1、 初等函数在定义域中连续内容概要一. 连续的定义二常见的初等函数举例三以上所举初等函数是否在定义域中连续并举例证明几个初等函数的连续性四以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）是否有连续性并举例证明五我们从中得到的定理一连续的定义（一）设函数 f 在某 U（X0）内有定义，若 f(x)=f(x0)，则称 f 在点 X0 连续0limX（二）即函数在定义域中每一点满足1 左极限 和 右极限 存在2 左极限等于右极限3 左极限与右极限等于这一点的函数值二常见的初等函数举例（一）概念初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(
2、logarithmic function)、三角函数 (trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。还有一系列双曲函数也是初等函数，如 sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh
3、是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、 coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。初等函数在其定义区间内连续。（二）实例介绍1 常数函数对定义域中的一切 x 对应的函 数值都取某个固定常数 的函数。2 指数函数形如 yax 的函数，式中 a 为不等于 1 的正常数。3 幂函数形如 yxa 的函数，式中 a 为实常数 。4 对数函数指数函数的反函数，记作 ，式中 a 为不等于 1 的正常数。指数函数与对数函数logXa之间成 立关系式， =X。la5 三角函数即正弦函数 ysinx ，余弦函数 ycosx ，正切函数 ytanx，余切函数 ycotx ，正割函数 y
4、secx，余割 函数 ycscx。6 反三角函数三角函数 的反函数 反正弦函数 y arc sinx ，反 余 弦函数 yarc cosx （1x1，初等函数0y） ，反 正 切 函数 y=arc tanx ， 反余切函数 y arc cotx（ x ，y ） 等 。 以上这些函数常统称为基本初等函数。双曲正弦或超正弦 sinh x =(ex- e（-x)）/2双曲余弦或超余弦 cosh x =(ex + e(x)/2双曲正切 tanh x =sinh x / cosh x双曲余切 coth x = 1 / tanh x双曲正割 sech x = 1 / cosh x双曲余割 csch x =
5、 1 / sinh x一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如 ，三角函数 ysinx 可以用无穷级数表为 初等函数可以按照解析表达式分类为： 初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等（三）基本初等函数的范围包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。实变量初等函数 定义域为实数域的初等函数
6、。 有理函数 实系数多项式称为整有理函数。其中最初等函数简单的是线性函数 y=0+1x，它的图形是过 y 轴上 y=0 点的斜率为 1 的直线。二次整有理函数 y=0+1x+2x2 的图形为抛物线。两个整有理函数之比 (1)称为分式有理函数。其中最简单的是其图形为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。 求有理函数的反函数则可产生代数函数。如 y=xn 的反函数为 三角函数和反三角函数 这是起源于几何学的最简单的超越函数。高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法,即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是 sinx、cosx 以及由它们导出的 和它们的定义如图
7、1 所示。sinx 和 cosx 在 x=0 处的泰勒展式为 (2) (3)它们的收敛半径为。sinx、cosx 、tanx、cotx 、secx 、cosecx 的反函数分别为 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx 、arccosecx( 或记为 sin-1x、 cos-1x、tan-1x 、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),初等函数图形并称为反三角函数。 指数函数和对数函数 设 为一正数，则 y=z 表示以 为底的指数函数（图 2）。其反函数 ylogx 称为以 为底的对数函数(图 3)。特别当 =e 时称y=ez（或 expx）
8、和 y=logx=lnx（或 logx）为指数函数和对数函数。logx 能由下面的积分式定义它表示由双曲线 、下由 t 轴、左右分别由 t=1 和 t=x 两直线所围的面积。由此可知当 x 在正实轴上变化时，y=logx 取值在实轴上，且 log1=0。它是 x 的增函数,导数。此外logx 满足加法定理，即 log(x1x2)=logx1+logx2。初等函数 初等函数 对数函数的反函数指数函数 ex 是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且 e01。 ex 的导数与它本身相同。此外 ex 满足乘法定理，即 。ex 在 x=0 处的泰勒展式为。 (4) 双曲函数和反双曲函数 由指数函数经有理运
9、算可导出双曲函初等函数数。其性质与三角函数很相似，并以 sinhx、coshx、tanhx 、cothx 、sechx 、cosechx 表示之，其定义如下：分别称为双曲正弦（图 4）和双曲余弦（图 5）。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切（图 6）tanhx=sinhx/coshx ，双曲余切（图 7）cothxcoshx/sinhx等都称为双曲函数。它们有如下的几何解释，即双曲线 x2-y2=1(x0)上取一点 M,又令 O为原点,N(1,0)，将 ON,OM 和双曲线上的弧所围面积记为 /2，点 M 的坐标视为 的函数,并记为 cosh 和 sinh，即有表示式(5)。初等函数 初等函
10、数 初等函数 初等函数 复变量初等函数 定义域为复数域的初等函数。 有理函数、幂函数和根式函数 两个复系数的多项式之比为有理函数,它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数 是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数 wzn，n 是自然数,初等函数它在全平面是解析的,且。因此当 n2 时，它在全平面除 z=0 以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周丨 z 丨= r 变为圆周|w|=rn，将射线 argz= 变为射线 argwn。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于 2/n,它就是 wzn 的单叶性区域。幂函数 wzn 的反函数为根式函数 ,它有 n
11、 个值,(k=0 ，1,n-1),称为它的分支。它们在任何区域1z 1）xa证明：由 =1= ，0limx0这表明 在 x=0 连续。现任取 。可以知道：0xR000()xxaa令 t= ， 则当 时有 ，从而有t0000limlilimxxxx ttaa这就证明了 在任一点 连续。xa3幂函数幂函数 （ 为实数）可表为 ，它是函数 与 的复合，故由指数axaInxeueaInx函数与对数函数（下证）的连续性以及复合函数的连续性（下证） ，推得幂函数 在ayx其定义域（0，+ ）上连续。4. 对数函数由反函数的连续性得知，又指数函数是连续的，所以，作为指数函数的反函数，对数函数在其定义域上也连续。5三角函数由三角函数图像可以组略得知其连续性。6反三角函数由反函数的连续性可知，作为三角函数的反函数，反三角函数也是连续的。四以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）是否有连续性并举例证明是具有连续性的。举例：设 。证明00lim(),li()xxuavb0()limvxbxua证明：补充定义 则 u(x),v(x)在点 连续，从而 v(x) In u(x) 在 连续，, 0x所以 在 连续。由此得：()()vxInuxue000()()lilivxvxInubInaxue五我们从中得到的定理1一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数2任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数
