1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的 . 1.(5 分 )已知复数 z 的共轭复数 (i 为虚数单位 )，则 z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析 ： 因为复数 z 的共轭复数 ，所以 z=1-2i，对应的点的坐标为 (1， -2).z 在复平面内对应的点位于第四象限 . 答案： D. 2.(5 分 )已知集合 A=1， a， B=1， 2， 3，则 “a=3” 是 “A B“ 的 ( ) A.
2、 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 当 a=3 时， A=1， 3所以 A B，即 a=3 能推出 A B； 反之当 A B 时，所以 a=3 或 a=2，所以 A B 成立，推不出 a=3 故 “a=3” 是 “A B” 的充分不必要条件 答案： A. 3.(5 分 )双曲线 的顶点到渐近线的距离等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由对称性可取双曲线 的顶点 (2， 0)，渐近线 ， 则顶点到渐近线的距离 d= . 答案： C. 4.(5 分 )某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组
3、： 40，50)， 50， 60)， 60， 70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 .已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 ( ) A. 588 B. 480 C. 450 D. 120 解析 ： 根据频率分布直方图， 成绩不低于 60(分 )的频率为 1-10(0.005+0.015)=0.8. 由于该校高一年级共有学生 600 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于 60(分 )的人数为 6000.8=480 人 . 答案： B. 5.(5 分 )满足
4、a， b -1， 0， 1， 2，且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对的个数为 ( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 解析 ： (1)当 a=0 时，方程为 2x+b=0，此时一定有解； 此时 b=-1， 0， 1， 2；即 (0， -1)， (0， 0)， (0， 1)， (0， 2)；四种 . (2)当 a0 时，方程为一元二次方程， =b 2-4ac=4-4ab0 ， ab1. 所以 a=-1， 1， 2 此时 a， b 的对数为 (-1， 0)， (-1， 2)， (-1， -1)， (-1， 1)， (1，-1)， (1， 0)， (1， 1
5、)； (2， -1)， (2， 0)，共 9 种，关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对的个数为 13 种， 答案： B. 6.(5 分 )阅读如图所示的程序框图，若输入的 k=10，则该算法的功能是 ( ) A. 计算数列 2n-1的前 10 项和 B. 计算数列 2n-1的前 9 项和 C. 计算数列 2n-1的前 10 项和 D. 计算数列 2n-1的前 9 项和 解析 ： 框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值， S=0， i=1； 判断 i 10 不成立，执行 S=1+20=1 ， i=1+1=2； 判断 i 10 不成立，执行 S=1+21=1+2 ， i
6、=2+1=3； 判断 i 10 不成立，执行 S=1+2(1+2)=1+2+2 2， i=3+1=4； 判断 i 10 不成立，执行 S=1+2+22+2 9， i=10+1=11； 判断 i 10 成立，输出 S=1+2+22+2 9. 算法结束 . 故则该算法的功能是计算数 列 2n-1的前 10 项和 . 答案： A. 7.(5 分 )在四边形 ABCD 中， =(1， 2)， =(-4， 2)，则该四边形的面积为 ( ) A. B. C. 5 D. 10 解析 ： 因为在四边形 ABCD 中， ， ， =0， 所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，又 ， ，该四边形的面积： = =5
7、. 答案： C. 8.(5 分 )设函数 f(x)的定义域为 R， x0(x00 )是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A. x R， f(x)f(x 0) B. -x0是 f(-x)的极小值点 C. -x0是 -f(x)的极小值点 D. -x0是 -f(-x)的极小值点 解析 ： 对于 A 项， x0(x00) 是 f(x)的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大； 对于 B 项， f(-x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称，因此， -x0是 f(-x)的极大值点； 对于 C 项， -f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称，因此， x0是 -f
8、(x)的极小值点； 对于 D 项， -f(-x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、 y 轴做对称，因此 -x0是 -f(-x)的极小值点 . 答案： D. 9.(5 分 )已知等比数列 an的公比为 q，记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+a m(n-1)+m，cn=am(n-1)+1 am(n-1)+2 am(n-1)+m， (m， n N*)，则以下结论一定正确的是 ( ) A. 数列 bn为等差数列，公差为 qm B. 数列 bn为等比数列，公比为 q2m C. 数列 cn为等比数列，公比为 D. 数列 cn为等比数列，公比为 解析 ： ，当 q=1 时， bn=mam
9、(n-1)， bn+1=mam(n-1)+m=mam(n-1)=bn，此时是常数列，选项 A 不正确，选项 B 正确； 当 q1 时， ， =，此时 ，选项 B 不正确， 又 bn+1-bn= ，不是常数， 答案： 项 A 不正确， 等比数列 an的公比为 q， ， = ， = = = ，故 C 正确 D 不正确 . 综上可知：只有 C 正确 . 答案： C. 10.(5 分 )设 S， T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足：(i)T=f(x)|x S； (ii)对任意 x1， x2 S，当 x1 x2时，恒有 f(x1) f(x2)，那么称这两个集
10、合 “ 保序同构 ” ，以下集合对不是 “ 保序同构 ” 的是 ( ) A. A=N*， B=N B. A=x|-1x3 ， B=x|x=-8 或 0 x10 C. A=x|0 x 1， B=R D. A=Z， B=Q 解析 ： 对于 A=N*， B=N，存在函数 f(x)=x-1， x N*，满足： (i)B=f(x)|x A； (ii)对任意x1， x2 A，当 x1 x2时，恒有 f(x1) f(x2)，所以选项 A 是 “ 保序同构 ” ； 对于 A=x|-1x3 ， B=x|x=-8或 0 x10 ，存在函数 ，满足： (i)B=f(x)|x A； (ii)对任意 x1， x2 A，
11、当 x1 x2时，恒有 f(x1) f(x2)，所以选项 B是 “ 保序同构 ” ； 对于 A=x|0 x 1， B=R，存在函数 ， 0 x 1，满足： (i)B=f(x)|x A；(ii)对任意 x1， x2 A，当 x1 x2时，恒有 f(x1) f(x2)，所以选项 C 是 “ 保序同构 ” ； 前三个选项中的集合对是 “ 保序同构 ” ，由排除法可知，不是 “ 保序同构 ” 的只有 D. 答案： D. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4分，共 20分 . 11.(4 分 )利用计算机产生 0 1 之间的均匀随机数 a，则事件 “3a -1 0” 发生的概率为 . 解析 ： 3
12、a-1 0 即 a ，则事件 “3a -1 0” 发生的概率为 P= = . 答案： . 12.(4 分 )已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 . 解析 ： 由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为 2， 球的直径就是正方体的体对角线的长，所以 2r= ， r= ，所以球的表面积为：4r 2=12. 答案： 12. 13.(4 分 )如图，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， ADAC ， sinBAC= ， AB=3 ， AD=3，则 BD 的长为 . 解析 ： ADAC
13、 ， DAC=90 ， BAC=BAD+DAC=BAD+90 ， sinBAC=sin(BAD+90)=cosBAD= ， 在 ABD 中， AB=3 ， AD=3，根据余弦定理得： BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=18+9 -24=3，则 BD= . 答案： 14.(4 分 )椭圆 ： =1(a b 0)的左右焦点分别为 F1， F2，焦距为 2c，若直线 y=与椭圆 的一个交点 M 满足 MF 1F2=2MF 2F1，则该椭圆的离心率等于 . 解析 ： 如图所示， 由直线 可知倾斜角 与斜率 有关系 =tan ， =60. 又椭圆 的一个交点满足 MF 1F2=2MF 2F
14、1， ， . 设 |MF2|=m， |MF1|=n，则 ，解得 . 该椭圆的离心率 e=. 答案： . 15.(4 分 )当 x R， |x| 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+x n+= 两边同时积分得： dx+ xdx+ x2dx+ xndx+= dx 从而得到如下等式： 1 + ( )2+ ( )3+ ( )n+1+=ln2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： + ( )2+ ( )3+ ( )n+1= . 解析 ： 二项式定理得 Cn0+Cn1x+Cn2x2+C nnxn=(1+x)n， 对 Cn0+Cn1x+Cn2x2+C nnxn=(1+x)n 两边同时积分得：从而得到
15、如下等式：= 答案： . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(13 分 )某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分 .每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品 . (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 x，求 x3 的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 解析 ： (1)记
16、“ 他们的累计得分 X3” 的事事件为 A，则事件 A 的对立事件是 “X=5” ，由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分 x3 的概率 . (2)设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为 X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2).根据题意知 X1 B(2， )， X2 B(2， )，利用贝努利概率的期望公式计算即可得出 E(2X1)
17、E(3X2)，从而得出答案 . 答案： (1)由题意知，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人抽奖中奖与否互不影响， 记 “ 他们的累计得分 X3” 的事件为 A，则事件 A 的对立事件是 “X=5” ， 因为 P(X=5)= ， P(A)=1 -P(X=5)= ；即他们的累计得分 x3 的概率为 . (2)设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为 X1， 小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)， 都 选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)， 由已知可得， X1 B(2， )， X2 B(2， )， E(X
18、 1)=2 = ， E(X2)=2 = ， 从而 E(2X1)=2E(X1)= ， E(3X2)=3E(X2)= ， 由于 E(2X1) E(3X2)， 他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大 . 17.(13 分 )已知函数 f(x)=x-alnx(a R) (1)当 a=2 时，求曲线 y=f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值 . 解析 ： (1)把 a=2 代入原函数解析式中，求出函数在 x=1 时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程； (2)求出函数的导函数，由导函数可知，当 a0 时， f(x) 0，函数在定义域 (0， +) 上单
19、调递增，函数无极值，当 a 0 时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值 . 答案： 函数 f(x)的定义域为 (0， +) ， . (1)当 a=2 时， f(x)=x-2lnx， ，因而 f(1)=1， f(1)= -1， 所以曲线 y=f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1)，即 x+y-2=0 (2)由 ， x 0 知： 当 a0 时， f(x) 0，函数 f(x)为 (0， +) 上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a 0 时，由 f(x)=0 ，解得 x=a. 又当 x (0， a)时， f(x) 0，当 x
20、 (a， +) 时， f(x) 0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值，且极小值为 f(a)=a-alna，无极大值 . 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a 0 时，函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-alna，无极大值 . 18.(13 分 )如图，在正方形 OABC 中， O 为坐标原 点，点 A 的坐标为 (10， 0)，点 C的坐标为(0， 10)，分别将线段 OA和 AB 十等分，分点分别记为 A1， A2， ， A9和 B1， B2， ， B9，连接 OBi，过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi，交于点 . (1)求证：点 都在同一条抛物线上，并求抛
21、物线 E 的方程； (2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M， N，若 OCM 与 OCN 的面积之比为 4： 1，求直线 l 的方程 . 解析 ： (I)由题意，求出过 且与 x 轴垂直的直线方程为 x=i， Bi的坐标为 (10， i)，即可得到直线 OBi的方程为 .联立方程 ，即可得到 Pi满足的方程； (II)由题意，设直线 l 的方程为 y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式 SOCM =SOCN ，可得 |x1|=4|x2|.即 x1=-4x2.联立即可得到 k，进而得到直线方程 . 答案： (I)由题意，过 且
22、与 x 轴垂直的直线方程为 x=i， Bi的坐标为 (10， i)， 直线 OBi的方程为 . 设 Pi(x， y)，由 ，解得 ，即 x2=10y. 点 都在同一条抛物线上，抛物线 E 的方程为 x2=10y. (II)由题意，设直线 l 的方程为 y=kx+10，联立 消去 y 得到 x2-10kx-100=0， 此时 0，直线与抛物线恒有两个不同的交点， 设为 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1+x2=10k， x1x2=-100， S OCM =4SOCN ， |x 1|=4|x2|.x 1=-4x2.联立 ，解得 . 直线 l 的方程为 .即为 3x+2y-20=0
23、或 3x-2y+20=0. 19.(13 分 )如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 AA1 底面 ABCD， ABDC ， AA1=1， AB=3k，AD=4k， BC=5k， DC=6k， (k 0) (1)求证： CD 平面 ADD1A1 (2)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值 (3)现将与四棱柱 ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f(k)，写出 f(k)的解析式
24、.(直接写出答案，不必说明理由 ) 解析 ： (1)取 DC 得中点 E，连接 BE，可证明四边形 ABED 是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得 BECD ，即 CDAD ，又侧棱 AA1 底面 ABCD，可得 AA1DC ，利用线面垂直的判定定理即可证明 .(2)通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出； (3)由题意可与左右平面 ADD1A1， BCC1B1，上或下面 ABCD， A1B1C1D1拼接得到方案 新四棱柱共有此 4 种不同方案 .写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出 f(k). 答案： (1)取 DC 的中点 E，连接 BE， ABED
25、 ， AB=ED=3k， 四边形 ABED 是平行四边形， BEAD ，且 BE=AD=4k， BE 2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2， BEC=90 ， BECD ， 又 BEAD ， CDAD. 侧棱 AA1 底面 ABCD， AA 1CD ， AA 1AD=A ， CD 平面 ADD1A1. (2)以 D 为坐标原点， 、 、 的方向为 x， y， z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 A(4k， 0， 0)， C(0， 6k， 0)， B1(4k， 3k， 1)， A1(4k， 0， 1). ， ， . 设平面 AB1C 的一个法向量为 =(x， y， z)，则 ，取 y=2，则 z=-6k，x=3. .
