1、全等三角形的性质和判定定理全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，如何利用全等三角形进行证明学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定是本章学习的重点。全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础下面我们主要讨论一下全等三角形的性质和判定定理的复习。首先，我们要明白这两节课的重点是全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法，难点是根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识。这里我们列出重要知识点和基本的解题思路。1.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。2.全等三角形的判定方法：三
2、边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.3.证明三角形全等的基本思路：(1)已知两边： ）或若 有 直 角 （找 夹 角 ）找 第 三 边 （ SAHL)(（2）已知一边一角 ）已 知 是 直 角 ， 找 一 边 （）找 一 角 （已 知 一 边 与
3、 对 角 ）找 这 个 边 的 对 角 （ ）找 这 个 角 的 另 一 边 （ ）找 这 边 的 另 一 邻 角 （已 知 一 边 与 邻 角 HLAS(3)已知两角 ）找 夹 边 外 任 一 边 （）找 夹 边 （ AS三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用 SAS，ASA，AAS，SSS，HL 中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题下面我们举几个具体的例子来说明全等三角形的性质和判定定理的应用。例 1 如图 11-113 所示，BD，CE 分别是ABC 的边 AC 和 AB 上的高，点 P 在 BD 的延线上，BP AC，点 Q 在 CE 上，C QAB （1）
4、求证 APA Q；（2）求证 APA Q分析 （1）欲证 APAQ ，只需证对应的两个三角形全等，即证 ABPQCA 即可（2）在（1）的基础上证明PAQ 90证明：（1）BD，CE 分别是ABC 的边 AC，AB 上的高，ADBAEC 90在 Rt AEC 和 RtADB 中，ABP 90 BAD，ACE90一DAB，ABPACE在ABP 和QCA 中，BPCA（已知），ABP ACE（已证），ABQC （已知），ABP Q CA（S AS）APAQ（全等三角形的对应边相等）（2）ABPQCA，PCAQ（全等三角形的对应角相等）又PPAD 90，CAQPAD90，即QAP90 ，AP AQ例
5、 2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论 已知：如图 11-114 所示，在 ABC 和ABC 中，AB AB ，BCBC， AD，AD 分别是 BC，BC上的高，且 ADAD判断B 和B的关系解：BB理由如下：AD，A D分别是 BC， BC边上的高，ADBA DB90在 RtADB 和 RtADB中， ,ABDRtADBRtADB（ HL）BB （全等三角形的对应角相等）规律方法 边、角、中线、角
6、平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题例 3 如图 11-115 所示，已知四边形纸片 ABCD 中，ADBC，将ABC，DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于 DC 上一点 E，点 C，D 都落在 AB 边上的 F 处，你能获得哪些结论?分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题解：ADAF ，EDEFEC，BC BFAD 十 BCAB ，DEEC2EF 12，34，D AFE ，C EFB，DEAFEA， CEBFEBAEB 90或 EAEBS DAE
7、 S EAF ，S ECB S EFB .【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大 例 4 如图 11-116 所示，太阳光线 AC 与 AC 是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证明 BC 与 BC 相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等解：影子一样长理由如下：因为 ABBC ，A BBC，所以ABCAB C 90因为 ACAC，所以ACBACB在ABC 和AB C 中，ABCA BC ,ACBA CB,ABA B,所以ABCAB C （AAS），所以 BCBC（全等三角形的对应边相等）
