1、 1 数理统计 期末考试试卷（ A 卷） 2008-2009 学年第 1 学期 考试科目： 数理统计 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 评阅人 已 知： 附 正态分布、 t 分布、 F 分布、 2 分布数值表 2 2 20 . 8 5 0 . 9 7 5 0 . 0 5( 1 . 6 4 5 ) 0 . 9 5 , ( 1 . 9 6 ) 0 . 9 7 5 , ( 1 ) 3 . 8 4 1 , ( 1 ) 5 . 0 2 4 , ( 1 ) 0 . 0 0 4 0 . 9 5 0 . 9 5 0 .
2、 9 5 0 . 9 5( 1 6 ) 1 . 7 4 5 9 , ( 1 7 ) 1 . 7 3 9 6 , ( 9 ) 3 . 8 4 1 , ( 8 ) 1 . 6 9 7t t t t 0 . 9 5 0 . 9 5 0 . 9 5 0 . 9 5( 1 , 3 ) 1 0 . 1 , ( 3 , 1 ) 2 1 . 6 , ( 2 , 2 1 ) 3 . 4 7 , ( 2 1 , 2 ) 1 9 . 5F F F F 一、（填空题 ,选择题 9 分， 每小题 3 分 ） 1 设 ( , ),nNA 为一个秩是 m 的 mn 阶常数矩阵， a 是 m 维常数列向量， Aa，则 m 维
3、随机向量 ( )mN 。 2 对于假设检验问题 0 0 1 0 0: ( ) ( ) , : ( ) ( ) , ( )H F x F x H F x F x F x中有 l 个未知参数 1,l，已知样本分为 m 组，理论频数为 inp ，实际频数为 iv ，则采用皮尔逊检验时， 0H 的拒绝域为 _. 3设 1,nXX是取自总体 2 ( , )XN 的样本， X 为样本均值，又记 221 11 ()1niiS X Xn ，22211 ()n iiS X Xn ， 223 11 ()1niiSXn ， 224 11 ()niiSXn ，则服从分布 ( 1)tn 的统计量（ ） A11XSnB2
4、1XSnC 31XSnD 41XSn二、（ 10分） 现对某地区 17 个集市的鸡蛋价格（每 500 克的售价）进行调查，已知这17个集市的平均价格为 3.20x ，方差为 2s =0.64。已知往年的平均售价一直稳定在 3.25元左右且服从正态分布，能否认为该地区当前的鸡蛋售价低于往年？（ =0.05） 2 三、 （ 6分，） 设总体 ( ,1),N a a 为未知参数， 1, , , naR 为 的样本，现考虑假设 0 0 1 0: , :H a a H a a（ 0a 为已知数，） 取 =0.05， 试用广义似然比检验法检验此假设（写出拒绝域即可） 四 、 （ 10 分） 设 1 10,
5、XX为取自总体 (0,4)XN 的样本，求 （ 1）常数 ,abc，使得 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8 9( ) ( ) ( )Q a X X b X X X c X X X X 服从 2 分布，并指出自由度。 （ 2）求110 22 0.6iiXPX3 五 、（ 10 分） 一袋中有两个球，其中白球个数为 ， 未知，通过有放回抽样，得到容量为 2的样本，其中白球数记为 ，现根据这个样本来决定 的值，损失函数取为 , ( ) | ( ) | .L d d 如果定义估计量（决策函数）为 1 ( ) , 0,1, 2.d 求 1()d 的风险函数 六（ 8 分） 调查 339 名 50
6、 岁以上吸烟习惯与患慢性气管 炎的关系，见下表： 吸烟 不吸烟 求和 患病 43 13 56 未患病 162 121 283 求和 205 134 339 患病率 21.0 9.7 16.5 试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同 （ =0.05） 是 否 吸 烟 是 否 患 病 4 七 .（ 12 分） 大豆栽培实验中，测得株龄 (x)与树高 (Y)数据， x Y x2 Y2 xY 1 5 1 25 5 2 17 4 289 34 3 24 9 576 72 4 33 16 1089 132 5 41 25 1681 205 x =15 120Y 2 55x 2 3660Y 44
7、8xY 这里 x是一般变量， Y是随机变量， 试求 （ 1） 变量 Y关于 x的回归方程 （ 2）检验方程的有效性 5 八 . （ 25 分） 设 12, , , nX X X为总体 (10, )X B p 的一个样本， 01p. （ 1）参数 p 的矩估计量 1p 与极大似然估计量 2p ， （ 2）可估计函数 ( ) 10g p p 的有效估计量，和信息量 ()Ip （ 3）如果 (0,1)pU ，求 p 的贝叶斯估计量 p 6 九、（ 10 分） 用一定数量的小麦品种进行切胚乳实验，设计分三种处理： 1A 为整粒小麦， 2A 为切去一半胚乳， 3A 为切除全部胚乳。同期播种于条件较为一致
8、的花盆内，出苗后每盆选留 2 株，成熟后进行单株考察，每株粒重结果如下表，试检验三种不同方法对每株粒重的影响（ 取 0.05） 小麦切胚乳实验单株粒重 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x ix 1A 21 29 24 22 25 30 27 26 204 25.5 2A 20 25 25 23 29 31 24 26 20 21 244 24.4 3A 24 22 28 25 21 26 146 24.3 2 2 2 2 211 2 1 2 9 2 1 2 6 1 4 9 3 2inrijij x T =594 x =24.75 重 复 处 理 7 数理 统计 期末考试试卷参考答案
9、一、（填空题 ,选择题 9 分， 每小题 3 分 ） 1 ( , )mN A a A A 。 2 0H 的拒绝域为 2220111() ( 1 ) mmi i iiiiiv n p v n m ln p n p . 3.（ B） 二、（ 10 分） 解法 1：本问题是在 0.05 下检验假设 01: 3 .2 5 , : 3 .2 5 ,HH -2 分 由于 2 未知，所以在 0H 成立的条件下拒绝域为， 0 3.25 ( 1 ) /1X tnsn ， -6 分 已知 3.20x ， 2s =0.64， n=17, 算得0 . 0 53 . 2 0 3 . 2 5 0 . 2 5 ( 1 6
10、) 1 . 7 4 5 90 . 6 4 / 1 7 1 t 9 分 从而拒绝 0H ，即在 =0.05 的水平下认为该地区当前的鸡蛋售价低于往年 10 分 解法 2：本问题是在 0.05 下检验假设 01: 3 .2 5 , : 3 .2 5 ,HH -2 分 由于 2 未知，所以在 0H 成立的条件下拒绝域为， 013.20 ( 1 ) /1X tnsn ， -6 分 已知 3.20x ， 2s =0.64， n=17, 算得0 . 9 53 . 2 0 3 . 2 5 0 . 2 5 ( 1 6 ) 1 . 7 4 5 90 . 6 4 / 1 7 1 t 9 分 从而拒绝 0H ，即在
11、 =0.05 的水平下认为该地区当前的鸡蛋售价不低于往年 10 分 三、 （ 6分） 解：因为 2011 ()20 /21( ; ) ( 2 )nii xanL X a e 所以 2 2 211( ) ( ) ( )2 2 2/ 2 / 211( ; ) ( 2 ) ( 2 )nniiii nx x x a x x x annL X a e e 且当 ax 时， ( ; )LXa 取达最8 大值，即 211 ()2/21s u p ( ; ) ( 2 ) n ii xxnaR L X e 故0210( , , ) s u p ( ; ) / s u p ( ; ) e x p ( ) 2na
12、a a Rnx x L X a L X a x a -3分 从而对给定的 0.05 ，得 20() 221 0 0 0 0 0 0 00 . 0 5 ( , , ) | ( ) 2 l n n anP a a P e P n a 即 20 0 0 ( ) 2 ln 0 .9 5P n a ， 因为当 0H 成立时， 220( ) (1)na ，查表得 20 .9 5 0(1) 3 .8 4 1 2 ln ，所以 1.9205 0.1465e ，即所求拒绝域为 220 0 0 e x p ( ) 0 . 1 4 6 5 ( ) 3 . 8 4 1 2n a n a . -6分 四 、 （ 10
13、分） 设 1 10,XX为取自总体 (0,4)XN 的样本，求 （ 1）常数 ,abc，使得 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8 9( ) ( ) ( )Q a X X b X X X c X X X X 服从 2 分布，并指出自由度。 （ 2）求110 22 0.6iiXPX解：（ 1）因为 (0 , 4 ), 1, ,1 0iX N i ，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9( 0 , 8 ) , ( 0 , 1 2 ) , ( 0 , 1 6 )X X N X X X N X X X X N 3 4 5 6 7 8 912 (0 ,1 ) , (0 ,1 ) , (0 ,1 )
14、8 1 2 1 6X X X X X X XXX N N N -2分 所以， 1 1 1,8 12 16a b c 时 2 2 2 23 4 5 6 7 8 912( ) ( ) ( ) ( 3 )8 1 2 1 6X X X X X X XXXQ -5分 （ 2） 111 0 1 0222202 0.6 1.8 0( ) / 92iiiiXXPPXX -8分 9 110 22021 1.8 0.050( ) / 92iiXP X -10 分 五 、（ 10 分） 解：因为0 0 01 0 12 0 21 1 0( , ) 0 1 11 1 22 2 01 2 10 2 2aaaaLa aaa
15、aa ，又100( ) 1 122d-2分 又 1 1 1 10 0 01 1 12 2 21 1 1 1 1 1 1 2 1 3( 0) 1 , ( 1 ) ( 2) 0 ,1 1 1( 0) ( 1 ) ( 2) ,2 2 4( 0) ( 1 ) 0 , ( 2) 1 ,( , ) ( , ) ( , ) ( 0) ( , ) ( 1 ) ( , ) ( 2)0 1 1 0 2 0 0P P PP P PP P PR d E L d L a P L a P L a P -6 分 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 2 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( 0) ( , ) (
16、 1 ) ( , ) ( 2)1 1 1 11 0 1 ,4 4 4 2R d E L d L a P L a P L a P - 3 3 3 33 1 3 1 3 1 3 2 3 3( , ) ( , ) ( , ) ( 0 ) ( , ) ( 1 ) ( , ) ( 2 )2 0 1 0 1 0 0R d E L d L a P L a P L a P -9分 所以所求风险函数为 1001( , ) 1202Rd -10 分 六（ 8 分） 解：原假设是 0:H 吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率没有不同，或慢性气管炎患病率与吸烟无关 -2 分 10 在独立性的假设下，原假设的拒绝域为 2
17、20111 1 ( 1 ) ( 1 ) rs ikik iknn r snn 由 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 24 3 , 1 3 , 1 6 2 , 1 2 1 , 5 6 , 2 8 3 , 2 0 5 , 1 3 4 , 3 3 9 , 2n n n n n n n n n r s 2220.953 3 9 ( 4 3 1 2 1 1 3 1 6 2 ) 7 .4 7 ( 1 ) 3 .8 4 15 6 2 8 3 2 0 5 1 3 4 -7 分 所以否定原假使，即认为慢性气管炎患病率与吸烟有关。 -8 分 七 .（ 12分） 解：（ 1） 设回归方程为 Y a bx
18、2 分 1222115 120448 555 8.81555 55niixy inxx iiX Y n x yLb LX n x 4 分 2 4 8 .8 3 2 .4a y b x -6 分 2.4 8.8yx 为所求方程 . 7 分 （ 2） 8 .8 8 8 7 7 4 .4R xyS S b L 9 分 7 8 0 7 7 4 . 4 5 . 6E y y x yS S L b L 11 分 回归方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 F 回归 774.4 1 774.4 414.1 0.95 (1,3) 10.1F 剩余 5.6 3 1.87 总和 780.0 4 由于 ,FF 拒绝原假设，即认为回归方程在 0.05 检验水平下有统计意义 -12 分 八 . （ 25 分） 解： (10, )Bp 1(1 ) 1 0 10E X x p p -5 分
