1、1导数与微分在高三物理复习中的应用湖北宜昌市田家炳中学 443001 齐克军高中数学新教材已将“导数与微分”作为高三数学教学内容，这一改革对物理教师来说，是一件如鱼儿得水的快事！在高三物理复习中，恰当运用导数与微分这一数学工具，可以简化分析过程，提升思维层次，深化对物理问题的理解；同时，可以让学生深刻体念数学在物理中的价值，培养学生善于运用数学知识解决物理问题的能力笔者结合近几年高三复习备考的尝试，谈谈导数与微分在高三物理复习中的应用一、理解物理概念瞬时速度是一个不好理解的概念，高一物理教材在“怎样理解瞬时速度”的阅读材料中举例：汽车经过 A 点时，从 A 点起取足够小的位移或足够短的时间，所
2、得的平均速度就等于汽车经过 A 点的瞬时速度高三复习时，可以将这种表述简化为数学式：，即质点经过某点的瞬时速度等于位移对时间在该点dtsvtt0lim的导数类似地，质点经过某点的加速度等于速度对时间在该点的导数我们还可以用匀变速直线运动的公式 、201atvs来验证atvt0电阻虽然是一个简单的物理概念，但仍然存在理解上的误区如有的同学在研究小灯泡伏安特性曲线实验中认为：I-U图线切线斜率的变化反映电阻的变化，甚至I图 1UAB2认为 I-U 图线切线斜率的倒数就等于电阻结合小灯泡伏安特性曲线（图 1）来看，从 A 到B，切线斜率减小，电阻增大，这种理解似乎没错，但换一种情形，这种理解的错误就
3、会显露出来如图 2，从 A 到 B，切线斜率减小，即 B 点切线斜率斜率的倒数较大，但 B 点对应的电阻较小从导数的知识可知，I-U 图线切线斜率 k 等于 I 对 U 的导数，即 ， ，上述错误在于把电阻的定义式 换成dUIkI1 R了 ，而一般情况下， ，只有对金属导体这类线性元件IRdIU（伏安特性曲线是过原点的直线） ，才有 dIR再如，感应电动势的计算公式 ，高中物理中一般只涉及tE两种情况：当 S 不变时， ；当 B 不变时， 但高三tStSBE复习中，有学生问“当 B 和 S 都变时，怎样求 E 呢？” ，如果我们回答“这种情况高考不考” ，学生是不会满意的，如果将此公式写成，同
4、时将 代入得 ，然后分三种情况讨论，dtEdtSBtE既开阔了学生的眼界，又培养了学生的兴趣二、认识物理规律LC 回路电磁振荡规律中，电容器放电时，极板间电压减小，放电电流增大，到放电完毕瞬间，极板间电压为零，放电电流达到最大学生总是受欧姆定律 的干扰，产生疑问：电压为零时，电Rui流怎么会最大呢？高二上新课时，我们除了强调学生不要用欧姆定律研究 LC 回路之外，只能从电能、磁能转化和守恒的角度作定性IU图 2BA3的分析说明高三复习时，我们可以借助导数和微分的知识，轻松地突破这一难点：放电时，电容器极板上电荷 q 的减少量等于导线中流过的电量，由电流的定义式可得 dti再结合电容的定义式 得
5、uCdtuiLC 回路中电容器周期性充放电，极板间电压可表示为 tUumcos则 tCiin由此可知， 时，i 取最大值0u绳拉物体运动的分解也是一个教学难点如图 3，小车拉绳的速度 v1和木块前进的速度 v2，哪个当分速度，哪个当合速度，二者关系如何，学生不易弄清，借用导数知识很容易解决：由图可知， 22lhx两边对时间求导得： dtlx由于 、 、dtlv1tv2lcos故 cos2三、求解物理问题高中物理中，经常遇到一些研究变化趋势、快慢和极值的问题，这类问题通常可以用数学变换（如化为繁分数、配成完全平方式）和数学重要不等式等方法解决，但有时用这些方法显得很麻烦，甚至解不出来，而用导数和
6、微分的方法却很简洁实际上，导数和微分是解决这类问题的一般方法图 3hxlv1+v2+4例一：如图 4 所示，某人站在离河北岸 20m 的 A 处，看到河下游 70m 离河南岸10m 的 B 处发生险情，此人马上快速跑到河边，再以跑步 的速度过河跑到出事点进43行抢险已知河宽为 40m，且河水不流动，此人跑步的速度为 8m/s，问此人到达出事点的最短时间是多少？为便于研究，先将河道向南平移 10m，使陆地上的两段运动连在一起，这样将问题情景转化成人离北岸 30m，出事点在南岸边上，如图 5 所示为了求出最短时间，我们先把人沿任意路线（图 5 中的 A-E-B）运动的时间表示出来：设 EF=x，则
7、 xED706822BFAt 即 ( )70(430222xxt 70x根据上述表达式，求最短时间，就是求上式中 t 的最小值为此，令 t 对 x 的导数等于零，即 0)7(406308222 xt解得 x=40m，代入 t 的表达式得t=14.6s这就是最短时间 （注：本题借用光学中的费马定理也可以很简洁求解）AB北岸南岸河图4q3q1 q2图 6河图 5EDAB北岸南岸F5例二：如图 6 所示，三个点电荷位于等边三角形的三个顶点，和 为正电荷， 为负电荷，电量均为 ，现将 和 固定， 由1q23qq12q3静止释放，试定性讨论 的速度和加速度变化情况 （不考虑重力）q3受电场力的合力沿 和
8、 连线的中垂线， 由静止释放后1q23q沿中垂线做直线运动，为弄清加速度的变化情况，先要弄清中垂线上电场强度的变化情况根据 和 连线中点 O 处和无限远处场强12均为零可推知，中垂线上电场强度不是单调递增或递减，一定存在极值点，我们需要把极值点求出来如图 7，设 和 连线长为 2a，则中垂线上1q2任意一点 P 处场强为：222cosinsicoakakE求 E 对 的导数得： cosin2cos23akq令 得： （负值对应 P 在 O 点下方） 0i由于 ，故电场强度最大值在 初位置下60sin23sin 3q方由此可知， 由静止释放后沿中垂线先做加速度增大的加速运3q动，再做加速度减小的加速运动，到达 和 连线中点 O 时加速度1q2为零，速度最大，然后做加速度增大的减速运动，再做加速度减小的减速运动，到达初位置的对称点时，速度减为零，开始向上返回，图 71q2qOPE5此后，按照类似的规律往复运动
