1、广东石油化工学院高州师范学院毕业论文- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院 312 数学（1）班 梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。【关键词】不定积分 直接积分法 分部积分法 换元积分法 有理函数不定积分 简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是数学分析中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕
2、积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。二、不定积分的概念定义：函数 在区间 I 的所有的原函数 称为函数 的f(x)RCxFf(x)不定积分，表为数学系 数学教育专业 不定积分计算的各种方法- 2 -（ ，C 为积分常数）,CxFdf)()( xfF其中称为积分符号，x 称为积分变量， 称为被积函数， 称为被f(x)d积表达式，C 称为积分
3、常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如：，而 ；at21Catd21,而 ；xcossin xsin，而 .231Cd321这也就是说： 和 是不相等的，即前者的结果是一个函数，)(dxfx而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。三、不定积分的计算方法1.直接积分法既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：（1） 、 ,其中 a 是常Caxd数.Cxd（2） 、 ，Cxd1x其中 是常数，且-1.（3） 、 ,x0.
4、ln（4） 、 ,其中Cadxaxln1a0，且 a1.广东石油化工学院高州师范学院毕业论文- 3 -.Cedx（5） 、 .Cxxdcossin(6)、 .xsinco（7） 、Cxdxtanseccod22 （8） 、Cxxddxcotcssin22（9） 、 sec（10） 、Cxxdcscot（11） 、 CxCxxd arcosarcsin12 （12） 、 CxarcCxxotarctn12直接积分法就是利用基本积分公式直接进行不定积分的计算，例如：例 3.1、计算 dxx35746解：原式 d46cxcxdx257 3213需要说明的是： , , 为任意的常数，因此可用一个常数
5、c 来表示。以后123对于一个不对积分，只要在积分结果后面所得的式子中写上一个积分常数即可，后面的就不一一说明了。例 3.2、求 .dx21解：原式 2数学系 数学教育专业 不定积分计算的各种方法- 4 -Cxdxarctn12注：这里有一个技巧的方法：将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式进行计算。直接积分法只能计算比较简单的不定积分，或者是稍做变形就可以用基本积分表解决的不定积分，对于其他有点复杂的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。2.分部积分法分部积分法是由导数乘法规律推导出来的，其公式是（1）dxvudxuv或（2）vduud说明：分部积分法的关键是 u 和
6、 dv 的选取，其一般原则是（1） 要比vdu易求；（2）v 要容易求出.根据此原则在下表中列出了在几种常见的分部ud积分类型中相应的 u 和 dv 的选取方法：积分类型 u(x)、dv(x)的选择（1） dxePkn ,xPundxevk（2） bac)si(n,)(n ba)sin(（3） dxxPno ,xPundxdvco（4） nl)( ,l)(Pn)(广东石油化工学院高州师范学院毕业论文- 5 -（5） dxbaxPn)rcsi() ,)arcsin()(bxxudPvn（6） no ,oxdn)(（7） xbaxPn)rct() ,)arctbudPvn（8） dekxsi ,
7、的选择随意)(x（9） xbakx)co(, 的选择随意udv注：表中 a,b,k 均为常数， 为 x 的 n 次多项式。(Pn下面举一些例子来说明上表的应用。例 4.1 计算 xdsin解：令 ， ，则uvxvcos Cxdxxdx sincsossin例 4.2 求不定积分 ex2解: 令 ， ，则 ， ，2udvxdu2xev21Cexedxxexedxex 22222 22 1111例.4.3 求 d2ln数学系 数学教育专业 不定积分计算的各种方法- 6 -解： 设 ， ，则 ， .xulndxv21dxu1v1所以有 Cxdx)1(lnl-n)1(ll22例 4.4 计算 d3se
8、c解： 由于 ，则令 ，xdx22seco1)(tan xusec，并令 ，则有 ， 所以有xddv2secdI3secdtanvtanxIxdxxxItansecltansec )1sec(t1tsectansec)(t)(3 222 于是得 CxxI tansecltansec21分部积分公式还可以推导积分递推式，例如例 4.5 计算 其中 （ n1 是正整数 ）xdnsi解： 令 ， ，则 ，un1xdvsinxdnuncosi12，所以得xvcos广东石油化工学院高州师范学院毕业论文- 7 -nnnnnnnnn IxdxxdxxddxI )1(si)1(cosi si)i(i)(i )
9、sin1cos1cos)(ii)(si 21 221 2221 所以有 2121 1cosinsicosin nnn IxxdxI注：上例导出了一个递推公式，只要是重复利用该递推公式，则 的偶xi次幂最终将递推到 1，奇数幂则最终将被递推到 ，而 1 和 可以积出来，xsins因此利用上式递推公式可以积分 的任意正整数幂。xsin由上面这些例子，对于分部积分法的 u 和 dv 的选择可以总结出以下规律：优先考虑取为 u 的函数的顺序为“反对幂三指 ”，即按反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数的先后顺序优先选择函数作为 u，积分式其余部分则凑为 dv .3.换元积分法（1）第一换元法
10、如果不定积分 用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为dxf)()()(xgf令 ，并注意到 ，则可将有关于变量 x 的积分转化为xudx关于 u 的积分，于是有 .)(回 代积 分)(换 元 变 形凑 合 CxFuCFdufxdxfdf 数学系 数学教育专业 不定积分计算的各种方法- 8 -这就是第一换元积分法。一般可用第一换元积分法，即可用“凑微分”法解的题型较多，方法也很灵活，但也有规律可循，按基本初等函数类型进行总结，常见题型有：(1)baxdfadxbaf10(2) baxdfnadxbaxf nnnn11,0(3)xdfdxf21(4)xdfdxf12(5)xdfdxfln1ln
11、(6) sincosin(7)xdfxdfcossinco (8)xdfxdftansectan2(9)xdfxdfcotcsot2 (10) (11) xdfarcsin1arin2(12) xdfxarctn1arctn2(13) xefe下面举例说明：例 5.1 计算 .25xd解： 广东石油化工学院高州师范学院毕业论文- 9 -CxuC uddx 25ln1ln51 5125原 式 例 5.2 计算 xdsec解法一： Cxxdxd xdxdx sin1l2sin1sin12 sin1sincosco1e 22解法二： Cxddxxdtansecltansec2虽然这两种解法所得的结果
12、只是形式上的不同，但经过验证均为 的原xsec函数。例 5.3 求不定积分 xd52cosin解：数学系 数学教育专业 不定积分计算的各种方法- 10 -Cxxdxdx 7536422425sin1sin1 )()(sincosin例 5.4 求 .co2d解： Cxddxd2sin41)(co2s1co2注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇数次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑，剩下的偶次用半角公式降幂后再计算。（2）第二换元积分法适当地选择变量代换 ，将积分 化为积分 这是txdxf.dtf另一种形式的变量代换，换元公式可表达为： .dtfdx可是这公式的成立需要一定条件：首先，等式右边的不定积分要存在，即有原函数；其次， 求出后必须用 的反函数dtfdtf tx
