1、一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 =b 2-4ac。定理 1 ax2+bx+c=0(a0)中，0 方程有两个不等实数根.定理 2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0 方程有两个相等实数根.定理 3 ax2+bx+c=0(a0)中，0 方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理 4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根 0.定理 5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根 0.定理 6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根 0.注意：（1
2、）再次强调：根的判别式是指 =b 2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出 a、b、c 的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac0 切勿丢掉等号。(4)根的判别式 b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.二.根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。例 1 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax 2+bx=0(a0)解：(1) 2x 2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,=b 2-4ac=32-42(
3、-4)=410方程有两个不相等的实数根。(2)a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，=(-b) 2-4a0=b2,无论 b取任何关数，b 2均为非负数，0， 故方程有两个实数根。 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例 2k 的何值时？关于 x的一元二次方程 x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）0；（2）=0；（3）0；解：=(-4) 2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）方程有两个不相等的实数根，0，即 36-4k0.解得 k9（2
4、）方程有两个不相等的实数根，=0，即 36-4k=0.解得 k=9（3）方程有两个不相等的实数根，9 证明字母系数方程有实数根或无实数根。例 3求证方程(m 2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 分析：先求出关于 x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明： =(-2m) 2-4(m2+1)(m2+4)=4m 2-4(m4+5m2+4)=-4m 4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m 2+2)2不论 m取任何实数(m 2+2)20, -4(m 2+2)20时，关于 x的方程 c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个
5、相等的实数根。求证 ABC 为 Rt。 证明：整理原方程：方程 c(x2+m)+b(x2-m)- 2 ax =0.整理方程得：cx 2+cm+bx2-bm-2 ax =0(c+b)x 2-2 ax +cm-bm=0根据题意：方程有两个相等的实数根，=(-2 a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma 2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma 2-c2m+b2m=0=m(a 2+b2-c2)=0又 m0, a 2+b2-c2=0 a 2+b2=c2 又a,b,c 为 ABC 的三边， ABC 为 Rt。 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例 5、（1）若关于 a的二次三项式
6、16a2+ka+25是一个完全平方式则 k的值可能是（ ）; （2）若关于 a的二次三项式 ka2+4a+1是一个完全平方式则 k的值可能是（）;分析：可以令二次三项等于 0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即 =0解：（1）令 16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根，=k 2-41625=0k=+40 或者-40（2）令 ka2+4a+15=0方程有两个相等的实数根，=16-4k=0 k=4 可以判断抛物线与直线有无公共点例 6:当 m取什么值时，抛物线与直线 y=x2m 只有一个公共点？解:列方程组 消去 y 并整理得 x2+x-m-1=0，抛物线与直线只有一个交点
7、，0，即 4m+5=0 ( 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。) 可以判断抛物线与 x轴有几个交点分析：抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴的交点 （）当 y=0时，即有 ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程 ax2+bx+c=0。可见，抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与 x轴的交点有如下三种情形： 当 时，抛物线与 x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为 x1、x 2，则抛
8、物线与 x轴的两个交点坐标为（x 1，0）（x 2，0）。 当 时，抛物线与 x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（ ）。 当 时，抛物线与 x轴没有交点。例 7、判定下列抛物线与 x轴交点的个数：（） （） （）解：（）16-12=40 抛物线与 x轴有两个交点。（）36-36=0 抛物线与 x轴只有一个公共点。（）4-16=-120，即 4m+80 m2当 m2时，抛物线与 x轴没有公共点。 利用根的判别式解有关抛物线 （ 0）与 x轴两交点间的距离的问题.分析:抛物线 （0）与 x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：例 9: 求当 a为何值时?二次函数 图象与 x轴的两个交点间的距离是 3。解：令 y=0，得方程 ，设这个一元二次方程的两根分别为 x1和 x2，则 由 得 ，即 。进而得a= 或 a= 。 当 时，图象与 x轴两个交点间的距离是 3。
