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1、 - 1- 第二教育网同步辅导资料 中考数学专题复习 -整体思想 （北师大版） 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。 一、整体思想在数与式中的应用 例 1、计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1112 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 . 分析：若按运算顺序进行计算，计算量比较大，观察各个括号里的算式，看一下它们之间的联系，想办法用“整体替换

2、” 。 解：设 1 1 1 1 1 11,2 3 4 2 3 4ab ，则 1ab。将它们代入原式，得 原式 = 1 1 1 1 1 15 5 5 5 5 5a b a b ab a ab b a b 。 点拨：该题中，若把每一个括号里的算式看做一个多项式，按照多项式乘法法则先算乘法，再算减法，这样有很多项可以互相抵消。因此，用“整体替换”可以简化中间互为相反数的项，能使运算简便。 例 2、当 1x 时，代数式 3 1px qx的值是 2001，则当 1x 时，代数式 3 1px qx的值是（ ） . A. 1999 B. 2000 C. 2001 D.1999 分析：由题设有 1 2001p

3、q 。欲求当 1x 时，代数式 3 1px qx的值，似乎需要分别求出 p和 q 的值，其实这不必要也不可能。我们可视 pq 为一整体，得 2000pq ，当 1x 时，代数式 3 1 1 1 1 2 0 0 0 1 9 9 9p x q x p q p q 。 解： A。 点拨：本题运用的还是整体代入的方法。 例 3、若 1 3x x，则 221 _ .x x分析：本题若按常规，先求出 x 的值，再代入计算则十分冗繁，若将 1x x 看成一个整体，两边平方得： 21 9xx，即 221 7.x x解： 7。 点拨：本题运用的是整体变形的策略 。 二、整体思想在方程（组）中的应用 例 1、（

4、2002 年江苏省镇江市中考题）已知二元一次方程组为 2x + y = 7x + 2y = 8 则 x-y=_, x+y=_. 分析：若直接解出 x 与 y 的值，再代入所求代数式，虽然能求得结果，但很费力。仔细观察两个方程，会发现两边分别相加和相减即可得到所求代数式的值。 -，得 x - y = - 1 - 2- 第二教育网同步辅导资料 +，得 3x + 3y = 15 化 简，得 x+y=5 解： 1,5 。 点拨：这道题目的计算量和计算难度都不大，但它体现了一种巧用的计算方法，这是巧用整体思想方法。 例 2、方程组 ax+by=4bx+ay=5 的解是 x=2y=1,则 a+b=_. 分

5、析：把解代入原方程组，得 2a+b=42b+a=5 , 两方程相加，得 3a+3b=9,所以 a +b=3。 解： 3. 点拨：本题的做法与例 1 相同，都是运用了整体变形的策略。 例 3、有甲、乙、丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件，共需 .15 元，若购甲件，乙件，丙件，共需 4.20 元，现购甲、乙、丙各件，只需多少元？ 分析：本题是一个三元而只有两个独立条件的问题，因此分别求购甲、乙、丙各件不可能，必须用整体法。 解：设购买甲、乙、丙各件各需 x 元、 y 元、 z 元，依题意得 3 7 3.15 , 14 10 4.20 . 2x y zxz （ 1） 3（ 2） 2，得 x+y+z=

6、1.05（元） 答：购甲 、乙、丙各 1 件只需 1.05 元。 点拨：根据问题的特点和要求，从全局着眼，把一些表面上不相干而实质上又紧密联系的量作为整体来考虑，善于运用这种思想来解题，往往具有事半功倍之效。 三、整体思想在几何计算中的应用 例 1、如图 1，在高 2 米，坡角为 30o 的楼梯表面铺地毯， 则地毯长度至少需 米。 分析：本题如果按一般思路求解，需要分别求出每一段台阶所需地毯的长度（水平部分的长 +垂直部分的长），然后乘以台阶的级数。但是，每一级台阶的长河高都是未知的，所以我们无法求得每级台阶所需地毯的长度。这是我们需要变换角度思考，尽管每级台阶的长和高都是未知的，但是台阶的竖

7、直高度 AC是已知的，水平宽度 BC 也是可求的，所以 我们可以将这一问题从整体的角度来考虑，如图 2 所示，我们可以通过添加辅助线把每级台阶的高平移到 AC 上，即得各级台阶的高之和为 AC的长，同样可得各级台阶的水平宽之和为 BC 的长。最终球队所需的地毯的总长度等于各级台阶的水平宽度和竖直高度之总和 2 3 2 米。 解： 2 3 2 。 点拨：要注意铺设地毯的长度不是斜边 AB 的长。 例 2、如图 3， A、 B、 C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，则图中的阴影部分的面积是（ ） . 图 1 图 2 - 3- 第二教育网同步辅导资料 A. 212cmB. 28cmC. 24cm

8、D. 26cm分析：由于各个扇形能分别求各个扇形的面积，为此，要求阴影部分的面积，就要将三个阴影部分整体考虑。注意到三角形内角和为 180，所以三个扇形的圆心角和为 180，又因为各个扇形当半径相等，所以阴影部分的面积为 12圆的面积，即 220 .5 0 .2 5 cm 。 解： C。 点拨：把上面的三个扇形经过平移、旋转移到一起可以拼成一个半圆形。 例 3、有星形图 4，求 A、 B、 C、 D、 E 的和。 分析：显然，我们无法分别求出 A、 B、 C、 D、 E 的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“ A+ B+ C+ D+ E”这一整体的值，因此我

9、们可以通过添加辅助线（连接 CD），利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和定理，即可使问题得以解决。 解：连接 CD。则有 1+ 2= B+ E， A+ B+ C+ D+ E= A+ C+ D+ 1+ 2， 而 A+ C+ D+ 1+ 2 又是 ACD 的内角和，等于 180。 A+ B+ C+ D+ E=180。 点拨：本题的解题关键是通过作辅助线，实现角的等量代换，运用三角形的有关知识解决。 专题训练 一、选择题 1、（ 2005 南通） 把多项式 2221a ab b 分解因式 ,结果是（ ） . A、 ( 1)( 1)a b a b B、 ( 1)( 1)a

10、b a b C、 ( 1)( 1)a b a b D、 ( 1)( 1)a b a b 2、（ 2005 潍坊） 若 1 3x x 求 1242 xx x 的值是（ ） A 81 B 101 C 21 D 41 3、（ 2005 泸州） 用换元法解方程 2222 1 0x x x x ，若设 xxy 2 ，则原方程可变形为（ ） . A 0122 yy B 0122 yy C 0122 yy D 0122 yy 4、（ 2005 嘉兴） 方程组 712xyxy 的一个解是（ ） A. 25xy B. 62xyC. 43xyD. 34xy AB C图 3 21ABC DE图 4 - 4- 第二教

11、育网同步辅导资料 5、（ 2005 大连） 若分式 xyxy中的 x、 y 的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值 （ ） A、不变 B、是原来的 3 倍 C、是原来的 13D、是原来的 166、 （ 2005 泸州） 如图 5，在宽为 20m，长为 30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地 . 根据图中数据，计算耕地的面积为（ ） . A 600m2 B 551m2 C 550 m 2 D 500m2 二、填空题 7、（ 2004 山西）已知 1xy，那么 2211x xy y 的值为 _。 8、（ 2004 四川巴中）已知 2 2 1 0,xx 且 0x ，则 1 _ .

12、xx9、（ 2004 浙江宁波）已知 5xy，且 1xy，则 _.xy 10、（ 2005 绵阳） 若非零实数 a,b 满足 4a2+b2=4ab，则 ba=_. 11、（ 2005 荆门） 如图 6，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则 1 2 3 . 12、（ 2005 嘉兴） 如图 7， ABCD 是各边长都大于 2 的四边形，分别以它的顶点为圆心、 1 为半径画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上），则这 4 条弧长的和是 _. 13、（ 2005 绵阳） 如图 8， 在 ABC 中， BC=5 cm， BP、 CP分别是 ABC 和 ACB 的角平分线， 且PD AB， PE AC

13、， 则 PDE 的周长是 _ cm. . 14、（ 2005 河南） 如图 9，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、 EF 均和 x 轴垂直，以 O图 9 图 8 图 5 1m 1m 30m 20m 1 2 3 图 6 (第 17 题 )ACDB图 7 - 5- 第二教育网同步辅导资料 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、 E 和点 D、 F，则图中阴影部分的面积是 。 15、（ 2005 大连） 如图 10，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是 2，则图中阴影部分面积和为 _。 三、解答题 16、（ 2005 资阳） 计算： 44( ) ( )x y x

14、yx y x yx y x y 17、（ 2004 山西太原）已知实数 ,ab满足 221, 2 5a b a b ，求22a b ab 的值。 18、（ 2004 宁波） 解方程： 08)1(2)1( 2 x xx x 答案与提示 一、 1.A 2. A 3.C 4.C 5.A 6.B 二、 7.8.10. 2 11. 135 12. 6 13. 5 14. 215.2 三、 16. 原式 = 22( ) ( )x y x yx y x y=x2-y2 17. 222224 1 2 5 2 4 ,6.1 6 1 6 7 .a b a b a baba b a b a b a b 18. 解：令1xxy，得 0822 yy 0)2)(4( yy 41y ， 22 y 当 41y 时， 41xx ，解得 341 x ； 当 22 y 时， 21 xx，解得322 x； 经检验341 x，322 x都是原方程的根 原方程的根是341 x，322 x 图 10