1、一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a0）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组) ，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。1、一元二次方程根的判别式： acb42（1）当 0 时 方程有两个不相等的实数根；（2）当 =0 时 方程有两个相等的实数根
2、；（3）当 0 时 方程没有实数根，无解；（4）当 0 时 方程有两个实数根（5）根的判别式b 24ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：（1）若 是一元二次方程 的两个根，那么： ，21,x02cbxa abx21ac（2）以两个数 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是：21,x0)(1x3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。（2）不解方程，求某些代数式的值。（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。（4
3、）已知两数和与积，求这两个数。（5）二次三项式的因式分解。注 意 ： 在 应 用 根 与 系 数 的 关 系 时 ， 不 要 忽 略 隐 含 条 件 。0a例题讲解例 1、当 为何值时，关于 的方程 ：kx2213kxk1 两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根。例 2、 mxmx为 何 值 时 ， 关 于 的 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ？ 并2350求出这时方程的根。例 3、 已 知 方 程 的 两 实 数 根 为 、 ， 不 解 方 程 求 下 列 各 式 的 值 。x2310 （ ） ； （ ） ； （ ） ；（ ） ； （ ） ； （ ）1341564
4、32 2例 4、 已 知 关 于 的 方 程xkx20（1）求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根。（2）若等腰三角形的一边长为 1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。走进中考专题训练 一、填空题：1关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= ；若方程 x2+px+q=0 的两根为 则 = ， 。,2若方程 2x(x+3)=1 的两根分别为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= ，x 12x2+ x1x22= ，x 12+ x22= ， = 。214x3关于 x 的一元二次方程 的一个根为 2，则 a 的
5、值为 。0132ax4已知一元二次方程 的两根之和为 4a3，则两根之积为 。25当 m 时，一元二次方程 有实根；当 m 时，两根同为正；42x当 m 时，两根异号。6以 为根的一元二次方程为 。31,27已知 x1，x 2 是方程 的两个实数根，则 的值为 。0362x21x8如果一元二次方程 的两个根分别比一元二次方程 的两2m06my个根均大 5，则 m 的值为 。二、解答题：9不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1) (2) (3) 032x 0372x5)2(3x10k 取何值时，方程 kx2（2k+1）x+k=0， （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；
6、（3）无实数根11已知关于 x 的方程 .012)(2mx（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。12已知关于 x 的方程 ，如果方程的两个不相等的实数根的04)12(2mx平方和等于 15，求 m 的值。13已知关于 x 的一元二次方程 .02ax（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围；（2）如果此方程有两个实数根为 x1，x 2，且满足 ，求 a 的值。321x14设 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，当 a 为0242ax何值时， 有最小值？最小值是多少？自我检测 1方程（m+2 ）x
7、 m +3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）Am2 Bm=2 Cm= 2 Dm=22已 知 关 于 x 的 方 程 x2 （ m 3） x+m2=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 最 大 整 数41值 是 （ ）A2 B1 C0 D13k 为实数，则关于 x 的方程 x2+2（k+1）x+k 1=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D不能确定4已知关于 x 的方程（2m 1）x 28x+4=0 有两个实数根，则非负整数 m 的值为（ ）A1 B2 C1 或 2 D0、1、25对任意实数 m，关于 x 的方程（
8、m2+1）x 22mx+m 2+4=0 一定（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D不能确定6若关于 x 的一元二次方程 kx22x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k07若方程 的两根和为 4，积为2，则 a，b 分别为（ ）032baA12 与-3 B4 与3 C12 与3 D4 与38已知一元二次方程 ，若 ，则该方程一定有一个根为（ 2cx0ca）A0 B1 C1 D29试证明：关于 x 的方程（a28a+20）x2+2ax+1=0，不论 a 取何值，该方程都是一元二次方程一元二次方程之判别式法与韦达定理
9、（二）走进中考专题训练一、填空题1若方程（m1）x m+1 2x=3 是关于 x 的一元二次方程，则 m=_2对于方程（m1）x 2+（m+1）x+3m+2=0 ，当 m_时，为一元一次方程；当m_时为一元二次方程3一元二次方程 ax2+bx+c=0 至少有一个根为零的条件是 _5如果 m 为任意实数，则一元二次方程 x2mx+ m2+m+ =0 的解的情况是13_6k1 时，关于 x 的方程 2（k+1）x 2+4kx+2k1=0 的根的情况是_7若 x=a（a2 ）是关于 x 的一元二次方程（k1）x 2+2kx+k+3=0 的一个实数根，则 k 的取值范围是_8若关于 x 的方程（m1）
10、 x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根，则=_，则 m 的取值范围是_二、选择题9方程（m+2 ）x m +3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）Am2 Bm=2 Cm= 2 Dm=210已 知 关 于 x 的 方 程 x2 （ m 3） x+m2=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 最 大 整41数 值 是 （ ）A2 B1 C0 D111k 为实数，则关于 x 的方程 x2+2（k+1）x+k 1=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D不能确定12已知关于 x 的方程（2m 1）x 28x+4=0 有
11、两个实数根，则非负整数 m 的值为（ ）A1 B2 C1 或 2 D0、1、213对任意实数 m，关于 x 的方程（ m2+1）x 22mx+m 2+4=0 一定（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D不能确定14已知关于 x 的方程（b+c）x 2+ （ac ）x （ac）=0 有两个相等的实数根，则43以 a、b、c 为三边长的三角形是（ ）A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D不能确定15若关于 x 的方程 x2（ ）x+k=0 有两个不相等的实数根，则化简 k+2+4k的值为（ ）42kA4 B2k C4 D2k16若关于 x 的一元二次方程 kx22x+1
12、=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0三、解答题17解关于 x 的方程 2x2+（3m n）x2m 2+3mnn 2=018若两个关于 x 的方程 x2+x+a=0 与 x2+ax+1=0 有一个公共根，求 a 的值 19试证明：关于 x 的方程（a 28a+20）x 2+2ax+1=0，不论 a 取何值，该方程都是一元二次方程 21方程 x2（k+1）x+ k=0 能否有相等的实数根若有请求出来4122已知一元二次方程（ab2b）x 2+2（ba）x+2aab=0 有两个相等的实数根，求的值ba1自我检测1. 下列方程中，两实数根之和等于
13、 2 的方程是（ ）A. B. x230x30C. D. 612. 如果一元二次方程 的两个根为 ，那么 与 的值分别为x2 x2、 x121（ ）A. 3，2 B. C. D. 3， 3， 3，3. 如果方程 的两个实数根分别为 ，那么 的值是（ ）60xx12、 x12A. 3 B. C. D. 4. 如果 是方程 的两个根，那么 的值等于（ ）x12、 x231012xA. B. 3 C. D. 3335. 已知关于 x 的方程 有两个相等的正实数根，则 k 的值是（ kxk260()）A. B. C. 2 或 D. 2101256. 若方程 两实数根的平方差为 16，则 m 的值等于（ ）xm8A. 3 B. 5 C. 15 D. 17. 如果 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么 等12、 x12x2x12于（ ）A. 2 B. C. 1 D. 8. 对于任意实数 m，关于 x 的方程 一定（ ）()()xm2240A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根
