1、专题四： 相似图形 线段的比、黄金分割及形状相同的图形 知识要点 要点 1 线段的比 (1) 线段的比：在 同一单位下 ， 两条线的长度的比 叫做这两条线段的比。 (2) 成比例线段：四条线段 a、 b、 c、 d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 dcba ，那么这四条线段成比例线段，当 b c 时，有 dbba ，称 b 为 a 与 d 的比例中项。 (3) 比例尺：比例尺图上距离：实际距离 说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再 计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。 要点 2 比例的性质 a. 比例的基本性质： 0,0 2 dcbaa
2、cbcbbadcbabcaddcba 、 b. 合比性质：（两边都加 1 或减 1） d dcb badcba c. 等比性质：如果 0 mdbnmdcba ，那么 bandb mca 。 要点 3 黄金分割 概念：若点 C 把线段 AB 分成两条线段AC、 BC (AC BC)，若 ACBCABAC ，我们称线段 AB 被点 C 黄 金分割， C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比 618.02 15 。 说明： (1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位； (2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关
3、系：若 AB 1， .2 53,2 15 BCAC则 (3)作一条线的黄金分割点一般有两种方法，如右图 XS 01、 XS 02： 要点 4 形状相同的图形 (1) 所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同，大小、位置不一 定相同的图形，全等形是特殊的形状相同的图形。它包括三维空间的所有正方体，所有的球体。 XS 02 XS 01 (2) 将图形放大或缩小，只需将每个点的坐标都扩大或缩小相同的倍数，若在方格纸内，则将每条线段横跨或纵跨的方格数都扩大或缩小相同的倍数即可。 说明： (1)形状相同的图形的对应角相等，对应边成比例，图形的大小可以相同也可以不同； (2) 将图形放大或缩小一般有两种方法
4、：一是橡皮筋法，二是直角坐标系法 . 相似多边形 相似三角形及三角形相似的条件 知识要点 相似多边形 要点 1 各角对应相等 ， 各边对应成比例 的两个多边形叫做相似 多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。 说明： (1) 相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定； (2)判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者缺一不可。 相似三角形 要点 2 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 说明： (1) 相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例； (2) 两个三角形的相似比为 1时，这两个三角形就是全等三角
5、形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况； (3) ABC 与 A/ B/C/相似和 ABC A/ B/C/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对应关系，而后者表明了对应关系。 要点 3 三角形相似的判别方法 (1) 判别方法 1： 两角对应相等的两个三角形相似 ； (2) 判别方法 2： 三边对应成比例的两个三角形相似 ； (3) 判别方法 3： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 。 引申 直角三角形除了具有以上 3 种判别方法，还有以下方法：一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 说明： (1) 相似三角形判定的三
6、种判别方 法中，“角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例； (2) 要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边， 公共边一般不是对应边 。在找对应角时， 公共角、对顶角一般是对应角 。 相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小 知识要点 要点 1 测量旗杆高度的三种方法： (1) 方法 1：利用阳光下的影子 （如图 XS 27） XS 27 XS 29 XS 28 （还可利用结论：同一时刻：被测物体的影长被测物体的实际高度它的影长某物体的实际高度 ）； (2)方法 2：利用标杆；（如图 XS 28，本方法主要注意人与
7、标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形） (3)方法 3：利用镜子反射（如图 XS 29，本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直） 说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。 要点 2 相似三角形与相似多边形的性质 相似三角形的性质： (1) 相似三角形对应高的比等于相似比； (2) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比； (3) 相似 三角形对应中线的比等于相似比； (4) 相似三角形周长的比等于相似比； (5) 相似三角形面积的比等于相似比的
8、平方。 说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。 相似多边形的性质： (1) 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； (2) 相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。 要点 3 位似图形定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形 中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图 XS 30(1)、 (2)、 (3)、 (4)、 (5)。 位似图形的性质： (1) 对
9、应边的比等于位似比； (2) 周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方； (3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 说明： (1) 位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形 ； (2)判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；(3)将一个 图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。 XS 30 例题精讲： 例 1 若 413 n nm ，则 nm _。 变形 1：已知 543 cba ，求 c cba 及 cba cba 的值。 例 2 已知 x： y： z 1： 3： 5，求zy
10、x zyx 33的值。 变形 1：若 4x 7y 5z， 2x y z，那么 x： y： z（ ） A. 2： 1： ( 3) B. 2： 1： 3 C. 2： ( 1)： 3 D. 3： 2： 1 变形 2：若 4 23 12 3 zyx ，且 x y z 18，求 x， y， z。 例 3 若点 C 是线段 AB 的分割点（ AC BC）， AB 16，则 AC _， BC _；如果 D 是线段 AB 的另一个黄金分割点，则 CD _。 变形：如果线段上一点 P 把线段分割为两条线段 PA， PB. 当 PA2 PB AB 时，则称点 P是线段 AB 的黄金分割点，现已知线段 AB 10，
11、点 P 是线段 AB 的黄金分割点，如图 XS 03 所示，那么线段 PB的长约为（ ） A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82 例 4、如图， D， E 分别为 ABC 的边 AB， AC 上一点，且 ADE ABC， F 为 AD 上一点，且 AEF ACD， (1) AD2 AF AB 吗？请说明理由。 (2) 若 AF 4， AB 9，求AD。 变形：如图 XS 09.1 所示，已知梯形 ABCD， AD BC，若 EF BC，且所分成的梯形 AEFD和梯形 EBCF 相似， AD 4， BC 9，求 EF 的长。 XS 03 XS 10 XS 09.1 X
12、S 09 例 5、如图 XS 11 所示，在 ABC 中， AD BC 于 D， DE AB 于 E， DF AC 于 F，试证 AE AB AF AC。 变形 1：如图 XS 11 1， ABC 中， 35, ACABECACBEAB ， D 为 AB 上一点，若 BDE BAC，则 BDAB _。 变形 2：如图 XS 11 2， AOB COD， A C，下列各式正确的有（ ）个 COCDBOAB ； ODCDAOAB ； ODADOCOB ； ODBOCOAO 。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例 6、如图 ZJ 26， 兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一
13、根长为 1m 的竹竿的影长为 0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2m，一级台阶高为 0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4m，则树高为（ ） A. 11.5m B. 11.75m C. 11.8m D. 12.25m 2如图，在正三角形 ABC 中， D， E 分别在 AC， AB 上，且 ACAD 31， AE BE，则有（ ） （ A） AED BED （ B） AED CBD （ C） AED ABD （ D） BAD BCD 3 P 是 Rt ABC 斜边 BC 上异于 B、 C 的一
14、点，过点 P 作直 线截 ABC，使截得的三角形与 ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ） （ A） 1 条 （ B） 2 条 （ C） 3 条 （ D） 4 条 4如图， ABD ACD，图中相似三角形的对数是（ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 XS 11 XS 11-1 XS 11-2 ZJ 26 5如图， ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 ABP 与 ECP 相似的是（ ） （ A） APB EPC （ B） APE 90 （ C） P 是 BC 的中点 （ D） BP BC 2 3 6如图， AB
15、C 中， AD BC 于 D，且有下列条件： （ 1） B DAC 90；（ 2） B DAC； （ 3） ADCD ABAC； （ 4） AB2 BD BC 其中一定能够判定 ABC 是直角三角形的共有（ ） （ A） 3 个 （ B） 2 个 （ C） 1 个 （ D） 0 个 7如图，将 ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90，得 ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论中错误的是（ ） （ A） AE AF （ B） EF AF 2 1 （ C） AF2 FH FE （ D） FB FC HB EC 8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则
16、有（ ） （ A） ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周长 （ B） ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积 （ C） ABE DEC （ D） ABE EBC 9如图，直线 a b， AF FB 3 5， BC CD 3 1，则 AE EC 为（ ） （ A） 5 12 （ B） 9 5 （ C） 12 5 （ D） 3 2 10如图，在 ABC 中， M 是 AC 边中点， E 是 AB 上一点，且 AE 41AB，连结 EM 并延长，交BC 的延长线于 D，此时 BC CD 为（ ） （ A） 2 1 （ B） 3 2 （ C） 3 1 （ D） 5 2 11如图，矩形纸
17、片 ABCD 的长 AD 9 cm，宽 AB 3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为（ ） （ A） 4 cm、 10 cm （ B） 5 cm、 10 cm （ C） 4 cm、 2 3 cm （ D） 5 cm、 2 3 cm 二、填空题 12已知线段 a 6 cm， b 2 cm，则 a、 b、 a b 的第四比例项是 _cm， a b 与 a b 的比例中项是 _cm 13若 cba acb bca m2，则 m _ 14如图，在 ABC 中， AB AC 27， D 在 AC 上，且 BD BC 18， DE BC 交 AB 于
18、E，则 DE _ 15如图， ABCD 中， E 是 AB 中点， F 在 AD 上，且 AF 21FD， EF 交 AC 于 G，则 AG AC_ 16如图， AB CD，图中共有 _对相似三角形 17如图，已知 ABC， P 是 AB 上一点，连结 CP，要使 ACP ABC，只需添加条件 _（只要写出一种合适的条件） 18如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE AC， EF BC， AB 15， AF 4，则 DE 的长等于 _ 19如图， ABC 中， AB AC， AD BC 于 D， AE EC， AD 18， BE 15，则 ABC 的面积是 _ 20如图，直角梯形 ABC
19、D 中， AD BC， AC AB， AD 8， BC 10，则梯形 ABCD 面积是 _ 三、证明题 1、如图，在 ABC 中， AB AC，延长 BC 至 D，使得 CD BC， CE BD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC 于 F，求证 AF FC 2、 如图， ABC CDB 90， AC a， BC b （ 1）当 BD 与 a、 b 之间满足怎样的关系时， ABC CDB？ （ 2）过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若 ABC CDB 求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形） 3、 如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF EC 交 AB 于 F，连结 FC（ AB AE） （ 1） AEF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （ 2）设 BCAB k，是否存在这样的 k 值，使得 AEF BFC，若存在，证明你的结论并求出 k的值；若不存在，说明理由
