1、2010 年储油罐标定问题：（1） 定积分: 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。不 定 积 分 是 一 组 导 数 相 同 的 原 函 数 ， 定 积 分 则 是 一 个 数 值 。 求 一个 函 数 的 原 函 数 ， 叫 做 求 它 的 不 定 积 分 ； 求 一 个 函 数 相 应 于 闭 区 间 的 一个 带 标 志 点 分 划 的 黎 曼 和 关 于 这 个 分 划 的 参 数 趋 于 零 时 的 极 限 ， 叫 做这 个 函 数 在 这 个 闭 区 间 上 的 定 积 分 。
2、不 定 积 分 （ Indefinite integral） ： 即 已 知 导 数 求 原 函 数 。 若F （ x)=f(x)， 那 么 F(x)+C =f(x).(C R).也 就 是 说 ， 把 f(x)积 分 ，不 一 定 能 得 到 F(x） ， 因 为 F(x)+C 的 导 数 也 是 f(x） （ C 是 任 意 常 数 ）。 所 以 f(x） 积 分 的 结 果 有 无 数 个 ， 是 不 确 定 的 。 我 们 一 律 用 F(x)+C代 替 ， 这 就 称 为 不 定 积 分 。 即 如 果 一 个 导 数 有 原 函 数 ， 那 么 它 就 有 无 限多 个 原 函 数
3、 。 定 积 分 （ definite integral） ： 定 积 分 就 是 求 函 数 f(x） 在 区 间a,b中 图 线 下 包 围 的 面 积 。 即 由 y=0,x=a,x=b,y=f(x） 所 围 成 图 形 的面 积 。 这 个 图 形 称 为 曲 边 梯 形 ， 特 例 是 曲 边 三 角 形 。 定 积 分 ： 设 函 数 f(x) 在 区 间 a,b上 连 续 ， 将 区 间 a,b分 成 n 个子 区 间 a,x0,(x0,x1,(x1,x2,(xi,b， 可 知 各 区 间 的 长 度 依 次 是 ： x1=X0-a， x2=X1-x0,， xi=b-xi.在 每
4、 个 子 区 间 （ xi-1,xi） 任取 一 点 i(i=1,2,n） ， 作 和 式 （ 见 右 下 图 ） ， 设 =max x1， x2,， xi(即 属 于 最 大 的 区 间 长 度 ） ， 则 当 0 时 ， 该 和 式 无限 接 近 于 某 个 常 数 ， 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 a,b的 定 积 分 ，记 为 （ 见 右 下 图 ） ： 其 中 ： a 叫 做 积 分 下 限 ， b 叫 做 积 分 上 限 ， 区 间 a， b叫 做 积 分 区间 ， 函 数 f(x) 叫 做 被 积 函 数 ， x 叫 做 积 分 变 量 ， f(x)dx
5、叫 做 被 积 式 ， 叫 做 积 分 号 。 之 所 以 称 其 为 定 积 分 ， 是 因 为 它 积 分 后 得 出 的 值 是 确定 的 ， 是 一 个 数 ， 而 不 是 一 个 函 数 。 黎 曼 积 分 :定 积 分 的 正 式 名 称 是 黎 曼 积 分 。 用 黎 曼 自 己 的 话 来 说 ， 就 是 把直 角 坐 标 系 上 的 函 数 的 图 象 用 平 行 于 y 轴 的 直 线 把 其 分 割 成 无 数 个矩 形 ， 然 后 把 某 个 区 间 a,b上 的 矩 形 累 加 起 来 ， 所 得 到 的 就 是 这 个函 数 的 图 象 在 区 间 a,b的 面 积
6、 。 实 际 上 ， 定 积 分 的 上 下 限 就 是 区 间的 两 个 端 点 a,b.我 们 可 以 看 到 ， 定 积 分 的 本 质 是 把 图 象 无 限 细 分 ， 再 累 加 起 来 ，而 积 分 的 本 质 是 求 一 个 函 数 的 原 函 数 。 它 们 看 起 来 没 有 任 何 的 联 系 ，那 么 为 什 么 定 积 分 要 写 成 积 分 的 形 式 呢 ？ 分 点 问 题 : 定 积 分 是 把 函 数 在 某 个 区 间 上 的 图 象 a,b分 成 n 份 ， 用 平 行于 y 轴 的 直 线 把 其 分 割 成 无 数 个 矩 形 ， 再 求 当 n +
7、时 所 有 这 些 矩 形面 积 的 和 。 习 惯 上 ， 我 们 用 等 差 级 数 分 点 ， 即 相 邻 两 端 点 的 间 距 x是 相 等 的 。 但 是 必 须 指 出 ， 即 使 x 不 相 等 ， 积 分 值 仍 然 相 同 。 我 们假 设 这 些 “矩 形 面 积 和 ”S=f(x1） x1+f(x2） x2+fx(n-1) x(n-1） ， 那 么 当 n + 时 ， x 的 最 大 值 趋 于 0， 所 以 所 有 的 x趋 于 0， 所 以 S 仍 然 趋 于 积 分 值 . 利 用 这 个 规 律 ， 在 我 们 了 解 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 之 前
8、， 我 们 便 可以 对 某 些 函 数 进 行 积 分 。 例 如 我 们 可 以 证 明 对 于 函 数 f(x)=xk（ k Q， k -1） ， 有 =(b(k+1)-a(k+1)/(k+1) )。 dxfba)我 们 选 择 等 比 级 数 来 分 点 ， 令 公 比 q= ， 则nbb/a=qn， b=aqn。 令 分 点 x0=a,x1=aq,x2=aq2xn=aqn=b，因 为 f(xj)=xjk=ak*qjk， 且 xj=x(j+1)-xj=aq(j+1)-aqj 那么 举 行 的 面 积 和 ”Sn=ak*(aq-a)+ak*qk*(aq2-aq)+ak*q2k*(aq3-
9、aq2)+ak*q(n-1)k*aqn-aqn-1) 提 出 ak*(aq-a） ， 则 Sn=a(k+1)*(q-1)*1+q(k+1)+q2(k+1)+q(n-1)(k+1) 利 用 等 比 级 数 公 式 ， 得 到 Sn=(q-1)/(q(k+1)-1)*(b(k+1)-a(k+1)=(b(k+1)-a(k+1)/N 其 中 N=(q(k+1)-1)/(q-1） ， 设 k=u/v(u,v Z） ， 令 q(1/v)=s， 则 N=(s(k+1)v-1)/(sv-1)=(su+v-1)/(sv-1)=(s(u+v)-1)/(s-1)/(sv-1)/(s-1) 令 n 增 加 ， 则 s
10、,q 都 趋 于 1， 因 而 N 的 极 限 为 （ u+v)/v=u/v+1=k+1. 于 是 =(b(k+1)-a(k+1)/(k+1) ） 。 dxfba)性 质 ： ： 常 数 可 以 提 到 积 分 号 前 。 ： 代 数 和 的 积 分 等 于 积 分 的 代 数 和 。 ： 定 积 分 的 可 加 性 ： 如 果 积 分 区 间 a,b被 c 分 为 两 个 子 区 间 a,c与 （ c,b则 有 （ 见 右 图 ） 微 积 分 基 本 定 理 ： 定 积 分 与 不 定 积 分 看 起 来 风 马 牛 不 相 及 ， 但 是 由 于 一个 数 学 上 重 要 的 理 论 的
11、支 撑 ， 使 得 它 们 有 了 本 质 的 密 切 关 系 。 把 一 个 图 形 无限 细 分 再 累 加 ， 这 似 乎 是 不 可 能 的 事 情 ， 但 是 由 于 这 个 理 论 ， 可 以 转 化 为 计算 积 分 。 这 个 重 要 理 论 就 是 大 名 鼎 鼎 的 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 ， 它 的 内 容 是 ： 如 果 f(x)是 a,b上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有 F （ x)=f(x） ， 那 么 dxfba)(=F(b)-F(a) 用 文 字 表 述 为 ： 一 个 定 积 分 式 的 值 ， 就 是 上 限 在 原 函 数 的 值 与下 限
12、 在 原 函 数 的 值 的 差 。 正 因 为 这 个 理 论 ， 揭 示 了 积 分 与 黎 曼 积 分 本 质 的 联 系 ， 可 见 其 在 微 积分 学 以 至 更 高 等 的 数 学 上 的 重 要 地 位 ， 因 此 ， 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 也 被 称 作微 积 分 基 本 定 理 。 应 用1， 解 决 求 曲 边 图 形 的 面 积 问 题 例 ： 求 由 抛 物 线 y2=4x 与 直 线 y=2x-4 围 成 的 平 面 图 形 D 的 面 积 S. 2， 求 变 速 直 线 运 动 的 路 程 做 变 速 直 线 运 动 的 物 体 经 过 的 路 程 s
13、， 等 于 其 速 度 函 数 v=v(t) (v(t） 0） 在 时 间 区 间 a,b上 的 定 积 分 。 3， 变 力 做 功 某 物 体 在 变 力 F=F(x） 的 作 用 下 ， 在 位 移 区 间 a,b上 做 的 功 等 于F=F(x） 在 a,b上 的 定 积 分 。 （ 见 图 册 “应 用 ”）定 积 分 定 理定 理 1： 设 f(x） 在 区 间 a,b上 连 续 ， 则 f(x） 在 a,b上 可 积 。 定 理 2： 设 f(x） 在 区 间 a,b上 有 界 ， 且 只 有 有 限 个 间 断 点 ， 则f(x） 在 a,b上 可 积 。（2）最小二乘优化Ma
14、tlab 中的 lsqcurvefit 函数：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最 小 二 乘 法 原 理在 我 们 研 究 两 个 变 量 （ x,y） 之 间 的 相 互 关 系 时 ， 通 常 可 以 得 到 一 系 列成 对 的 数 据 （ x1,y1.x2,y2. xm,ym） ； 将 这 些 数 据 描 绘 在 x -y 直 角 坐 标
15、系 中 ，若 发 现 这 些 点 在 一 条 直 线 附 近 ， 可 以 令 这 条 直 线 方 程 如 （ 式 1-1） 。 Yj= a0 + a1 X （ 式 1-1) 其 中 ： a0、 a1 是 任 意 实 数 为 建 立 这 直 线 方 程 就 要 确 定 a0 和 a1， 应 用 最 小 二 乘 法 原 理 ， 将 实测 值 Yi 与 利 用 （ 式 1-1） 计 算 值 （ Yj=a0+a1X） 的 离 差 （ Yi-Yj） 的 平 方 和 （ Yi Yj） 2） 最 小 为 “优 化 判 据 ”。 令 ： =（ Yi - Yj 2 （ 式 1-2) 把 （ 式 1-1） 代 入
16、 （ 式 1-2） 中 得 ： = （ Yi - a0 - a1 Xi)2 （ 式 1-3) 当 （ Yi-Yj） 平 方 最 小 时 ， 可 用 函 数 对 a0、 a1 求 偏 导 数 ， 令 这 两个 偏 导 数 等 于 零 。 亦 即 ： m a0 + （ Xi ) a1 = Yi （ 式 1-6) （ Xi ) a0 + （ Xi2 ) a1 = （ Xi,Yi) （ 式 1-7) 得 到 的 两 个 关 于 a0、 a1 为 未 知 数 的 两 个 方 程 组 ， 解 这 两 个 方 程 组 得 出 ：a0 = （ Yi) / m - a1（ Xi) / m （ 式 1-8) a1
17、 = mXi Yi - （ Xi Yi) / mXi2 - （ Xi)2 ) （ 式 1-9) 这 时 把 a0、 a1 代 入 （ 式 1-1） 中 ， 此 时 的 (式 1-1） 就 是 我 们 回 归 的 元线 性 方 程 即 ： 数 学 模 型 。 在 回 归 过 程 中 ， 回 归 的 关 联 式 是 不 可 能 全 部 通 过 每 个 回 归 数 据 点（ x1,y1. x2,y2.xm,ym） ， 为 了 判 断 关 联 式 的 好 坏 ， 可 借 助 相 关 系 数 “R”，统 计 量 “F”， 剩 余 标 准 偏 差 “S”进 行 判 断 ； “R”越 趋 近 于 1 越 好
18、 ； “F”的 绝 对值 越 大 越 好 ； “S”越 趋 近 于 0 越 好 。R = XiYi- m（ Xi / m） （ Yi / m)/ SQRXi2 - m （ Xi / m)2Yi2-m（ Yi / m)2 （ 式 1-10) * 在 （ 式 1-1） 中 ， m 为 样 本 容 量 ， 即 实 验 次 数 ； Xi、 Yi 分 别 任 意 一 组实 验 X、 Y 的 数 值 。 最 小 二 乘 法 公 式最 小 二 乘 法 公 式 注 ： 以 下 “平 ”是 指 某 参 数 的 算 数 平 均 值 。 如 ： X 平 x 的 算 术 平 均 值 。 1、 （ X-X 平 ） （
19、Y-Y 平 ） = （ XY-X 平 Y-XY 平 +X 平 Y 平 ） = XY-X 平 Y-Y 平 X+nX 平 Y 平 = XY-nX 平 Y 平 -nX 平 Y 平 +nX 平 Y 平 =XY-nX 平 Y 平 ； 2、 （ X -X 平 ） 2= （ X2-2XX 平 +X 平 2)= X2-2nX 平 2+nX 平 2=X2-nX 平 2； 3、 Y=kX+b k=（ （ XY） 平 -X 平 *Y 平 ） /（ （ X2） 平 -(X 平 ） 2） ， b=Y 平 -kX 平 ； X 平 =1/nXi， (XY）平 =1/nXiYi； 最 小 二 乘 法 拟 合对 给 定 数 据
20、 点 (Xi， Yi)(i=0,1， ， m） ， 在 取 定 的 函 数 类 中 ， 求p(x） ， 使 误 差 的 平 方 和 E2 最 小 ， E2=p(Xi)-Yi2。 从 几 何 意 义 上讲 ， 就 是 寻 求 与 给 定 点 (Xi， Yi)(i=0,1， ， m） 的 距 离 平 方 和 为 最 小 的曲 线 y=p(x） 。 函 数 p(x） 称 为 拟 合 函 数 或 最 小 二 乘 解 ， 求 拟 合 函 数 p(x） 的方 法 称 为 曲 线 拟 合 的 最 小 二 乘 法 。 最 小 二 乘 法 的 矩 阵 形 式Ax=b， 其 中 A 为 n*k 的 矩 阵 ， x
21、 为 k*1 的 列 向 量 ， b 为 n*1 的 列 向 量 。如 果 nk（ 方 程 的 个 数 大 于 未 知 量 的 个 数 ） ， 这 个 方 程 系 统 称 为 Over Determined System， 如 果 nxdata = 3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;ydata = 16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3;x0 = 10, 10, 10; %初始估计值x,resnorm = lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata)结果为：O
22、ptimization terminated successfully:Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFunx =0.2269 0.3385 0.3021resnorm =6.29503.非线性最小二乘非线性最小二乘（非线性数据拟合）的标准形式为其中：L 为常数在 MATLAB5.x 中，用函数 leastsq 解决这类问题，在 6.0 版中使用函数 lsqnonlin。设则目标函数可表达为其中：x 为向量，F(x)为函数向量。函数 lsqnonlin格式 x = lsqnonlin(fun,x0) %x0 为
23、初始解向量；fun 为 ，i=1,2,m，fun返回向量值 F，而不是平方和值，平方和隐含在算法中，fun 的定义与前面相同。 x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub) %lb、ub 定义 x 的下界和上界： 。x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %options 为指定优化参数，若 x 没 有界，则 lb= ，ub= 。x,resnorm = lsqnonlin() % resnorm=sum(fun(x).2)，即解 x 处目标 函数值。x,resnorm,residual = lsqnonlin() % residual=fun(x)，即
24、解 x 处 fun 的值。x,resnorm,residual,exitflag = lsqnonlin() %exitflag 为终止迭代条件。x,resnorm,residual,exitflag,output = lsqnonlin() %output 输出优化信息。x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda = lsqnonlin() %lambda为 Lagrage 乘子。x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian =lsqnonlin()%fun 在解 x 处的 Jacobian 矩阵。例 5-17 求下面非线性最小二乘问题 初始解向量为 x0=0.3, 0.4。解：先建立函数文件，并保存为 myfun.m，由于 lsqnonlin 中的 fun 为向量形
