1、1第十八章 隐函数定理及其应用一. 填空题1. 椭球面 在( 1,1,1 ) 处的切平面方程_,法线方程2236xyz_.2. 隐函数存在惟一性定理的条件是_条件.3. 由方程 所确定的隐函数 的导数为_.1(,)sin2Fxyy()yfx4. 设 , 则 .32za_._zzx5. 曲线 上任一点处的切线方程为_.233(0)xy6. 螺旋线 在 处的切线方程为_,法平cos,in,attzb03t面方程_.7.设 则 2sin0,xye_.dyx8. 在曲面 上点_处,法线垂直于平面z390.xyz9. 利用拉格朗日乘数法是将条件极值化为_极值.10. 由方程 所确定二元隐函数的偏导数为3
2、23(,)0Fxyzxyz_,z_.二.计算题1.设 其中 为由方程 所确定的隐函数,求2,zxy()fx221xyxz2. 确定正数 ,使曲面 与椭球面 在某一点相切( 即在该点有公z22zabc共切平面).3. 求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.4在平面 上求一点，使它到 及 三直线的距离平方之xoy0,xy2160xy和为最小。5.求平面曲线 上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截2233()a取的线段等长.6.设 确定隐函数 ， 求 .2arcsinl0xyetg()yx(0)y7.抛物面 被平面 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短2xzyz2距离.8.验
3、证二元方程 在点 0 的某邻域确定唯一一个有连续导数的(,)2xyFxy隐函数 并求 .)y9. 求出曲线 上的点, 使在该点的切线平行于平面 .23,xtyzt 24xyz10. 设 求0,ezx填空题答案: 1. 切平面方程 , 法线方程 236yz1123z2. 充分条件. 3. ()cosfx4. . 5. .22,zyzxxy 21330xya6. 切线方程 , 32azb法平面方程 .33()()()0axyabz7. . 8. . 9. 无条件.2cosxdyexy(,1)10. .3322,1zzxyz计算题答案: 1.解：由 得 , 由 得21xy2dxy2,zxy2()dz
4、xx故 24()()1xyxyz .326()yx2. 解：设两曲面在点 相切,则曲面 在点 的切平面00,Pzxyz0P3.与椭球面在点 的切平面0000()()()yzxzyxz0P应为一个平面, 所以222abc, 即 又000222xyzzx200yzabc2201xyzabc所以 .000221.33zabc3. 解：设球面方程为 是它的内接长方体在第一卦限内的2,(,)xyaxy一个顶点,则此长方体的长、宽、高分别为 体积为 2,z8Vxyz令 22(,)8()Lxyzxyz由 即 解得 代入0,2,yzxz40,xyz,4xyz得 为惟一驻点，由题意可知长2,a4,(,)33a方
5、体的最大体积存在，所以当长方体的长、宽、高都为 时其体积最大。2a4. 解：设所求点为 ,则此点到三直线的距离依次为： 三距()xy 16,.5xy离平方之和为 ,221(6)5zxy由 求得驻点 . 由于驻点惟一,根据问题()042165xyzy 81,5本身可知,距离平方和最小的点必定存在,故所求点即为 .6,5. 解：令 则 2233(,),Fxya113322(,),(,).xyFyFx于是,曲线上任一点 处的切线方程为： .0(,)xy1330a4切线与两轴的交点分别为 , 而22113300(,)(,)xaya.22411 23300()()xay6. 解: 方程两边对 求导得,
6、解得22lnrcsi 0cos1xyeyx, 由原方程 .2ln1arcsioexyy()4y故 .(0)ln247. 解: 令 ,222,)()(1)Lxyzxyzxyzxyz则有2010xyzLzx求得方程组的解为,53,73.1,2xyz由于所求问题存在最大值与最小值, 故由 所求得的13(,23)2f两个值 , 正是该椭圆到原点的最长距离 与最短距离 .95395958. 解: 函数 与 在点( 0, 0 )邻域连续, 且()2lnxxFy(,)lnyyFx0,(0,)l0y由隐函数存在定理, 在点 0 的某个邻域 存在唯一一个有连续导数的函数(,), 使 且()yx,(),Fx.5.2ln()xy9. 解: , 设所求点对应的参数为 , 则曲线在该点处切向量21,3tttxz0t可取为 , 而平面的法向量为 , 切线与平面平行, 得0(2)T (12)n, 解得 , 于是所求点为 或043t01,3tt(1).1,92710. 解: 设 , 则 ,(,)xFyzeyz,zxFyexy于是 .xxz232()zzxyeyez
