1、第四节 不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量（如：、 、 等） ，则可以考虑使用换元积分法.arcsinxnb一、换元积分法例 641 求不定积分 .1dx解 这里主要障碍是 “ ”，不妨令 此时 t2xt这样把复杂的量“ ”换元成最简单的变量“ ”x则 1d2t1dt2()tln1tC.2xx例 642 求不定积分 .1xde解 同样令主要障碍 ，此时xtlnt则 1xdelnt1dt()ttln1C.()xe例 643 求不定积分 .arcsinxd解 令 ，此时 ，则arcsinxttdsitntsicotC.2arn1xx例 644
2、求不定积分 .210dx解 令 ，此时 ，则1xtt210d210tt210tdt8910()tt7894Ctt.8911xx从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例 645 用换元法求下列不定积分：（1） ； （2） ； （3） ；xdxed1xd（4） ； （5） ； （6） .231xxe解（1） xd2t21td2tt1tdt= 2lnttC= ；1xx（2） xed2tte2ttd1teC= ； x（3） 1xd2t21td2tt1tdt24lnttC= ；1xx（4） 25d2()ttx425tdt317tC= ；53242xx（5） 31d66
3、32xtt2t1dt6arctntC= ；6xx（6） 1xde2ln()xtt21dttt1lnCt.2l1e可见前边例子中直接令“ ”或其它复杂的量“ ”也就行了.可若“ ”下含有t“ ”项，问题就不是那么简单了.2x例 646 利用三角公式 （ ）换元，求积分 .21sincot,2t21xd解 21xdsincositt21stdco224ttsinC1ctt.arsiosarin2xx例 647 利用三角公式 （ ）换元，求积分 .21tsect,2214dx解 214dxtantansecxdlstaC.lnecrt2x例 648 利用三角公式 （ ）换元，求积分 .2sec1ta
4、n0,2329dx解 329dx3secsec7tant21dtcos(1)54tsin208tCcot.1313arsinars548xx例 649 求下列不定积分：（1） ；（2） ；（3） .sincoxd1xd23xd解（1） sincoxdtcotx1cotdart2211td22tt211dtdt2lnlco4tarC= ；1con1t2xx（2） d21tx21tdt221ttdt查积分表 （见文献文献）2211ttt2arcsinarcsintt tC221itttC= ；+arcsnxx（3） 23dsectxsecta3sect2n23tandtC；3tanrcsox此题还
5、可以用另一个很简单的解法： 23xd21x1223d；2xC可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它.思考题 6.41本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？练习题 6.41. 用换元法求下列不定积分：（1） ； （2） ； （3） .xd 312dx31xd2. 利用三角代换求下列不定积分：（1） ； （2） ； 2axd0 24dx（3） 2x练习题 6.4 答案1.解 （1） xd21tt2td3C= ；12x（2） 3d3312xtt2dt213tttdt= 23ln1ttC= ；233ln12xxxC（3） 31d3t-x=dt231tt21Ct= .x2. 解（1） 2axd0sinco(sin)xttt21cosatd2in4ttC= ；22arcsixax（2） 214dx2tantantsec1cos4id2intsiCt；1car42x（3） 2dx01secsectanatt1dtCa
