1、蝴蝶模型1、蝴蝶模型与任意四边形 4321SS在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。推导：由等积变形模型可知：OCASBCDAOABS2431即431S2、蝴蝶模型与梯形 4321S 推导： 同上 过点 A 作三角形 ABC 的高 ，过点1hD 作 BCD 的高 2hBC/（两平行线之间高相等）211hSABC2DBCA3231SS21S3、蝴蝶模型与平行四边形（一） 4321SS 推导： 同上 （同底等高）BCDASACDBS42412323OBA31S42（二） 即：对角平行四边形面积乘积相等2（在平行四边形 ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线
2、段 GH、EF）推导：连接 GE、EH、HF、FG，过点 E 作 EM 垂直于 GH 于点 M MOGSE211平 行 四 边 形OGE同理可得： 32SOGF21SOFH421SEOH由蝴蝶定理可知： GE4321S4、蝴蝶模型与长方形（1） 4321SS （2） 即：对角长方形面积乘积相等4321SS5、蝴蝶模型与正方形“子母图”两共线相邻的正方形在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即 a/b、c/d重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。例 1：如下图所示，在梯形 ABCD 中，对角线 BD， AC 相交于点 O，AOD 的面积是 6，AOB 的面积是 4，那么梯形 AB
3、CD 的面积是多少？分析：梯形 ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形 BOC 和三角形 DOC 的面积，进而可以求出梯形 ABCD的面积。解：由蝴蝶定理可知： =6=664=9梯形 的面 积 是 9+6+4+6=25答：梯形 ABCD 的面积是 25。例 2：如图，求阴影部分的面积。 （单位 cm2）分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等” ，可直接求出阴影部分的面积。解： （cm 2）阴影 =28612=14答：阴影部分的面积为 14 平方厘米。例 3：下图是两个正方形，大正方形边长是 8，小正方形边长是 6，求图中阴影部分的面积
4、。 （单位：厘米）分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以 AC 平行于 GE，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形 AOG 和三角形 COE 面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形 GCE 的面积，即小正方形面积的一半。解：连接 ACACGE由梯形的蝴蝶定理可知： = （cm 2）阴 =+=1266=18答：阴影部分的面积为 18 平方厘米。28 126A BDC46 OAB CDEFGO练习题1. 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC，BD 分成四个部分，AOB 面积为 1 平方千米，BOC 面积为 2 平方千米，COD 的面积为 3 平方千米。公园由 6.92 平方千米的陆地和人工湖组成，则人工湖的面积是多少平方千米？2. 如图，长方形 ABCD 被 CE、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为2、5、8 平方厘米，求余下的四边形 OFBC 的面积。3. 如图，在长方形 ABCD 中，ABP 的面积为 30 cm2，CDQ 的面积为 80 cm2，求阴影部分的面积。4. 如图，四边形 ABCG 和 CDEF 都是正方形，DC 等于 12 厘米，CB 等于 10 厘米，求阴影部分的面积。
