1、高等数学基础第一次作业第 1 章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等A. ， B. ，2)(xfxg(2)(xfxg)(C. ， D. ，3lnln112设函数 的定义域为 ，则函数 的图形关于（C）对称)(f ),()(fA. 坐标原点 B. 轴xC. 轴 D. yy下列函数中为奇函数是（ B ）A. B. )1ln(2xcosC. D. ay )1ln(xy下列函数中为基本初等函数是（C）A. B. 1xC. D. 2y0,1xy下列极限存计算不正确的是（ D ）A. B. 12limx )ln(im0xC. D. 0sn1s当 时，变量（
2、 C ）是无穷小量A. B. xi xC. D. 1sin2)ln(若函数 在点 满足（ A ），则 在点 连续。)(f0xf0xA. B. 在点 的某个邻域内有定义lim0xC. D. 0ff )(lim)(li00ffxx（二）填空题函数 的定义域是（3， +) )1ln(39)(2xxf已知函数 ，则 x2 - x f e1/ 2 xx)(lim若函数 ，在 处连续，则 e0,)(xkf k函数 的间断点是 x=0 ,sin1xy若 ，则当 时， 称为 无穷小量 Axf)(lim0 0xAf)(（三）计算题设函数求： 0,e)(xxf )1(,0)2(ff解：f(-2) = - 2，f(
3、0) = 0， f(1) = e求函数 的定义域xy1lg解：由 解得 x1/2，函数定义域为(-，0)(1/2，+)在半径为 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆R上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：如图梯形面积 A=(R+b)h，其中 2hRb求 求求求求求设函数 1,1,)2()xxf讨论 的连续性，并写出)(xf其连续 区间解： 函数在 x=1 处连续不存在，函数在 x=-1 处不连续RhhA)(2 b23sinlm2sin3l00 xxx 2)1(sil)1si(l 11 xxx 3cos3nl3tanl00xx xxxxx sin)1()(
4、1limsin1lim22020 0lisin)(li 2020 x xxxx )341(li)34(l31li 4343)()1(limexx 224586li 424x 1)(lim1)2(li1 xff xx )()(lim1ffx0)(li1 fx)(li1fx高等数学基础第二次作业第 3 章 导数与微分（一）单项选择题设 且极限 存在，则 （ B ）0)(fxf)(lim0xf)(li0A. B. C. D. xf设 在 可导，则 （D ）)(0 hffh2)(li00A. B. 2fxC. D. 0x )(0f设 ，则 （A ）fe)(fx1)(lim0A. B. e2C. D.
5、214设 ，则 （D）)9()(1)(xxf )0(fA. B. 9C. D. ! !下列结论中正确的是（ C ）A. 若 在点 有极限，则在点 可导)(xf00xB. 若 在点 连续，则在点 可导C. 若 在点 可导，则在点 有极限fD. 若 在点 有极限，则在点 连续)(00（二）填空题设函数 ，则 0 ,1sin)(2xxf )(f设 ，则 (2/x)lnx+5/x xxfe5e2fd)(l曲线 在 处的切线斜率是 1/2 1)(,曲线 在 处的切线方程是 y=1 xfsin)4(设 ，则 2x 2x(lnx+1) y2y设 ，则 1/x l（三）计算题求下列函数的导数 ：y y=(x3
6、/2+3)ex，y=3/2x 1/2ex+(x3/2+3)exxye)3(=(3/2x1/2+x3/2+3)ex y=-csc 2x + 2xlnx +x xylncot2 y=(2xlnx-x)/ln 2xl y=(-sinx+2 xln2)x3-3x2(cosx+2x)/x63sxy =sinl2 y=4x 3-cosxlnx-sinx/xxxyli4 y=(cosx+2x)3 x-(sinx+x2)3xln3/32x3s2=cosx+2x-(sinx+x2)ln3/3x y=e xtanx+exsec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/xxyxlntae求下列函数的导数
7、： 21x 3cosly y=x7/8 y=(7/8)x -1/8 3x yecos2 x y=nsin n-1xcosxcosnx - nsinnxsin nxni 2s5xy ie 2x ye在下列方程中， 是由方程确定的函数，求 ：yx() y 方程对 x 求导：ycosx-ysinx=2 ye 2yx2cosy=ysinx / (cosx-2e 2y) 方程对 x 求导：y = y (-siny)lnx +(1/x)cosyylny=(1/x)cosy / (1+sinylnx) 方程对 x 求导：2siny + y2xcosy=(2xy-x 2 y)/y 2x2siy=2(xy y
8、2siny) /(x2+2xy2cosy) 方程对 x 求导：y=1+ y/y， y=y /(y-1)yln 方程对 x 求导：1/x+ ye y=2y y， y=1/x(2y-e y)2elx 方程对 x 求导：2y y=e xsiny + y excosyxsi12y= e xsiny/(2y- excosy) 方程对 x 求导：ye y =ex -3y2 y， y=e x/ey+3y23eyxy221(2)sin(l)cos 方程对 x 求导：y=5 xln5 + y2 yln2， y=5 xln5 /(1-2yln2)yx25求下列函数的微分 ：d csot xyinl 1ars 3x
9、y esin2 3tax求下列函数的二阶导数： yl xsin arct 23xy（四）证明题设 是可导的奇函数，试证 是偶函数)(f )(xf证明：由 f(x)= - f(-x) 求导 f(x)= - f(-x)(-x)f(x)= f(-x)， f (x)是偶函数高等数学基础第三次作业第 4 章 导数的应用（一）单项选择题若函数 满足条件（D ），则存在 ，使得 )(xf ),(baabff)()(A. 在 内连续,baB. 在 内可导C. 在 内连续且可导),(D. 在 内连续，在 内可导),(ba函数 的单调增加区间是（D ）142xfA. B. ),()1,(C. D. 2函数 在区间
10、 内满足（A ）52y6,A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升函数 满足 的点，一定是 的（C）)(xf0)(f )(xfA. 间断点 B. 极值点C. 驻点 D. 拐点设 在 内有连续的二阶导数， ，若 满足（C ），则 在 取到极小)(f,ba),(0ba)(xf )(xf0值A. B. 0)(,0xfx 0,fxfC. D. )(f )()(0设 在 内有连续的二阶导数，且 ，则 在此区间内是（A）,ba,xff )(xfA. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的设函数 在点 处取得极大值
11、，则 （ ）axxf 23)()( 12aA. B. 13C. D. 0（二）填空题设 在 内可导， ，且当 时 ，当 时 ，则 是)(xf,ba),(0bax0x)(f0x)(f0x的 极小值 点若函数 在点 可导，且 是 的极值点，则 0 0f 0函数 的单调减少区间是 (-，0) )1ln(2y函数 的单调增加区间是 (0，+) exf若函数 在 内恒有 ，则 在 上的最大值是 f(a) ,ba0)(xf)(xf,ba函数 的拐点是 x=0 35)(若点 是函数 的拐点，则 ， 0,12)(f b（三）计算题求函数 的单调区间和极值223)5(xy解：y=(x-5) 2+2(x+1)(x
12、-5)=3(x-1)(x-5)由 y=0 求得驻点 x=1，5.列表 x (-，1) 1 (1，5) 5 (5，+)y + 0 0 +y Ymax=32 Ymin=0 (-，1) 和 (5，+)为单调增区间， (1，5) 为单调减区间，极值为 Ymax=32，Y min=0。求函数 在区间 内的极值点，并求最大值和最小值32)(x3,0解：y=2x-2，驻点 x=1 是极小值点，在区间0 ，3上最大值为 y(3)=6，最小值为 y(1)=2。试确定函数 中的 ，使函数图形过点 和点 ，dcxbay23 dcba, )4,2()10,(且 是驻点， 是拐点2x1x求曲线 上的点，使其到点 的距离
13、最短)0,2(A解：曲线 y2=2x 上的点(x，y)到点 A(2，0) 的距离 d 2=x2-2x+4，(d 2)2)0()(xx=2x-2，由(d 2)=0 求得 x=1，由此得所求点有两个： ,1,圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的L体积最大？解 右图为圆柱体的截面，由图可得 R2=L2-H2圆柱体的体积 V=R2H=(L2-H2)HV=(L 2-3H2)，由 V=0 解得 ，LH3此时 ，圆柱体的体积 最大。L369一体积为 V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：圆柱体的表面积 S=2R2+2RH由体积 V=R2H 解得 H=V
14、/R2 S=2R2+2V/ RS=4R - 2V/ R2=2(2R3 - V) / R2由 S=0 解得 ，此时VRV284332答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底面边长为 a 高为 h表面积 S=a 2+4aha 2h =62.5，h =62.5/ a 2S=a 2+250/a， S=2a - 250/a 2=(2a 3 250)/a 2，由 S=0 解得 a =5m，h =2.5m，此时 S=75m2 最小，即用料最省。从面积为 的所有矩形中，求其周长最小者从周长为 的所有矩形中，求其面积
15、最大者L（四）证明题当 时，证明不等式 0x)1ln(x证明：令 f(x)=x-ln(1+x)， f(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)当 x0 时有 f(x)0，f(x) 为增函数，又 f(0)=0当 x 0 时 f (x)0，即 xln(1+x)当 时，证明不等式 1e证明：令 f(x)=ex/ (x+1)，x 0 (0，1) 1 (1，3) 3y - - 0 +y 3 2 6 RhaHHLf(x)= e x(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2当 x0 时有 f(x)0，f(x) 为增函数，又 f(0)=1当 x 0 时 f (x)1，即 exx+1高等数
16、学基础第四次作业第 5 章 不定积分第 6 章 定积分及其应用（一）单项选择题若 的一个原函数是 ，则 （D ）)(xfx1)(fA. B. ln2C. D. x13x下列等式成立的是（D）A. B. )(d)(xff )(dxffC. D. 若 ，则 （B）fcos)(xf)(A. B. xsincosC. D. x （D）fd)(32A. B. x )(32fC. D. )(1f 1x若 ，则 （B）cxF)(dfd)(A. B. )( cxF2C. D. 2 )(1由区间 上的两条光滑曲线 和 以及两条直线 和 所围成的平面区,bafygaxb域的面积是（ ）A. B. axgfd)(b
17、axfd)(C. D. b gf下列无穷限积分收敛的是（D ）A. B. 1dx0dexC. D. 12（二）填空题函数 的不定积分是)(xfdxf)(若函数 与 是同一函数的原函数，则 与 之间有关系式 F(x)=G(x)+c F)(G)(xFGde2 xde2 tanx+c )(tan若 ，则 -9cos3x cf3os)(xf 3 35d)21(six若无穷积分 收敛，则 1 1pp（三）计算题 xdcos2 cxdxcodx1sin)(1)(cos2 e eeexx 21 xdln1cx|ln)(l 2si cxxdxdx 2sin41co2)cos)(os(21cos e1l3x 713lnl3)(l3 |2ex 02d 3)()1 210210202 | exeex xx e1ln 4)ln(l)( 111 ddeee 2x xxxn|2（四）证明题证明：若 在 上可积并为奇函数，则 )(xf,a0d)(af证明： ，在第一项中令 x = - t，a dxfxfd00)()(则 ， 00)(aatf aaxft0)(af)(证明：若 在 上可积并为偶函数，则 x, a0d2d证明： ，在第一项中令 x = - t，aaa dxfxfdf 00)()()(则 ，0ataft0)(af)(axf0)(证明： aff0)()(
