1、 21 第 2章 平稳 随机过程 2 1 平稳 随机过程的基本概念 引言 “ 平稳 ”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。 随机过程 )(tX ，当 t 变化时，得一系列随机变量： )(1tX ， )(2tX ， )(ntX 。 )(tX 具有“平稳”性， 是指 )(itX 的变化稳定， 不“大起 大落” ， 各 )(itX 具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有 相同的概率密度。 在统计学中， )(1tX ， )(2tX ， )(ntX 往往假设满足“独立同分布”（ id ）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。 2 1 1 严平稳过程及其数字特征 一、 定义 随
2、机过程 )(tX 的 n 维概率密度（或 n 维分布函数） ),( 2121 nnX tttxxxp 不随时间起点选择不同而改变。即：对任何 n 和 ，过程 )(tX 的概率密度满足： ),(),( 21212121 nnXnnX tttxxxptttxxxp 则称 )(tX 为 严平稳过程 。 二 、 严平稳过程的一、二维概 率密度 结论： 严平稳过程 )(tX 的一维概率密度与时间无关 ； 严平稳过程 )(tX 的二维概率密度只与1t 、 2t 时间间隔 12 tt 有关。 证明 ：当 n 1 时，对任何 ，有 ),(),( 1111 txptxp XX 。 取 1t ，则有 )()0,(
3、),(),(),( 111111111 xpxpttxptxptxp XXXXX 。 当 n 2 时，对任何 ，有 ),(),( 21212121 ttxxpttxxp XX 。 取 1t ， 12 tt ，则 ),(),0,(),( 2112212121 xxpttxxpttxxp XXX 。 三 、 严平稳过程的数字特征 （ 1）若 )(tX 是 严平稳过程 ，则它的均值、均方值、 方差皆为与时间无关的常数。 22 证明 ：XXXX mdxxxpdxtxxptXEtm )(),()()(2222 )(),()( XXX dxxpxdxtxpxtXE 22 )()()( XXX dxxpmx
4、tXD （ 2）若 )(tX 是 严平稳过程 ，则它的自相关函数 ),( 21 ttRX 只是间间隔 12 tt 的单变量的函数。 证明 ： 212121212121 ),()()(),( dxdxttxxpxxtXtXEttR XX )(),(212121 XX Rdxdxxxpxx 2 1 2 宽 平稳过程 引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。 一、 定义 若随机过程 )(tX 的数学期望为一常数，其自相关函数 ),( 21 ttRX 只与时间间隔 12 tt 有关，且它的均方值
5、有限，即： XmtXE )( )()()(),( 2121 XX RtXtXEttR )( 2 tXE 则称 )(tX 为宽平稳过程（或广义平稳过程）。 二 、举例 ： 例 1 设随机过程 )co s ()( 0 tatX ， a 与 0 为常数， 为在 )2.0( 上均匀分布的随机变量，证明 )(tX 是平稳过程。 证明： )()( tXEtm X dptataE )()c o s ()c o s ( 20 00 021)c o s (20 0 dta )()(),(),( 21 tXtXEttRttR XX dtata 2 1)(c o s ()c o s (020 0 23 )()c o
6、 s (2)2)2c o s (2 1)c o s (2 0220 0002 XRadta 2)0c o s (2),()( 2022 aattRtXE X 可见， )(tX 是 宽平稳过程。 例 2，设 YtX )(1 ， tYtX )(2 ，式中 Y 是随机变量，讨论 )(1tX 、 )(2tX 的平稳性。 解： )(1tX 是平稳过程，因为： YX mYEYEtXEtm )()()()( 112221 )(),(1 YX YEttR )(2tX 不是平稳过程，因为： YX mtYtEtYEtXEtm )()()()( 22 2212212121 )()(),(2 YX ttYEttYtY
7、tEttR 例 3 设随机过程 )2cos()( AttX ， A 是在 )1.0( 上均匀分布的随机变量， t 只能取整数，证明 )(tX 是平稳过程。 证明： )()( tXEtm X daapatAtEA )()2s i n ()2s i n ( 10 daat10 )2sin( 0 )()(),(),( 21 tXtXEttRttR XX dataat )(2s i n ()2s i n (10 00 0,5.0)2(2c o s ()2c o s (21 10 dataa2 2 遍历性过程 引言 ： 在实用中，如何求 )(tX 的数字特征？ 以 t 为自变量， )(tX 是一曲线族。
8、对 )(tX 的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。 问题：只获得一条曲线时，能否准确得到 )(tX 的数字特征？ 2.2.1 遍历性过程定义 一 、随机过程的时间 均值 、 时间自相关函数 24 )( tXE 的含义是：当 t 固定时， )( tXE 是随机变量 )(tX 的均值。当 t 变动时，相对于时间 t 的均值如何求？ 在时间 , TT ，以NTt 2为时间间隔， 等间距的抽 取 N 个点 titi )1(（ Ni ,2,1 ），得 )(1tX ， )(2tX ， )(NtX ，其平均值为 TTNNi iNi i dttXTttXTtXN )(2 1)(2 1)(1
9、11 在随机过程 )(tX 沿整个时间轴的两种时间平均 TTT dttXTtX )(21lim)( TTT dttXtXTtXtX )()(2 1l i m)()( 分别称为时间均值和时间自相关函数。 )(tX 与 )()( tXtX 都是随机变量。 二、 遍历性过程 定义 设 )(tX 是平稳过程，若 )(tX 满足： （ 1） XmtXEtX )()( 以概率 1 成立，则称 )(tX 的均值具有各态遍历性。 （ 2） )()()()()( XRtXtXEtXtX 以概率 1 成立，则称 )(tX 的自相关函数具有各态遍历性。 （ 3）当 0 时， )0()()()()( XRtXtXEt
10、XtX 以概率 1 成立，则称 (tX 的均方值 具有各态遍历性。 如果 )(tX 的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称 )(tX 是 遍历过程 。 2.2.2 计算举例 例 4 设随机过程 )co s ()( 0 tatX ， a 与 0 为常数， 为在 )2.0( 上均匀分布的随机变量，讨论 )(tX 的遍历性。 解： )(tX 是遍历过程，因为： 0)s i n (c o sl i m)c o s (2 1l i m)(2 1l i m)( 0 00 T TdttaTdttXTtX TT TTT TT 25 T TTT TT dtttaTdttXtXTtXtX )(c
11、 o s ()c o s (2 1l i m)()(2 1l i m)()( 002 )cos(2 02 a例 5 YtX )( ， Y 是随机变量，讨论 )(tX 的遍历性。 解， )(tX 不是遍历过程，因为： YY d tTdttXTtX TTTTTT 2 1l i m)(2 1l i m)(，而 Y 是随机变量，所以 YtXE )( 。 原因分析： Y 的取值与时间无 关，当时间变动时， Y 可能取某个随机值 1yY 而变动。 2.2.3、随机过程具备遍历性的条件 一、 遍历过程必须是平稳的。（平稳过程不一定是遍历的）。 二、 平稳过程 )(tX 的均值具备遍历性的充要条件是： 0)(
12、)21(1l i m 20 2 T XXT dmRTT 三、 平稳过程 )(tX 的自相关函数具备遍历性的充要条件是： 0)()()21(1lim 120 211 T XT dRBTT 式 中 )()()()()( 111 tXtXtXtXEB 四、 对于正态平稳过程，若均值为 0，自相关函数 )(XR 连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是： dR X0 )(。 2 3 随机过程统计特征的实验研究方法 引言： 遍历过程 的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。 在具体的工程应用中，需要等间距离散 采样，获取的
13、是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的 抽取 N 个 点，得 N 个 随机 变量 )1(X ， )2(X ， )(NX ，或记为 1X ， 2X ， NX 。 在工程应用中，得到的是一组样本值 1x ， 2x ， , Nx . 26 利用 1x ， 2x ， , Nx 来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。 2.3.1、 均值估计 )(tX 具有遍历性， XmtXE )( ，用时间均值 )(tX 来估计 Xm ： Ni iX xNtXm 11)( Xm 是 Xm 的无偏估计，也是极大似然估计。 XNi iXmxENmE 1)(1)( 2.3.2、 方差估计 )(tX 具有遍历性， XmtXE )( 已知 方差 2)( XtXD 的 估计 为： Ni XiX mxN 1 22 1 此估计是极大似然估计，是无偏估计 。 XmtXE )( 未知，方差 2X 的估计为： Ni XiX mxN 1 22 1 此估计是渐近无偏估计。 2.3.2、 自相关估计 按定义 ， )()( kiiX XXEkR 。 Ni iX xNR 1 21)0( kNi kiiX xxNkR 11)( )( kRX 是 )(kRX 的渐近无偏估计。 27 )()1()( kRNkkRE XX
