1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.(5分)已知复数z的共轭复数 (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：因为复数z的共轭复数 ，所以z=1-2i，对应的点的坐标为(1，-2).z在复平面内对应的点位于第四象限.答案：D.2.(5分)已知集合A=1，a，B=1，2，3，则“a=3”是“AB“的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当a=3时，A=1，3所以
2、AB，即a=3能推出AB；反之当AB时，所以a=3或a=2，所以AB成立，推不出a=3故“a=3”是“AB”的充分不必要条件答案：A.3.(5分)双曲线 的顶点到渐近线的距离等于( )A.B.C.D.解析：由对称性可取双曲线 的顶点(2，0)，渐近线 ，则顶点到渐近线的距离d= .答案：C.4.(5分)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模 试成 分成6 ：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100 以统 ， 到 所 的分 .已知高一年级共有学生600 ， ， 模 试成 不 于60分的学生 数为( )A.588B. 480C. 450D.120
3、解析： 分 ，成 不 于60(分)的 为1-10(0.005+0.015)=0.8. 由于 校高一年级共有学生600 ， 本 的 ，可 校高一年级模 试成 不 于60(分)的 数为6000.8=480 .答案：B.5.(5分) a，b-1，0，1，2，于x的 ax2+2x+b=0有数解的有数对的个数为( )A.14B. 13C. 12D.10解析：(1)当a=0时， 为2x+b=0， 时一有解；时b=-1，0，1，2；即(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)；四.(2)当a0时， 为一currency1二 ，“=b2-4ac=4-4ab0，“ab1.所以a=-1，1，2 时a，b的对
4、数为(-1，0)，(-1，2)，(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)；(2，-1)，(2，0)，共9，于x的 ax2+2x+b=0有数解的有数对的个数为13，答案：B.6.(5分) 所 的fi ，fl 的k=10，则 的能是( )A. 数 2n-1的10项B. 数 2n-1的9项C. 数 2n-1的10项D. 数 2n-1的9项解析：fi 给” S i ，S=0，i=1；i10不成立，S=1+20=1，i=1+1=2；i10不成立，S=1+21=1+2，i=2+1=3；i10不成立，S=1+2(1+2)=1+2+22，i=3+1=4；i10不成立，S=1+2+22
5、+29，i=10+1=11；i10成立， 出S=1+2+22+29.故则 的能是 数 2n-1的10项.答案：A.7.(5分)在四 ABCD中， =(1，2)， =(-4，2)，则 四 的面为( )A.B.C. 5D.10解析：因为在四 ABCD中， ， ， =0，所以四 ABCD的对 线 ， ， 四 的面： = =5.答案：C.8.(5分) 数f(x)的 为R，x0(x00)是f(x)的 点，以 一 的是( )A.xR，f(x)f(x0)B. -x0是f(-x)的 小 点C. -x0是-f(x)的 小 点D.-x0是-f(-x)的 小 点解析：对于A项，x0(x00)是f(x)的 点，不一是
6、 点，因 不能 在 个；对于B项，f(-x)是 f(x)的 象于y 对称，因 ，-x0是f(-x)的 点；对于C项，-f(x)是 f(x)的 象于x 对称，因 ，x0是-f(x)的 小 点；对于D项，-f(-x)是 f(x)的 象分 于x 、y 对称，因 -x0是-f(-x)的 小 点.答案：D.9.(5分)已知等 数 an的 为q， bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m，cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m，(m，nN*)，则以 一 的是( )A.数 bn为等 数 ， 为qmB.数 bn为等 数 ， 为q2mC.数 cn为等 数 ， 为D.
7、数 cn为等 数 ， 为解析： ，当q=1时，bn=mam(n-1)，bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)=bn， 时是 数 ，选项A不 ，选项B ；当q1时， ， =， 时 ，选项B不 ，bn+1-bn= ，不是 数，答案：项A不 ，等 数 an的 为q，“ ，“ = ，“ = = = ，故C D不 . 可知：只有C .答案：C.10.(5分) S，T是R的个 集， 在一个从S到T的 数y=f(x) ：(i)T=f(x)|xS；(ii)对 x1，x2S，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2)， 称 个集合“，以 集合对不是“的是( )A.A=N*，B=NB. A=x|-1x3
8、，B=x|x=-8或0 x10C. A=x|0 x 1，B=RD.A=Z，B=Q解析：对于A=N*，B=N， 在 数f(x)=x-1，xN*， ：(i)B=f(x)|xA；(ii)对 x1，x2A，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2)，所以选项A是“；对于A=x|-1x3，B=x|x=-8或0 x10， 在 数 ，：(i)B=f(x)|xA；(ii)对 x1，x2A，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2)，所以选项B是“；对于A=x|0 x 1，B=R， 在 数 ，0 x 1， ：(i)B=f(x)|xA；(ii)对 x1，x2A，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2)，所以选项
9、C是“；三个选项中的集合对是“，由 可知，不是“的只有D.答案：D.二、 题：本 题共5小题，每小题4分，共20分.11.(4分) 机 生01之间的均匀随机数a，则事件“3a-10”发生的概 为 .解析：3a-10即a ，则事件“3a-10”发生的概 为P= = .答案： .12.(4分)已知某一多面 内接于球成一个简单 合 ， 合 的 视 、俯视 、均 所 ， 中的四 是 长为2的 ，则 球的表面是 .解析：由三视 可知， 合 是球内接 ， 的棱长为2，球的 径就是 的 对 线的长，所以2r= ，r= ，所以球的表面为：4r2=12.答案：12.13.(4分) ，在ABC中，已知点D在BC
10、，AD AC ，sin BAC= ，AB=3，AD=3，则BD的长为 .解析：AD AC ，“DAC=90，“BAC= BAD+ DAC= BAD+90 ，“sin BAC=sin( BAD+90)=cos BAD= ，在ABD中，AB=3 ，AD=3， 余弦理 ：BD2=AB2+AD2-2ABADcos BAD=18+9-24=3 ，则BD= .答案：14.(4分)椭圆： =1(ab0)的左右焦点分 为F1，F2，焦距为2c，fl 线y=与椭圆的一个交点M MF1F2=2 MF 2F1，则 椭圆的离心 等于 .解析： 所 ，由 线 可知倾斜 与斜 有系 =tan，“=60.椭圆的一个交点 M
11、F1F2=2 MF 2F1，“ ，“ .|MF2|=m，|MF1|=n，则 ，解 . 椭圆的离心 e=.答案： .15.(4分)当xR，|x| 1时，有 表达式：1+x+x2+xn+= 时分 ： dx+ xdx+ x2dx+ xndx+= dx从而 到 等式：1 + ( )2+ ( )3+ ( )n+1+=ln2请 以 材料所蕴含的数学 ， ： + ( )2+ ( )3+ ( )n+1= .解析：二项式理 Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=(1+x)n，对Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=(1+x)n 时分 ：从而 到 等式：=答案： .三、解答题：本 题共5小题，共80分.解
12、答应写出文字说明、证明过或演步骤.16.(13分)某联欢晚会举抽奖活动，举办 置了甲、乙抽奖 案， 案甲的中奖 为 ，中奖可以获 2分； 案乙的中奖 为 ，中奖可以获 3分；未中奖则不 分.每 有只有一抽奖机会，每抽奖中奖与否不影响，晚会后凭分数兑换奖品.(1)fl小明选择 案甲抽奖，小红选择 案乙抽奖， 他们的” 分为x，求x3的概 ；(2)fl小明、小红 都选择 案甲或都选择 案乙进抽奖，问：他们选择何 案抽奖，” 分的数学期望较 ？解析：(1) “他们的” 分X3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题知，小明中奖的概 为 ，小红中奖的概 为 ， 抽奖中奖与否不影响， 独立事
13、件的乘式求出对立事件的概 ，再 对立事件的概 式即可求出他们的” 分x3的概 .(2) 小明、小红 都选择甲 案抽奖中奖数为X1，甲小明、小红 都选择 案乙抽奖中奖数为X2，则 都选择甲 案抽奖” 分的数学期望为E(2X1)，都选择乙 案抽奖” 分的数学期望为E(3X2). 题 知X1B(2， )，X2B(2， )， 贝努概 的期望式 即可 出E(2X1)E(3X2)，从而 出答案.答案：(1)由题 知，小明中奖的概 为 ，小红中奖的概 为 ， 抽奖中奖与否不影响，“他们的” 分X3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P(X=5)= ，“P(A)=1-P(X=5)= ；即他们的”
14、 分x3的概 为 .(2) 小明、小红 都选择甲 案抽奖中奖数为X1，小明、小红 都选择 案乙抽奖中奖数为X2，则 都选择甲 案抽奖” 分的数学期望为E(2X1)，都选择乙 案抽奖” 分的数学期望为E(3X2)，由已知可 ，X1B(2， )，X2B(2， )，“E(X1)=2 = ，E(X2)=2 = ，从而E(2X1)=2E(X1)= ，E(3X2)=3E(X2)= ，由于E(2X1)E(3X2)，“他们选择甲 案抽奖，” 分的数学期望较 .17.(13分)已知 数f(x)=x-alnx(aR)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线 ；(2)求 数f(x)的 .解析
15、：(1) a=2代原 数解析式中，求出 数在x=1时的导数 ， 接 线 的点斜式写 线 ；(2)求出 数的导 数，由导 数可知，当a0时，f(x)0， 数在 (0，+ ) 单调递增， 数无 ，当a0时，求出导 数的零点，由导 数的零点对 分段， 原数的单调性 到 数的 .答案： 数f(x)的 为(0，+)， .(1)当a=2时，f(x)=x-2lnx， ，因而f(1)=1，f(1)=-1，所以曲线y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线 为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0(2)由 ，x0知：当a0时，f(x)0， 数f(x)为(0，+) 的增 数， 数f(x)无 ；当a0时，由f(x)=
16、0，解 x=a.当x(0，a)时，f(x) 0，当x(a，+)时，f(x)0.从而 数f(x)在x=a处取 小 ， 小 为f(a)=a-alna，无 . ，当a0时， 数f(x)无 ；当a0时， 数f(x)在x=a处取 小 a-alna，无 .18.(13分) ，在 OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)，分 将线段OAAB十等分，分点分 为A1，A2，A9B1，B2，B9，连接OBi，过Ai作x 的线与OBi，交于点 .(1)求证：点 都在一条抛物线 ，并求抛物线E的 ；(2)过点C作 线l与抛物线E交于不的点M，N，flOCM与OCN的面之 为4：1，
17、求 线l的 .解析：(I)由题 ，求出过 与x 的 线 为x=i，Bi的坐标为(10，i)，即可 到 线OBi的 为 .联立 ，即可 到Pi 的；(II)由题 ， 线l的 为y=kx+10，与抛物线的 联立 到一currency1二 ， 与系数的系，及 面式S OCM =S OCN ，可 |x1|=4|x2|.即x1=-4x2.联立即可 到k，进而 到 线 .答案：(I)由题 ，过 与x 的 线 为x=i，Bi的坐标为(10，i)，“ 线OBi的 为 .Pi(x，y)，由 ，解 ，即x2=10y.“点 都在一条抛物线 ，抛物线E的 为x2=10y.(II)由题 ， 线l的 为y=kx+10，联
18、立 消去y 到x2-10kx-100=0，时0， 线与抛物线 有个不的交点，为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=10k，x1x2=-100，S OCM =4S OCN ，“|x1|=4|x2|. x 1=-4x2.联立 ，解 .“ 线l的 为 .即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0.19.(13分) ，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，AB DC ，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1(2)fl 线AA1与平面AB1C所成 的 弦 为 ，求k的 (3)现将与四棱柱ABCD-A1
19、B1C1D1状 小完全的个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规：fl拼成的新四棱柱状 小完全，则视为一拼接 案，问共有几不的拼接 案？在 些拼接成的新四棱柱中， 其中 小的表面为f(k)，写出f(k)的解析式.( 接写出答案，不必说明理由)解析：(1)取DC 中点E，连接BE，可证明四 ABED是平四 ，再 勾股理的逆理可 BE CD ，即CD AD ，侧棱AA1底面ABCD，可 AA1 DC ， 线面的理即可证明.(2)通过建立 间 坐标系，求出平面的向与斜线的 向向的夹 即可 出；(3)由题 可与左右平面ADD1A1，BCC1B1， 或 面ABCD，A1B1C1D1拼接 到 案新四棱柱共有 4不
20、案.写出每一 案 的表面，通过 较即可 出f(k).答案：(1)取DC的中点E，连接BE，AB ED ，AB=ED=3k，“四 ABED是平四 ，“BE AD ，BE=AD=4k，“BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2，“BEC=90，“BE CD ，BE AD ，“CD AD. 侧棱AA1底面ABCD，“AA1 CD ，AA1AD=A，“CD平面ADD1A1.(2)以D为坐标原点， 、 、 的 向为x，y，z 的 向建立 间 坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1).“ ， ， .平面AB1C的一个向为 =(x，y，
21、z)，则 ，取y=2，则z=-6k，x=3. .AA1与平面AB1C所成 为，则 = = ，解 k=1，故所求k=1.(3)由题 可与左右平面ADD1A1，BCC1B1， 或 面ABCD，A1B1C1D1拼接 到 案新四棱柱共有 4不 案.写出每一 案 的表面，通过 较即可 出f(k)= .20.(14分)已知 数f(x)=sin(wx+)(w0，0 )的周期为， 象的一个对称中心为( ，0)，将 数f(x) 象 所有点的横坐标伸长到原 的2 ( 坐标不)，再将 到的 象向右平 个 单位长 后 到 数g(x)的 象.(1)求 数f(x)与g(x)的解析式(2)是否 在x0( )， f(x0)，
22、g(x0)，f(x0)g(x0) 某 成等 数 ？fl 在，请 x0的个数，fl不 在，说明理由；(3)求数a与 数n， F(x)=f(x)+ag(x)在(0，n)内 有2013个零点.解析：(1) 题 ，可求 =2，= ， 三 数的 象换可求 g(x)=sinx；(2) 题 ，当x( ， )时， sinx ，0 cosx sinxcos2xsinxcos2x，问题为 2cos2x=sinx+sinxcos2x在( ， )内是否有解.通过G(x)0，可知G(x)在( ，)内单调递增，而G( ) 0，G( )0，从而可 答案；(3) 题 ，F(x)=asinx+cos2x， F(x)=asinx
23、+cos2x=0， F(x)=0等 于于x的 a=- ，xk(kZ).问题 为 线y=a与曲线y=h(x)，x(0，) ( ，2)的交点 .通过其导数， 表分析即可求 答案.答案：(1) 数f(x)=sin(x+)(0，0 )的周期为，“= =2，曲线y=f(x)的一个对称中心为 ，(0，)，故f( )=sin(2 +)=0， = ，所以f(x)=cos2x.将 数f(x) 象 所有点的横坐标伸长到原 的2 ( 坐标不)后可 y=cosx的 象，再将y=cosx的 象向右平 个单位长 后 到 数g(x)=cos(x- )的 象，“g(x)=sinx.(2)当x( ， )时， sinx ，0 cosx ，“sinxcos2xsinxcos2x，问题 为 2cos2x=sinx+sinxcos2x在( ， )内是否有解.
