1、 1 计算 n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（ 按照某一列或某一行展开 完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0 1 00 2 0 01 0 0 00 0 0nDnn解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 1 1 2 2 1 1 !n n n n na a a a n . 该项 列标排列的逆序数 t（ n 1 n 2 1n）等于 ( 1)( 2)2nn ，
2、故 ( 1 ) ( 2 )2( 1 ) ! .nnnDn 2利用行列式的性质计算 例： 一个 n 阶行列式 n ijDa 的元素满足 , , 1 , 2 , , ,i j j ia a i j n 则称 Dn 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零 . 证明：由 ij jiaa 知 ii iiaa ，即 0, 1, 2, ,iia i n 故行列式 Dn 可表示为1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 2 3 31 2 30000nnnnn n na a aa a aD a a aa a a ，由行列式的性质 TAA ，1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 2 3 31 2
3、30000nnnnn n na a aa a aD a a aa a a 1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 2 3 31 2 300( 1 ) 00nnnnn n na a aa a aa a aa a a ( 1)n nD 当 n 为奇数时，得 Dn = Dn，因而得 Dn = 0. 2 3化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结 果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形
4、行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例 1 计算行列式1 1 2 3 13 3 7 9 52 0 4 2 13 5 7 1 4 64 4 1 0 1 0 2D 解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算 23 422131415132341 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 - 1 2 - 3 10 0 1 0 2 0 2 0 4 1 0 2 0
5、 4 - 10 2 0 4 1 0 0 1 0 2 0 0 - 1 0 - 20 2 1 5 3 0 2 1 5 3 0 0 1 - 1 20 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 - 2rrrrrrr rr rrrD 544353 2 21 1 2 3 1 1 1 2 3 10 3 0 4 1 0 2 0 4 11 2 1 1 6 1 2 .0 0 1 0 2 0 0 1 0 20 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 2 6 0 0 0 0 6rrrrrr 例 2 计算 n 阶行列式1 2 31 2 31 2 31 2 31111nnnna a a aa a a aD
6、 a a a aa a a a 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此 n 列之和全同将第 2， 3， n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1 3 1 2 2 3 2 31 2 2 3 2 311 2 2 3 2 311 2 2 3 2 3112, ,2, ,111 1 1 1c 1 1 1 1 11 1 1 11n n nn n nnin n i nin n nniiiinina a a a a a a a aa a a a a a a a acD a a a a a a a a a aa a a a a a a a arra
7、 231110 1 0 01 1 1 .0 0 1 00 0 0 1nnniiiia a aaa 例 3 计算 n 阶行列式a b b bb a b bD b b a bb b b a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2， 3， n列都加到第 1 列上，行列式不变，得 ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )a n b b b ba n b a b bD a n b b a ba n b b b a 11 ( 1 ) 11b b ba b ba n b b a bb b a10 0 0 ( 1 ) 0 0 00 0 0b b baba n b abab 1
8、 ( 1 ) ( ) na n b a b 例 4： 浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学 考试试题第一大题第 2 小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值： 1 2 3 12 3 4 13 4 5 1 21 2 2 1nnnnDn n n分析 显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质，先从第 n-1 列开始乘4 以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以 1 加到第
9、2 列。然后把第 1行乘以 1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解 ： 11( 2 , , )( 2 , , )11 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 0 0 03 1 1 1 1 2 0 0 01 1 1 1 1 0 0 01 0 0 00 0 01 0 00 0 02 0 01 1 ( 1 )20 0 02 0 0 00 0 01 0 01 ( 1 )()2iinninrrinrrnnnD nnn n n nnnnnn nnnnnnnnnnnnn ( 1 ) ( 2 )12( 1 )12( 1 )( 1 )12nnnnnnn 4降阶法（ 按行（列
10、）展开法 ） 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶。为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 例 1、 计算 20 阶行列式 201 2 3 1 8 1 9 2 02 1 2 1 7 1 8 1 93 2 1 1 6 1 7 1 82 0 1 9 1 8 3 2 1D 分析 这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个 2阶行列式计算，需进行 20！ *20 1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是 n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。
11、 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算： 解： 5 20 1919 182112020 1 18( 2 , , 20 )1 1 1 1 1 11 2 3 18 19 202 1 1 1 1 12 1 2 17 18 193 1 1 1 1 13 2 1 16 17 1819 1 1 1 1 120 19 18 3 2 120 1 1 1 1 11 1 1 1 1 13 0 2 2 2 24 0 0 2 2 221 ( 1 ) 220 0 0 0 0 221 0 0 0 0 0iccccccirrD 1821 2例 2 计算 n 阶行列式0 0 0 10 0
12、0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0naaaDaa解 将 Dn 按第 1 行展开10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0( 1 )0 0 00 0 00 0 0 1 0 0 0nnaaaaDa aaa 12( 1 ) ( 1 )n n n naa 2nnaa . 例 3 计算 n（ n 2）阶行列式0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0aaD aa 6 解 按第一行展开，得 10000 0 00 0 00 0 010000 0 01 0 0 0naaaaDaaa 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到 1 1 1 2 2 2 21 1 1nnn
13、 n n n nD a a a a a a 5递（逆）推公式法 递推法是根据行列式的构造特点，建立起 与 的递推关系式，逐步推下去，从而求出 的值。 有时也可以找到 与 ， 的递推关系，最后利用 ， 得到 的值。 注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例 1 计算行列 式10000000010001000nD. 解：将行列式按第 n 列展开 ,有 21)( nnn DDD , 1 1 2 1 1 2( ) , ( ) ,n n n n n n n nD D D D D D D D 得 nnnnnn DDDDDD )()(
14、1223221 。 同理得 nnn DD 1 , .,;,)1(11 nnnnnD 例 2 计算ayyyxayyxxayxxxaD n解 7 111)()(1010010001)(000nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD同理 11 )()( nnn yaxDxaD 联立解得 )(,)( yxyx xayyaxDnnn ）当 yx 时 , 1 2 1122 1 12( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 )nnn n nn n nD a x D x a x a x D x a x
15、a x D n x a x a x a n x 例 3 计算 n 阶行列式1 2 2 11 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1nn n nxxxDxa a a a a x 解 首先建立递推关系式按第一列展开，得： 1 1 1111 2 3 2 11 0 0 01 0 0 0 00 1 0 01 0 0 00 0 0 01 1 1 0 1 0 00 0 0 10 0 0 1n n nn n n n n nn n nxxxxD x a x D a x D axxxa a a a a x ，这里 1nD 与 nD 有相同 的结构，但阶数是 1n 的行列式 现在，利用递推关系式计算结
16、果对此，只需反复进行代换，得： 2 2 1 2 22 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 nnn n n n n n n n n n n n n nD x x D a a x D a x a x x D a a x a x D a x a x a x a ， 因 111D x a x a ，故 111nnn n nD x a x a x a 8 最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的 当 1n 时，显然成立设对 1n 阶的情形结果正确，往 证对 n 阶的情形也正确由 1 2 11 1 2 1 1 1 n n n nn n n n n n n nD x D a x x a x a x
17、a a x a x a x a ，、 可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立 例 4 证明 n 阶行列式2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 010 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2nDn 证明 按第一列展开，得2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 020 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2nD 其中，等号右边的第一个行列式是与 nD 有相同结构但阶数为 1n 的行列式，记作 1nD ；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与 nD
18、 有相同结构但阶数为 2n 的行列式，记作 2nD 这样，就有递推关系式： 122n n nD D D 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的 当 1n 时， 1 2D ，结论正确当 2n 时，2 21 312D ，结论正确 设对 1kn 的情形结论正确，往证 kn 时结论也正确 由 122 2 1 1n n nD D D n n n 可知，对 n 阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立 例 5、 2003 年福州大学研究生入学考试 试题第二大题第 10 小题要证如下行列式等式： 0 0 01 0 00 1 0 00 0 0 1n
19、D 11 ,nnnD 证 明 ： 其 中 （虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。） 分析 此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式 1。从行列式的左上方往右下方看，即知 Dn-1与 Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。 证明： Dn按第 1列展开，再将展开后的第二项中 n-1阶行列式按第一行展开有： 9 12n n nD D D （ ） 这是由 Dn-1 和 Dn-2表示 Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2阶行列式表
20、示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为： 1 1 2 1 2n n n n n nD D D D D D （ ） 或 1 1 2 1 2n n n n n nD D D D D D （ ） 现可反复用低阶代替高阶，有： 231 1 2 2 3 3 42 2 221 ( ) ( ) ( 1 )n n n n n n n nn n nD D D D D D D DDD （ ） （ ） （ ） （ ） = 同样有： 231 1 2 2 3 3 42 2 221 ( ) ( ) ( 2)n n n n n n n nn n nD D D D D D D DDD （ ） （ ） （ ） （ ） = 因
21、此 当 时 由（ 1）（ 2）式可解得： 11nnnD ，证毕。 6利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质 如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 例 1 计算行列式122 2 21 1 2 21 2 1 2 1 21 1 2 21 1 11 1 1nnnn n n n n nnnx x xD x x x x x xx x x x x x 解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行， 把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此类推直到
22、把新的第 n 1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式 122 2 21211 1 1121 1 1()nn i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x 10 例 2 计算 1n 阶行列式1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1n n n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n na a b a b a b ba a b a b a b bDa a b a b a b b 其中1 2 1 0na a a 解 这个行列式的每一行元素的形状都
23、是 n k kiiab ， k 0， 1， 2， n即 ia 按降幂排列， ib按升幂排列，且次数之和都是 n，又因 0ia ，若在第 i 行（ i 1， 2， n）提出公因子 nia ，则 D可化为一个转置的范德蒙行列式，即 21 1 11 1 122 2 2 11 2 1 2 2 21 1 1 1 121 1 11 1 111.1nnnjn n n n in i i j i ji j i n j i nijnn n nn n nb b ba a ab b bbbD a a a a b a a ba a aaab b ba a a 例 3 计算行列式xyxzyzzyxzyxD 222 . 解： )()()(222222)1()3(22222)1)()3(yzxzxyxzyzxyxzyzxyzxzyzxyyxzyzxyxzyxzyxxyzyzxzyzyyzxzxyzyxzyxDxzy例 4 计算行列式nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD21222212222121111解 作如下行列式 ,使之配成范德蒙行列式
