1、毕业设计文献综述 信息与计算科学 蒙特卡罗方法的应用 在解决实际问题的时候 , 为了 模拟某一过程 , 产生各种概率分布的随机变量 和 对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题 , 我们应该怎么办 ? 蒙特 卡罗是一种 十分 有效的求出数值解的方法 . 蒙特卡罗法（ monte-carlo method） 简称 M-C 法 通过构造概率模型并对它进行随机试验来解算数学问题的方法 . 以计算函数的定积分 10I f x d x, 01fx为例 , 首先构造一个概率模型 : 取一个边长分别为和 -的矩形 , 并在矩形内随机投点 M , 假设随机点均匀地落在整个矩形之内 ,
2、当点的掷点数 N 充分大时 , 则落在图中阴影区内的随机点数与投点总数 N 之比 MN 就近似等于积分值 I . 蒙特卡罗法历史悠久 . 1773 年 法国 G.-L.L.von 布丰曾通过随机投针试验来确定圆周率 的近似值 , 这就是应用这个方法的最早例子 . 蒙特卡罗是摩纳哥著名赌城 , 1945 年 J.von 诺伊曼等人用它来命名此法 , 沿用至今 . 数字计算机的发展为大规模的随机试验提供了有效工具 , 遂使蒙特卡罗法得到广泛应用 . 在连续系统和离散事件系统的仿真中 , 通常构造一个和系统特性相近似的概率模型 , 并对它进行随机试验 , 因此蒙特卡罗法也是系统仿真方法之一 . 蒙特
3、卡罗法的步骤是 : 构造实际问题的概率模型 ; 根据概率模型的特点 , 设计和使用降低方差的各类方法 , 加速试验的收敛 ; 给出概率模型中各种不同分布随机变量的抽样方法 ; 统计试验结果 , 给出问题的解和精度估计 . 概率模型用概率统计的方法对实际问题或系统作出的一种数学描述 . 例如对离散事件系统中临时实体的到达时间、永久实体的服务时间的描述（见离散事件系统仿真方法）就是采用概率模型 . 虽然由这些模型所确定的到达时间、服务时间可能与具体某一段时间内实际到达时间、服务时 间有出入 , 但它是通过多次统计获得的结果 , 所以从概率分布的规律来说还是相符的 . 概率模型不仅可用来描述本身就具
4、有随机特性的问题或系统 , 也可用来描述一个确定型问题 . 例如参数寻优中的随机搜索法（见动力学系统参数寻优）就是将参数最优化问题构造为一个概率模型 , 然后用随机投点、统计分析的方法来进行搜索 . 1 随机数的产生用蒙特卡罗法进行仿真时 , 需要应用各种不同分布的随机变量 . 只要有一种连续分布的随机变量 , 就可设法得到任意分布的随机变量 . 在 0,1 上均匀的分布函 数是一种最简单的连续分布函数 . 因此在蒙特卡罗法中 , 多是先产生均匀分布随机变量 R 的抽样值 1,2,3,k , 称为随机数 . 在计算机中产生随机数的方法有 : 把已有的随机数表输入计算机 ; 用物理方法 , 如噪
5、声型随机数发生器产生出真正的随机数 ; 用数学方法根据递推公式 , 由程序来产生 . 这种方法速度高 , 占用机器的内存少 , 使用最为普遍 . 在计算机中表示一个数字的字长有限 , 因此只能表示有限个不同的数 , 而且用递 推方法产生的数值序列是完全确定的 , 到一定长度便周而复始 , 这些都与随机数的基本性质相矛盾 . 但是只要产生的数值序列能够通过随机数的各种统计检验 , 仍可以把它当作随机数来使用 . 我们采用蒙特卡罗法的目的是为了得到各种估计量 . 在实际应用中 , 当所要求的问题是某种事件出现的概率 , 或者是某个随机变量的期望值时 , 我 们通过某种 “试验 ”的方法 , 得到这
6、种事件出现的频率 , 或者这个随机变数的平均值 , 并用它们作为问题的解 . 随着现代计算机技术的发展 ,蒙特卡罗方法已经在自然科学研究中发挥了重要的作用 . 鉴于的重 要性 , 使得蒙特卡罗方法不仅在传统的应用领域如核物理、统计物理、分子动力学等领域得到广泛的应用 ,而且还在诸如经济学、人口学、医学等领域得到了推广和发展 . 统计物理学中蒙特卡罗方法是用随机抽样的计算机模拟来研究平衡或非平衡热动力学系统的模型 . 蒙特卡罗的抽样有两种 :简单抽样和重要性抽样 . Metropolis 方法就是最早的一种重要性抽样方法 . 后来人们对此方法进行了一系列的改进 ,衍生出诸如 Swenden-Wa
7、ng 方法、 Wolff方法等团簇算法 ,随着人们对蒙特卡罗方法认识的进一步加深 ,新的更有效的方法必将越来 越多的出现 . 以 蒙特卡罗法模拟晶粒生长过程的研究进展 为例 , 自 20 世纪 40 年代中期 , 由于科学技术的发展和电子计算机的发明 , 23 法作为一种独立的方法被提出来 , 并且在核武器的研制中首先得到了应用 . 直到 80年代初由美国 EXXON研究组开发出二维算法后 , 很快引起重视并应用于再结晶、多晶材料的晶粒长大、有序 -无序畴转变等多种金属学和物理学仿真过程 . 1983 年 , Anderson 提出一个新型的 MC 程序 , 将其应用于二维的晶粒长大动力学模拟
8、 , 后来又将 MC 法应用于模拟晶粒生长的尺寸分布、拓扑学和局部动力学 的研究 . 1992 年 , Anderson 使用 蒙特卡罗法 结合晶粒间的相互作用能 , 模拟晶粒边界能量和点缺陷浓度的最小值来驱动的微观结构的进化 , 模拟结果与试验值复合很好 . 此后 , 蒙特卡罗法 在材料领域中得到了迅速的发展 . 1994 年 , Paillard 等人应用 MC 技术2 在二维网格上模拟铁硅合金的正常和异常晶粒的生长 . 在模拟中 , 他们提出不同结晶倾向的两个晶粒之间存在能量变化和不同的边界迁移率 , 总结出 蒙特卡罗法 模拟晶粒长大可能性 . 同年 , Radhakrishnan 和
9、Zacharia 提出了一个修正的 MC 算 法 , 该算法考虑了 蒙特卡罗法 模拟时间和真实时间的线性关系 , 得出了两个修正的模型 , 模拟出了晶粒长大的动力学曲线 . 1995年 , 他们使用修正的 MC模型研究了焊接热影响区晶粒边界的钉扎作用 , 并获得了晶粒尺寸、 MC 模拟时间步和真实参数之间的关系 . 1995 年 , Gao 等人提出了焊接热影响区晶粒长大的 3 个模型 , 使 MC 模拟能够应用于整个焊接过程中 . 1999 年 , S Jahanian 等人利用晶粒边界迁移的方法 , 对 0.5Mo-Cr-V 焊接热影响区晶粒长大进行模拟 , 主要模拟了距融合线 120m处
10、晶粒长大 的动力学和晶粒结构 . 所使用的 MC算法形成了进一步研究焊接热影响区晶粒尺寸生长模拟的研究基础 . 同样 , 国内学者对晶粒长大的各种过程也有了不少的研究 . 1994 年 , 陈礼清等利用平面三角形点阵及 MC方法模拟二维多晶体晶粒的长大规律 . 钟晓征等以 MC 方法为基础 , 使用改进的 A-Statepotts 算法 , 对多晶材料的正常和异常晶粒长大过程进行可视化模拟 , 并对正常晶粒生长形貌演化也进行了可视化研究 . 宋晓艳等利用三维技术模拟了较完整的单晶材料正常晶粒长大的过程 , 获得了晶粒长大动力学和拓扑学的全面信息 , 逼 真地再现了晶粒长大过程 , 是二维模拟难
11、以比拟的 . 但是由于焊接热影响区存在温度的梯度的急剧变化 , 影响了动力学模拟的准确性 . 近年来 , 学术界对蒙特卡罗法的关注度呈逐年上升 的 趋势 .因其广泛的 实 用性 , 它正 以学术界的理论成果为基础 , 在人们的劳动实践中扮演着越来越重要的角色 . 它 帮助 着 人们在实际的生产生活中更 科学 地 做 出决策 . 例如 ,将蒙特卡罗模拟应用到收益法评估中 , 扩大 了收益法参数分析的覆盖范围 , 提高评估计算的精确度可以通过确定参数恰当的波动范围 , 从而提高评估结果的说服力和可信度 . 当然 , 由于蒙特 卡罗法的广泛适用性 , 在进行实际问题的分析时 , 需要结合具体问题和有
12、关专业知识才能给出合理的解释 . 虽然利用本身可对所研究的问题在一定程度上作分析 , 但 蒙特卡罗法估计量 本身往往并不是最终目的 , 更重要的是利用原始变量的信息 , 然后对数据作进一步的分析 , 从而对实际问题作出科学准确的决策 . 3 参考文献 1王梓坤 . 概率论基础与其应用 M. 北京 : 科学出版社 , 1979. 2李贤平 . 概率论基础 M. 北京 : 高等教育出版社 , 1997. 3盛骤 , 谢式千 , 潘承毅 . 概 率论与数理统计 M. 北京 : 高等教育出版社 , 2001-6. 4徐钟济 . 蒙特卡罗方法 M. 上海 : 上海科学技术文献出版社 , 1989. 5刘
13、军 . 科学计算中的蒙特卡罗决策 M. 北京 : 高等教育出版社 , 2009. 6A. Lazopoulos. Error estimates in monte carlo and quasi-monte carlo integration. October. 11. 2004. 7A. Lazopoulos. Application of the Monte Carlo method to solving mixed problems in the theory of harmonic functions. Springer New York, 1978, 2 . 8 P.C. Robert, G. Casella. 蒙特卡罗统计方法 (第 2 版 )(英文版 ) M. 北京 : 世界图书出版公司北京公司 , 2009. 9 . . 布斯连科 , . 施廖盖尔著 , 王毓云 , 杜淑敏译 : 统计试验法（蒙特卡罗法）及其在电子数字计算机 上的实现 M. 上海科学技术出版社 , 上海 , 1964. 10朱力行 , 许王莉 . 非参数蒙特卡罗检验及其应用 M. 北京 : 科学出版社 , 2008.
