1、 1 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例 1 对于 x R，不等式 恒成立，求实数 m的取值范围。 例 2： 已知不等式 04)2(2)2( 2 xaxa 对于 x 恒成立，求参数 a 的取值范围 解：要使 04)2(2)2( 2 xaxa 对于 x 恒成立，则只须满足： （ 1） 0)2(16)2(4 022 aaa 或 （ 2）040)2(202aa 解（ 1）得 22 2aa，解（ 2） a 参数 a 的取值范围是 a 练习
2、 1. 已知函数 )1(lg 22 axaxy 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 2.若对于 x R，不等式 恒成立，求实数 m的取值范围。 3.若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。 4.x 取一切实数时，使 34 72 kxkx kx恒有意义，求实数 k 的取值范围 2 例 3设 22)( 2 mxxxf ，当 ),1 x 时， mxf )( 恒成立，求实数 m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题 的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。 若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解： mmxxxF
3、 22)( 2 ，则当 ),1 x 时， 0)( xF 恒成立 当 120)2)(1(4 mmm 即时， 0)( xF 显然成立； 当 0 时，如图， 0)( xF 恒成立的充要条件为： 1220)1(0mF 解得 23 m 。综上可得 实数 m 的取值范围为 )1,3 。 例 4 。已知 1axx)x(f 2 ，求使不等式 0)x(f 对任意 2,1x 恒成立的 a 的取值范围。 解法 1：数形结合 结合函数 )x(f 的草图可知 2,1x,0)x(f 时恒成立 25a0a25)2(f 0a2)1(f 得。所以 a 的取值范围是 ),25( 。 解法 2：转化为最值研究 4a1)2ax()x
4、(f 22 1. 若 2,1)x(f,3a232a 在时即 上的最大值 ,25a,0a25)2(f)x(fm a x 得3a25 所以。 2. 若 0a2)1(f)x(f2,1)x(f,3a232am a x 上的最大值在时即，得 2a ，所以 3a 。 综上： a 的取值范围是 ),25( 。 注： 1. 此处是对参 a 进行分类讨论，每一类中求得的 a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的 a 的范围求并集。 2. Ix,m)x(f 恒成立 )m(m)x(f m a x 为常数 ； )m(m)x(fIx,m)x(f m i n 为常数恒成立 解法 3：分离参数 2,1x,x1xa2,1x,
5、01axx 2 。设 x1x)x(g ， 注： 1. 运用此法最终仍归结为求函数 )x(g 的最值，但由于将参数 a 与变量 x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“ 2,1x ”改为“ )2,1(x ”可类似上述三种方法完成。 仿解法 1： )2,1(x,0)x(f25a0)2(f 0)1(f 得即 ),25:a 的范围是 读者可仿解法 2，解法 3 类似完成，但应注意等号问题，即此处 25a 也合题。 O x yx -1 3 例 5. 已知： 1axx)x(f 2 求使 1,1x0)x(f 对任意 恒成立的 a 的取值范围。 解法 1：数形结合结合 )x(
6、f 的草图可得： 0)1(f12a04a04a22 或 或0)1(f104a 2得： )2,2(:a2a2 的取值范围是即 。 解法 2：转化为最值研究 4a1)2ax()x(f 22 1. 2a204a1)x(f,2a212a1 2m i n 得时即，所以 2a2 。 2. 若 2a,2a0a2)1(f)x(f,2a12am i n 与得时即矛盾。 3. 若 2a,2a0a2)1(f)x(f,2a12am in 与得则时即矛盾。综上： a 的取值范围是 )2,2( 。 解法 3：分离参数 1. 0x 时，不等式显然成立，即此时 a 可为任意实数； 2. )0,1x 时， x1xa01axx
7、2 。因为 )0,1x1x)(g 在 上单调递减，所以2)1(g)x(ga m a x ； 3. 1,0(x 时， x1xa01axx 2 。因为 x1x)x(g 在（ 0， 1）上单调递减，所以 2)1(g)x(ga m in 。综上： a的范围是： )2,2( 。 注：本题中由于 x的取值可正可负，不便对参数 a 直接分离，故采取了先对 x 分类，再分离参数 a，最后对各类中求得 a的范围求交集，这与例 1 方法三中对各类中求得的 a 的范围求并集是不同的，应引起注意！ 例 6. 已知： 1axx)x(f 2 ，求使 0)x(f 对任意 3,3a 恒成立的 x 的取值范围。 解： 01ax
8、x0)x(f 2 即 习惯上视 x为主元而 a为辅元，但本题中是 a 在 3,3 上任意变化时不等式恒成立，故可将 a 视为主元。 变更主元法：设 1xax)a(g 2 ，则 )a(g 的图像为一直线，则 3,3a,0)a(g 时恒成立 01x3x)3(g 01x3x)3(g 22 即 x 的范围是： ),2 53()2 53,( 总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当 于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。 二
9、 、 利用函数的最值（或值域） （ 1） 对任意 x 都成立 （ 2） 对任意 x 都成立 。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 4 例 1已知 函数 ),1,2)( 2 xx axxxf ，若对任意 ),1 x ， 0)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围。 解：若对任 意 ),1 x ， 0)( xf 恒成立，即对 ),1 x ， 02)( 2 x axxxf 恒成立， 考虑到不等式的分母 ),1 x ，只需 022 axx 在 ),1 x 时恒成立而得 而抛物线 axxxg 2)( 2 在 ),1 x 的最小值 03)1()(m
10、i n agxg 得 3a 例 2 已知 aaxxxf 3)( 2 ，若 2)(,2,2 xfx 恒成立，求 a 的取值范围 . 解析 本题可以化归为求函数 f(x)在闭区间上的最值问题 ,只要对于任意 2)(,2,2 m in xfx .若2)(,2,2 xfx 恒成立 2)(,2,2 m in xfx 237)2()(22m in afxfa 或243)2()(2222m in aaafxfa或27)2()(22m in afxfa ，即 a 的取值范围为 222,5 . 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题 ,可以求函数最值的方法 ,只要利用mxf )( 恒
11、成立 mxf min)( ； mxf )( 恒成立 mxf max)( .本题也可以用零点分布策略求解 . 设函数是定义在 ( , ) 上的增函数，如果不等式 2(1 ) ( 2 )f ax x f a 对于任意 0,1x 恒成立，求实数 a的取值范围。 分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 212ax x a 对于任意 0,1x 恒成立 ，从而转化为二次函数区间最值求解。 解： ()fx 是增函数 2(1 ) ( 2 )f a x x f a 对于任意 0,1x 恒成立 212ax x a 对于任意 0,1x 恒成立 2 10x ax a 对于任意 0,1x 恒成立，令 2( )
12、 1g x x ax a ， 0,1x ，所以原问题 min( ) 0gx，又 m in( 0 ) , 0( ) ( ) , 2 022 , 2gaag x g aa 即2m in1 , 0( ) 1 , 2 042 , 2aaag x a aa 易求得 1a 。 三、变更主元法 在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。 一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数 . 用一 次函数的性质 对于一次函数 有： 5 例题 1：已知不等式 对任意的 都成立，求 的取值范围 . 解： 我们可以用改变主元的办法，将 m视为主变
13、元， 原不等式可化为 令 是关于 m 的一次函数。 由题意知 解得 x 的取值范围是 关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。 评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于 的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的 x 为参数，以 为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数） 的值在 内恒为负的问题，再来求解参数 应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了 例 2对任意 1,1a ，不等式 024)4(2 axax 恒成立，求 x 的取值范围。 分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式，但若把 a 看成主元，则问题可转化为一次不等式0
14、44)2( 2 xxax 在 1,1a 上恒成立的问题。 解：令 44)2()( 2 xxaxaf ，则原问题转化为 0)( af 恒成立（ 1,1a ）。 当 2x 时，可得 0)( af ，不合题意。当 2x 时，应有 0)1( 0)1(ff解之得 31 xx 或 。 故 x 的取值范围为 ),3()1,( 。 例 3 已知对于任意的 a -1,1，函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求 x的取值范围 . 解析 本题按常规思路是分 a=0时 f(x)是一次函数， a0 时是二次函数两种情况讨论，不容易求 x的取值范围。因此，我们不能总是把 x 看成是变量，把 a看成常
15、参数，我们可以通过变量转换，把 a 看成变量， x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a -1,1时， g(a)0 恒成立，则 0)1( 0)1(gg，得 133133 x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 例 4 对于满足 |p| 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+12p+x 恒成立的 x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个变量： x、 P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从 x 的不等式正
16、面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量， x 看成参变量，则上述问题即可转化为在 -2， 2内关于 p 的一次函数函数值大于 0 恒成立求 参变量 x的范围的问题。 解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于 f(p)0在 p -2,2上恒成立，故有： 方法一： 10(2) 0xf 或 10( 2) 0xf x3. 方法二： ( 2) 0(2) 0ff 即0103422xxx 解得： 11 13 xx xx 或或 x3. o y 2 -2 x y -2 2 x 6 例 5 已知 aaxxxf 3)( 2 ，若 0)
17、(,2,2 xfx 恒成立，求 a 的取值范围 . 解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即 0 或0)2(0)2(220ffa或0)2(0)2(220ffa，即 a 的取值范围为 -7， 2. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题 ,可以考虑函数的零点分布情况 ,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了 . 设 )0()( 2 acbxaxxf （ 1）当 0a 时， ,0)( xxf 在 上恒成立0)(2020)(2fababfab或或 ， ,0)( xxf 在 上恒成立 0)(
18、 0)(ff （ 2）当 0a 时， ,0)( xxf 在 上恒成立 0)( 0)(ff,0)( xxf 在 上恒成 立0)(2020)(2fababfab或或 例 6 若 2,2x 时，不等式 2 3x ax a 恒成立，求 a 的取值范围。 解：设 2 3f x x ax a ，则问题转化为当 2,2x 时， fx的最小值非负。 （ 1） 当 22a 即： 4a 时， m in 2 7 3 0f x f a 73a又 4a 所以 a 不存在； （ 2） 当 222a 即： 44a 时， 2m i n 3024aaf x f a 62a 又 44a 42a （ 3） 当 22a 即： 4a
19、时， m in 2 7 0f x f a 7a 又 4a 74a 综上所得： 72a 四、分离参数法 此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题： 若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 ； 若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则 . 例 1已知 函数 ),1,2)( 2 xx axxxf ，若对任意 ),1 x ， 0)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围。 7 022 axx 在 ),1 x 时恒成立，只要 xxa 22 在 ),1 x 时恒成立。而易求得二次函数xxxh 2)( 2 在 ),1 上的最大值为
20、 3 ，所以 3a 。 例 2已知函数 4,0(,4)( 2 xxxaxxf 时 0)( xf 恒成立， 求实数 a 的取值范围。 解： 将问题转化为 x xxa 24 对 4,0(x 恒成立，令 x xxxg 24)( ，则 min)(xga 由 144)( 2 xx xxxg可知 )(xg 在 ,0( 上为减函数，故 0)4()( mi n gxg 0a 即 a 的取值范围为 )0,( 。 注：分离参数后 ，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 例 3 已知函数 |54|)( 2 xxxf ，若在区间 5,1 上， kkxy 3 的图象位于函数 f(x)的上方，求 k的取值范围 . 解
21、析 本题等价于一个不等式恒成立问题 ,即对于 543,5,1 2 xxkkxx 恒成立 ,式子中有两个变量 ,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题 . 对于 543,5,1 2 xxkkxx 恒成立 3 542 x xxk 对于5,1x 恒成立 ,令 5,1,3 542 xx xxy ,设 8,2,3 ttx ,则 ,8,2,10)16( ttty 4t当 ,即 x=1时2maxy , k的取值范围是 k2. 变式 若本题中将 kkxy 3 改为 2)3( xky ，其余 条件不变，则也可以用变量分离法解 . 由题意得，对于 54)3(,5,1 22 xxxkx 恒成立22)3( 54 x
22、xxk对于 5,1x 恒成立 ,令5,1,)3( 54 22 xx xxy ,设 8,2,3 ttx ,则 ,169)454(11016 22 ttty 8,2t ， 时即当 51,454 xt , 169maxy , k的取值范围是 k169 . 点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为 “ 对勾函数 ” ，从而求得最值 . 变式题中构造的函数通过换元后转化为“ 二次函数型 ” ，从而求得最值 .本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解 . 五、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图
23、形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 1 已知函数 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 . 8 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 及 的图象，由于不等式 恒成立，所以函数 的图象应总在函数 的图象下方，因此，当 时， 所以故 的取值范围是 例 2 当 x(1,2)时，不等式 (x-1)21,并且必须也只需 (2) (2)gf 故 loga21,a1,1a 2. 例 3 若不等式 23 log 0axx在 10,3x 内恒成立，求实数 a 的取值范围。 解：由题意知： 23 logaxx 在 10,3x 内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数 23
24、yx 和 logayx 观察两函数图象，当 10,3x 时，若 1a 函数logayx 的图象显然在函数 23yx 图象的下方，所以不成立； 当 01a时，由图可知， logayx 的图象必须过点 11,33或在这个点的上方，则， 11log 33a 127a 11 27a 综上得： 11 27a 注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数， 利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围 .利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象 .如：不等式，在 时恒成立，求 的取值范围 .此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设 然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解 . 练习 1：已知不等式 ( 1) 2 1x m x 对 0,3x 恒成立，求实数 m 的取值范围。 变式：已知不等式 ( 1) 2 1x m x 对 0,3m 恒成立，求实数 x 的取值范围。 x y o 1 2 y1=(x-1)2 y2=logax 9 练习 2：已知不等式 2 2 2 0x ax 对 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围。 变式 1：已知不等式 2 2 2 0x ax 对 1,2x 恒成立，求实数 a 的取值范围。 变式 2：已知不等式 2 2 2 0x ax 对 1,2x 恒成立，求实数 a 的取值范围。
