）.2()0()0()ffxfxgxfg或（3） .2()()fffx64.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; ()()()fxgxfg.0lol()aafxff(2)当 时,01;()()fxgxfgx()0lol)aafff07. 直线和圆的方程65.斜率公式 （ 、 ）.21ykx1(,)Pxy2(,)xy66.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点11)kl，且斜率为 )(,)Pxy（
18、2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截yxbl距).（3）两点式 ( )(11222、 ( ).1(,)Pxy,)xyx(4)截距式 ( 分别为直线的横、ab、纵截距， )0、（5）一般式 (其中 A、B 不同时0AxByC为 0).67.两条直线的平行和垂直 (1)若 ，11:lykb22:lkxb ;2|, .121lk(2)若 ,:0AxByC,且 A1、A 2、B 1、B 2 都不为零,2: ；1122|l ；068.夹角公式 (1) .21tan|k( ， , )1:lyxb2:lykxb12(2) .121t|AB( , ,1:0lC22:0lByC).2直线 时，直线 l1
19、与 l2 的夹角是 .12l69. 到 的角公式 (1) .21tank( ， , )1:lyxb2:lykxb12(2) .121tAB( , ,1:0lC22:0lByC).2直线 时，直线 l1 到 l2 的角是 .12l70四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点 的直线0(,)Pxy系方程为 (除直线 ),其中 是00)ykxk待定的系数; 经过定点 的直线系方程为,y,其中 是待定的系数()(AxBAB(2)共点直线系方程：经过两直线, 的交点11:0lyC22:0lxC的直线系方程为(除 )，其()()xy2l中 是待定的系数(3)平行直线系方程：直线 中当斜kxb率 k
20、 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线 平行的直线系方程是0AxByC( )， 是参变量(4)垂直直线系方程：与直线(A0，B0) 垂直的直线系方程坤宏文化课培训7是 , 是参变量0BxAy71.点到直线的距离 (点 ,直线 ：2|Cd0)Pxyl).xy72. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .22()()xaybr（2）圆的一般方程 (0DEF0).4DEF（3）圆的参数方程 .cosinryb（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端1212()()0x点是 、 ).,Ay,Bx73. 圆系方程(1)过点 , 的圆系方程是1()2()y2121212() ()()0x xyyx,其1(
21、)0abc中 是直线 的方程, 是待定的系0abycAB数(2)过直线 : 与圆 :l0xyC的交点的圆系方程是2xDEF, 是待()y定的系数(3) 过圆 : 与圆12110xyEyF: 的交点的圆系方程是2C22x,1122()yEFDx 是待定的系数74.点与圆的位置关系点 与圆 的位置0(,)Px22)()(rbyax关系有三种若 ，则0d点 在圆外; 点 在圆上;rdrP点 在圆内.75.直线与圆的位置关系直线 与圆CByAx的位置关系有三种 :22)()(rba;0交rd;.其中 .2BACbad76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2，
22、O21;交交42rd;3;交2211;交交2r.1d77.圆的切线方程(1)已知圆 20xyDEF若已知切点 在圆上，则切线只有一0(,)条，其方程是.00 ()2y当 圆外时, 表示0()()DEF过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求 k，这时必00()ykx有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 ，再xb利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆 22xyr过圆上的 点的切线方程为0(,)P;0xyr斜率为 的圆的切线方程为k.2108. 圆锥曲线方程78.椭圆 的参数方程是2(0)xyab.cosinayb79.椭圆 焦半
23、径公式 21(0)xyab， .)(1cePF(22xcePF80椭圆的的内外部（1）点 在椭圆0,xy坤宏文化课培训8的内部 .21(0)xyab201xyab（2）点 在椭圆,Pxy的外部 .()2081. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点21()xyab处的切线方程是 .0(,)P021xy（2）过椭圆 外一点2()ab所引两条切线的切点弦方程是0(,)xy.21ab（3）椭圆 与直线2(0)ab相切的条件是 .0AxByC22ABc96.双曲线 的焦半径公式21(,)xy， .1|()|aPFec22|aPFexc82.双曲线的内外部(1)点 在双曲线0,xy的内部 .2()xab2
24、01xyab(2)点 在双曲线0,P的外部 .21()y2083.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为 渐近线方程：12byax.20xyab(2)若渐近线方程为 双xay0y曲线可设为 .2bax(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设1y为 （ ，焦点在 x 轴上， ，焦2byax00点在 y 轴上）.84. 双曲线的切线方程(1)双曲线 上一点21(0,)xyab处的切线方程是 .0(,)Pxy2y（2）过双曲线 外一点1(0,)xab所引两条切线的切点弦方程是0(,)xy.21ab（3）双曲线 与直线2(0,)xyab相切的条件是 .0AxByC22ABc100. 抛物线 的
25、焦半径公式p2抛物线 焦半径 .()x0pCFx过焦点弦长.xCD212185.抛物线 上的动点可设为 Ppxy或 P ，其中 ),2(py交),(2tP(,)y.x86.二次函数的图象2224()bacyabc(0)是抛物线：（1）顶点坐标为 ；（2）(,b焦点的坐标为 ；（3）准线方程是241(,)acb.241acby87.抛物线的内外部(1)点 在抛物线 的内部0(,)Pxy2(0)ypx.2yp点 在抛物线 的外部,.()(2)点 在抛物线 的内0,xy2(0)ypx部 .2p点 在抛物线 的外部(,)P.y(3)点 在抛物线 的内部0,xy2(0)xpy.2()p坤宏文化课培训9点
26、 在抛物线 的外部0(,)Pxy2(0)xpy.2p(4) 点 在抛物线 的内,部 .()点 在抛物线 的外部0,xy2(0)xpy.2p88. 抛物线的切线方程(1)抛物线 上一点 处的切线方20(,)P程是 .00()yx（2）过抛物线 外一点 所引两pxy0,y条切线的切点弦方程是 .0()（3）抛物线 与直线2相切的条件是 .AxBC2BAC89.两个常见的曲线系方程(1)过曲线 , 的交点的曲1(,)0fxy2()fxy线系方程是( 为参数).12(,)f(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中 .当2xyakb2max,kb时,表示椭圆; 当2min时,表示双曲线.2,90.直线与圆
27、锥曲线相交的弦长公式 或2112()()ABxy221212|tan|tkxyco（弦端点 A ，由方程 ),(),(21B0),x(Fbky消去 y 得到 ， , 为直线 的02cbaxAB倾斜角， 为直线的斜率）. k91.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线 关于点 成中心对(,)Fy0(,)Pxy称的曲线是 .02-x（2）曲线 关于直线,成轴对称的曲线是AxByC.22()(), 0yBAxyC92.“四线”一方程 对于一般的二次曲线，用 代 ，220xyDxEyFx2用 代 ，用 代 ，用 代 ，用00代 即得方程02y000002xyxyABCyDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦
28、中点方程均是此方程得到.09. 立体几何93证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.94证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.95证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.96证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.97证明直线与平面垂直
29、的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.98证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：ab=ba(2)加法结合律：(ab)c=a(bc)(3)数乘分配律：(ab)=ab100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表
30、示的向量.101.共线向量定理对空间任意两个向量 a、b(b0 ) ，ab 存在实数 使 a=b 三点共线PAB、 、 |APBtA.(1)Ot坤宏文化课培训10、 共线且 不共线|ABCDABCD、且 不共线.t、102.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,使 xyxy推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,使 ，MAB或对空间任一定点 O，有序实数对 ，使,x.Pxy103.对空间任一点 和不共线的三点 A、B、C，满足 （ ） ，则当zyzk时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点1k共面；当 时，若 平面 ABC，则
31、P、A、B、C 四点共面；若 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共O面四点共面 与 、 共 CAB、 、 、 D面 xy（ 平面 ABC）.(1)O104.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使pxaybzc推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使.xyz105.向量的直角坐标运算设 a ，b 则123(,)123(,)(1)ab ；12,a(2)ab ；,(3) a (R)；3(,)(4)ab ；12b106.设 A ，B ，则,xyz2(,xyz
32、= .BO11,)107空间的线线平行或垂直设 ， ，则1(,)azr2(,bzr；bP012xyz.arr12120x109.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则1(,)xyz2(,)yz=,ABd|AB.222111()()()xyz110.点 到直线 距离Ql(点 在直线 上，22(|)|habPl直线 的方向向量 a= ，向量 b= ).lAQ111.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为|CDnd12,l， 分别是 上任一点， 为 间的距离).n、 d12,l112.点 到平面 的距离 B（ 为平面 的法向量， 是经过|AndAB面 的一条斜线， ）.113.异面直线上
33、两点距离公式 .22coshmn.,dEAF（22s）.EAF(两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、F，, , ).mnd已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是l和 ,它的直截面的周长和面积分别是S斜 棱 柱 侧 V斜 棱 柱和 ,则1c .1cl斜 棱 柱 侧 .S斜 棱 柱114.球的半径是 R，则其体积 ,34V其表面积 2S115.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:
