1、 1 / 10三角形全等例 5、如图，已知线段 ABCD，AD 与 B C 相交于点 K，E 是线段 AD 上一动点。 连接 BE，若 BE 平分ABC，则当 AE= AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系?12请写出你的结论并予以证明 A BC DE K1、 如图，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分 BAC、ACB ，求证：AC=AE+CD证明：在 AC 上取 AF=AE，连接 OF，则AEO AFO（SAS） ，AOE=AOF；AD、CE 分别平分BAC 、ACB，ECA+DAC=1 2 （180-B）=60则AOC=180- ECA-DAC=120；
2、AOC=DOE=120 ， AOE=COD=AOF=60 ， （对顶角相等）则COF=60，COD=COF，又FCO=DCO，CO=CO，FOC DOC（ASA） ，DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CD例 7如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B、C）上任意一点,P 是 BC延长线上一点，N 是DCP 的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN 若将中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2）,N 是ACP 的平分线上一点，则当AMN=60 时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由 若将中的“正方形 ABCD”改为“正 边形 ABCD
3、X”，请你作出猜想：当AMN=_时，结论 AM=MN 仍然成立 （直接写出答案，不需要证明）2 / 10考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.解：（1）AE=MC, BE=BM, BEM= EMB=45 , AEM=1355, CN 平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135在AEM 和MCN 中： AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME ABC 是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60， ACP=120 AE=MC ，BE=BM BEM=EMB=60 AEM=120 CN 平分ACP，PCN=60 ，AEM=MCN=120 CMN=180A
4、MN AMB=180B AMB=BAMAEMMCN，AM=MN （3）1、如图 1，2，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F（1）如图 1，当点 E 在 AB 边的中点，N 为 AD 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是_；请证明你的上述猜想（2）如图 2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系，并证明你的结论解：（1）DE=EF；证明
5、：四边形 ABCD 是正方形，N，E 分别为 AD，AB 的中点，DN=EB=AN=AE，AEN 为等腰直角三角形，ANE=45，3 / 10DNE=180-45=135，BF 平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，DNEEBF，DE=EF；（2）DE=EF，证明：连接 NE，在 DA 边上截取 DN=EB，四边形 ABCD 是正方形，DN=EB，AN=AE，AEN 为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=180-45=135，BF 平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，ND
6、E+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，DNEEBF，DE=EF2、如图 1，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC，且 AC=BC； EFP 的边 FP也在直线 l，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接AP，BQ猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连接
7、AP，BQ 你认为（2 ）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4 / 10解：（1）AB=AP； ABAP. （2）BQ=AP； BQAP. 证明：EF=FP ，EF FP， EPF=45. 又ACBC， CQP=45， CQ=CP. 在 BCQ 和ACP 中， BC=AC，BCQ=90=ACP，CQ=CP， BCQACP. BQ=AP. 延长 BQ 交 AP 于点 M. BCQACP， CBQ=CAP. CBQCQB=90， CQB=AQM， CAMAQM=90， QMA=90，即 BQAP. （3）成立. 证明EPF=45 ， C
8、PQ=45， 又ACBC， CQP=45 ， CQ=CP. 在 BCQ 和ACP 中， BC=AC，BCQ=90=ACP，CQ=CP， BCQACP. BQ=AP. 延长 QB 交 AP 于点 N. BCQACP， CQB=APC. CBQCQB=90，PBN=CBQ， APC PBN=90， QNA=90，即 BQAP.3、如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点 H（1）证明：ABGADE；（2）试猜想BHD 的度数，并说明理由；（3）设ABE 的面积为 S1，ADG 的面积为 S2，判断 S1 与 S2 的大小关系，并给予证明5 / 10（1
9、）证明：在正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中，GAE=BAD=90，GAE+EAB=BAD+EAB，即GAB=EAD，又 AG=AE，AB=AD，ABGADE； （2）猜想BHD=90理由如下：设：AB 和 DE 交于点 N，正方形 ABCD，BAD=90，又ABGADE，ABG=ADE，又AND=BNH，ANDHNB，则BHD=BAD=90；（7 分）（3）证明：当正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 0BAE180时，S1 和 S2 总保持相等 （8 分）证明如下：由于 0BAE180分三种情况：当 0BAE90时 （如图所示）过点 B 作 BM直线 AE 于点 M，过点 D 作
10、DN直线 AG 于点 N，MAN=BAD=90，MAB+BAN=90，BAN+DAN=90，MAB=DAN，又AMB=AND=90，且 AB=AD，ANDAMB，BM=DN，又 AE=AG，1 2 AEDM=1 2 AGBN，S1=S2；（9 分）6 / 10当BAE=90时，如图所示：AE=AG，BAE=DAG=90，AB=AD，ABEADG，S1=S2；（10 分）当 90BAE180时 如图所示：过点 B 作 BM直线 AE 于点 M，过点 D 作 DN直线 AG 的延长线于点 NMAN=GAE=90，MAB+BAD=90，DAN+MAB=90，MAB=NAD，由正方形 ABCD，得到A
11、MB=AND=90，且 AB=AD，AMBAND，BM=DN，又 AE=AG，1 2 AEBM=1 2 AGDN，S1=S2，综上所述，在（3）的条件下，总有 S1=S2 （11 分）4、如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE，GC（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE和 GC你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由解：（1）答：AEGC；（ 1 分）证明：延长 GC 交 AE 于点 H
12、，在正方形 ABCD 与正方形 DEFG 中，AD=DC，ADE= CDG=90，DE=DG，ADE CDG，1=2；（3 分）2+3=90，1+3=90，AHG=180-（1+3） =180-90=90，AEGC （5 分）（2）答：成立；（6 分）证明：延长 AE 和 GC 相交于点 H，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，AD=DC，DE=DG，ADC=DCB= B=BAD=EDG=90，7 / 101=2=90-3；ADE CDG，5=4；（8 分）又5+6=90，4+ 7=180-DCE=180-90 =90，6=7，又6+AEB=90，AEB=CEH，CEH+7=90，EH
13、C=90，AEGC （10 分）5、如图,ABC 中,D 是 BC 的中点,过 D 点得直线 GF 交 AC 于 F,交 AC 的平行线 BG 于点 G 点,DEDF,，交 AB 于点 E，连接 EG，EF 1）求证，BG=CF2）请你判断 BECF 与 EF 的大小，并说明理由提示：因为 BG 平行与 AC 所以角 GBD角 DCA 又因为角 BDG角 CDF D为 BC 中点，所以 BDCD，所以由角角边的定理推出三角形 BGD 全等于三角形 CFD，所以 BGCF。（2）：由于全等，所以 D 也为 GF 的中点，又因为 ED 垂直于 GF，所以三角形 EGF 为等腰三角形！所以 GEEF
14、，又因为 BGCF，所以再三角形 BGE中有 BEBG 大雨 GE，所以 BECF 也大于 EC!6、如图 1，若ABC 和ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE，AMN 是等边三角形（1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；8 / 10（2）当ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理由解：CD=BE理由如下：ABC 和 ADE 为等边三角形，AB=AC，
15、AE=AD，BAC=EAD=60 BAE= BAC-EAC=60-EAC ，DAC=DAE-EAC=60-EAC，BAE= DAC，ABEACDCD=BE2）AMN 是等边三角形理由如下：ABE ACD， ABE=ACDM、N 分别是 BE、CD 的中点，BM=AB=AC，ABE=ACD ， ABM ACNAM=AN，MAB= NAC NAM= NAC+ CAM=MAB+CAM= BAC=60oAMN 是等边三角形设 AD=a，则 AB=2aAD=AE=DE，AB=AC ， CE=DEADE 为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60o，EDC=ECD=30o ， ADC=90o在 R
16、tADC 中，AD=a，ACD=30 o ， CD=N 为 DC 中点， ADE ，ABC，AMN 为等边三角形，SADESABC S AMN9 / 10解法二：AMN 是等边三角形理由如下：ABE ACD，M、N 分别是 BE、CN 的中点，AM=AN，NC=MBAB=AC，ABM ACN，MAB=NAC ，NAM=NAC+CAM=MAB+CAM= BAC=60oAMN 是等边三角形设 AD=a，则 AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易证 BEAC，BE= ， ADE， ABC，AMN 为等边三角形7、已知：如图 所示，在 ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=D
17、AE，且点 B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为 BE，CD 的中点（1）求证： BE=CD；（2）求证： AMN 是等腰三角形；（3）在图 的基础上，将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 D 点落在线段AB 上，其他条件不变，得到图所示的图形（1）、（2 ）中的两个结论是否仍然成立吗？请你直接写出你的结论解答：（1）证明： BAC=DAEBAC+CAE=DAE+ CAE，即BAE= CADAB=AC，AD=AEABEACDBE=CD（2）证明：由（ 1）得 ABEACD，ABE= ACD，BE=CD M， N 分别是 BE，CD 的中点，BM=CN又AB=ACABM ACN10 / 10AM=AN，即AMN 为等腰三角形（3）（1）、（2）中的两个结论仍然成立
