1、1专题定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1 实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线 及曲线0,ybxa所围成的图形，如 图 5.1(a),(b),(c)都是曲边 梯形.)(xfy现在求 时，在连续区间 上围成的曲边梯形的面积 A（如图 5.1(a),0)(xf ,ba(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，
2、我们按下述步骤来计算：(1)分割将曲 边梯形分割成小曲边梯形在区间 内任意插入 个分点： ，把,ba1n bxxan1210区间 分成 个小区间 ： ，第 个小区间的,n ,20 nix i长度为 ，过每个分点作垂直于 轴的直线段，它们把曲边),(1ixii x梯形分成 个小曲 边梯形（ 图 5.2），小曲 边梯形的面 积记为 .),21(iAa o xa o b xya o b xby y(a) (b) (c)图 5.12(2)近似用小矩形面 积近似代替小曲边梯形面积在小区间 上任取一点 ，作以 为底， 为高,1iix ),21(ni,1iix)(if的小矩形，用小矩形的面积 近似代替小曲边
3、梯形的面积，则.),()ixfAii (3)求和求 个小矩形面积之和n个小矩形面 积之和近似等于曲 边梯形之和 ，即n AnAA21 nxfxfxf )()()(21.iiif1(4)取极限令 ，当分点 无限增多且 时，和式 的极限便inix1man0iniixf)(1是曲边梯形的面积 A，即.iniixfA)(lm102变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间 的连续函数 ，求物体在时t)(tv刻 到 间所经过 的路程 .1Tt2t S我们知道，匀速直线运动的路程公式是： ，现设 物体运动的速度 是随vtSv时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：
4、o x210xaix1bxn1y图 5.23(1)分割把整个运 动时间分成 个时间段n在时间间隔 内任意插入 个分点： ，,21T121101 TttTn把 分成 个小区间： ，第 个小区间的长度,21Tn ,210 nittt i为 第 个时间段内对应的路程 记作 .),(1itti i ),(Si(2)近似在每个小区 间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间 上任取一点 ,用速度 近似代替物体在时间,1it )2,1(ni)(iv上各个时刻的速度， 则有,1it.),()itvSii (3)求和求 个小时间段路程之和n将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即 nSS2
5、1 nitvtvt )()()(21.initv)(1(4)取极限令 ，当分点的个数 无限增多且 时，和式 的极init1maxn0initv)(1限便是所求的路程 .即 SinitvS)(lm10从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限” 的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.45.1.2 定积分的概念定义 5.1 设函数 在区间 上有定义，任取分点)(xf,babxxan1210
6、把区间 任意分割成 个小区 间 ，第 个小区间的长度为,b,1iix，记 .在每个小区间 上任取一点),(1ixiini1ma,1iix作和式 ，当 时，若极限 存在（这个,2(niiniixf)(10iniixf)(lm10极限值与区间 的分法及点 的取法无关），则称函数 在 上可积，并,bai f,ba称这个极限为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即)(xf,babadx)(. adxf)(iniif)(lm10其中， “ ”称为被积函数， “ ”称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积)(xf f xa分下限， 称为积分上限， 称为积分区间.b,ba根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例
7、可分别叙述为：曲边梯形的面 积 是曲线 在区间 上的定积分.A)(xfy,ba( ).badf0)xf变速直线运 动的物体所走 过的路程 等于速度函数 在时间间隔S)(tv上的定积分.,21T.21)(Tdtv关于定积分的定义作以下几点说明：闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数 和积分区间 ，而与)(xf,ba5积分变量使用的字母的选取无关，即有 .babadtfxf)()(在定积分的定义中，有 ，为了今后计算方便，我们规定：.baabxfdxf)()(容易得到 .0)(adxf5.1.3 定积分的几何意义设 是 上
8、的连续函数，由曲线 及直线 所围)(xfba, )(xfy0,ybxa成的曲边梯形的面积记为 .由定积分的定义及 5.1.1 实例 1，容易知道定积分有如下A几何意义：（1）当 时，0)(xfdxfba)(（2）当 时，A（3）如果 在 上有时取正值，有 时取负值时，那么以 为底边，以)(xfb, ba,曲线为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于 轴的上方或)(xfy x下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图 5.3 所示，有321)(Adxfba其中 分别是图 5.3 中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.321,A6例 5.1.1 利用定积分的几何意
9、义，证明 .21dx证 令 ，显然 ，1,12xy0y则由 和直线 ，2,所围成的曲边梯形是单位圆位于 轴上方的x半圆.如图 5.4 所示.因为单位圆的面积 ，A所以 半圆的面积为 .2由定积分的几何意义知：.12dx5.1.4 定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比 较复杂，但易推 证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质 5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即.babadxfkdxf)()(性质 5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即.bababa dxgxfxgf )()()(这一结论可以推广到任意有限多个
10、函数代数和的情形.性质 5.1.3（积分的可加性）对任意的点 ，有c.bcaba dxfxfdxf )()()(注意 的任意性意味着不论 是在 之内，还是 在 之外， 这一性质c,ba均成立.性质 5.1.4 如果被积函数 为常数),则cf()7.bacdx)(特别地,当 时,有 .1c性质 5.1.5（积分的保序性）如果在区间 上,恒有 ，则ba)(xgf.babdxgxf)()(性质 5.1.6（积分估值定理）如果函数 在区间 上有最大值 和最小f,M值 ,则m).()()( abMdxfabmb性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数 在区间 上连续,则在 内至),(ba少有一点 ,
11、使得.baabfdxf)()(),(b证 因 在 内连续，所以 在 内有最大值 和最小值 ，)(xf, ,Mm由性质 5.1.6 知： ).()()(xfbmba从而有 1d这就说： 是介于 与 之间的一个实数.badxf)(1M由连续函数的介值定理 1.10 知：至少存在一点 ，使得),(ba.即)()(fxfab.bafdxf)()( ),(注 性质 5.1.7 的几何意义是:由曲线,直线 和 轴所围成)(xfybx,曲边梯形的面积等于区间 上某个矩形,a的面积,这个矩形的底是区间 ,矩形的高为区间 内某一点 处的函数值 ，,ba)(f如图 5.5 所示.o a b xy)(f )(xfy
12、图 5.58显然，由性质 5.1.7 可得 ， 称为函数 在区间badxff)(1)()(f)(xf上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.,ba性质 5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设 在对称区间 上连)(xf,a续,则有如果 为奇函数,则 ；)(xfadxf0)(如果 为偶函数,则 .aadxf0)(2例 5.1.2 估计定积分 的值.xe12解 设 , ，令 ,得驻点 ，比较 及2)(xf2)(f)(xf0xx区间端点 的函数值 ,有1x, .1)0(ef ef1)(显然 在区间 上连续,则 在 上的最小值为 ,最2)(xefx,em1大值为 ，由定积分的估 值性质,得1M
13、.212dxe例 5.1.3 比较定积分 与 的大小.003解 因为在区间 上,有 ,由定积分保序性质,得12x.d0103定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时，先尽可能地用 规则图形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些 边边角角的不规则的小块计算出每一小块规则图形的面积，然后将它 们相加，就得到土地面积的近似值后来看来，9古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想，当时流行的方法是不可分量法这种方法认为 面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的这 种方法没有包含极限概念
14、，也没有采用代数与算数的方法因此，不可分量的思想没有取得成功虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛 顿那个年代，数学家们已经能够计 算许多简单的函数的积分虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学家)但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始他比较早地用函数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分)但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数1854 年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的积分进行了推广他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函数黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件其中一个
15、是考察函数 的振幅；另一个充分必要条件)(xf就是对于区间 的每一个划分 ，构造积分上和与积分,ba bxan10下和:S= s=iniiM1 iniim1其中 M 和 m 分别是函数 在每个子区间上的最大 值和最小值. 在ii )(xf )(xf黎曼可积的充分必要条件就是,ba0)(li0maxsS至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中达布(法国数学家) 对于黎曼的积分的定义作了推广他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数，只要间断点可以被包含在长度可以任意小10的有限个区间之内就是可积分的在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以
16、研究的虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微分和积分是互逆的两种运算而这正是建立微积分的关键所在牛顿在 1666 年发表的著作流数简论中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面 积，把面 积计算看作是求切 线的逆从而得到了微 积分基本定理在 1675 年，莱布尼兹就认识到，作为 求和过程的积分是微分的逆他于 16751676 年给 出了微积分基本定理 )(afbdxfba并于 1693 年给出了这个定理的证明简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的一方面,黎曼积分的可 积函数类太小基本上是“ 分段连续函数”构成的函数类另一方面，黎曼积分在处理诸如函数级数的逐项积 分、重 积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于是在上一世纪末到本世 纪初，一种新的 积分理 论勒贝格积分应运而生它是黎曼积分的推广，勒贝格积分的建立是积分学 领域的重大发展它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础习题 5.11.用定积分表示由曲线 与直线 及 轴所围成的曲边32xy4,1x梯形的面积.
