1、函数应用题专题1. 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为 12m，抛物线拱高为 5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式（2）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5m，高 1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？解：（1）设抛物线的表达式为 2yax点 (65.)B， 在抛物线的图象上 3a抛物线的表达式为 2745yx（2）设窗户上边所在直线交抛物线于 C、D 两点，D
2、 点坐标为（k，t）已知窗户高 1.6m， .6(1.)4t2745k12.0.7 ， （舍去） 14CD （m ）又设最多可安装 n 扇窗户 .58()0. .06n 74a2. 某跳水运动员进行 10 米跳台训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中表示的数据为已知条件).在某个规定动作时,正常情况下运动员在空中的最高处距离水面 10 米.入水处距离池边的距离为 4 米.运动员在距离水32面高度为 5 米以前必须完成规定的翻腾动作并调整入水姿势,否则就会出现失误(1)求这条抛物线的解析式(2)某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛
3、物线,且运动员在空中调整好入水姿势时, 距离池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由5解(1) ;(2)失误.xy3106253. 在斜坡 A 处立一旗杆 AB(旗杆与水平面垂直),一小球从斜坡 O 点抛出(如图所示),小球擦旗杆顶 B 而过,落地时撞击斜坡的落点 C,已知 A 点与 O 点的距离(二分之根号五),旗杆 AB高为 3 米,C 点的垂直高度为 3.5 米,C 点与 O 点的水平距离为 7 米,以 O 为坐标原点,水平方向与竖直方向分别为 X 轴,Y 轴,建立直角坐标系.(1)求小球经过的抛物线的解析式(小球的直径忽略不计)(2)H 为小球所能达到的最高点
4、,求 OH 与水平线 Ox 之间夹角的正切值.(3)解：（1）作 CDOX 于 D 点，HFOX 于 F，延长 BA 交 OX 于 E 点根据题意知 C（7，3.5） ， ，即 OE=2AE，又 OA=，根据勾股定理可得 AE=，OE=1，所以 BE=BA+AE=3.5，B 点坐标为 B（1，3.5） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c抛物线经过点 O（0，0） 、B（1，3.5） 、C（7，3.5） ，解得抛物线的解析式为 y=-x2+4x（2）y=-x2+4x=-（x2-8x）=-（x-4）2+8，所以顶点 H（4，8） ，tanHOF=24. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题
5、进行回顾反思，学习效果更好某一天小迪有 20 分钟时间可用于学习假设小迪用于解题的时间 x（单位：分钟）与学习收益量 y 的关系如图 1 所示，用于回顾反思的时间 x（单位：分钟）与学习收益 y 的关系如图 2 所示（其中 OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点） ，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间（1）求小迪解题的学习收益量 y 与用于解题的时间 x 之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量 y 与用于回顾反思的时间 x 的函数关系式；(1)（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 20 分钟的学习收益总量最大?解：（1）由图 1，设 y=kx当 x=1 时，
6、y=2，解得 k=2y=2x（0x20）（2）中的收益量 y 与反思时间 x 的函数关系必须分段：由图 2，当 0x4 时，设 y=a（x-4）2+16，由已知，当 x=0 时，y=00=16a+16，a=-1y=-（x-4）2+16 即 y=-x2+8x当 4x10 时，y=16因此，当 0x4 时，y=-（x-4）2+16；当 4x10 时，y=16（3）设小迪用于回顾反思的时间为 x（0x10）分钟，学习收益总量为 y，则她用于解题的时间为（20-x）分钟当 0x4 时，y=-x2+8x+2（20-x）=-（x-3）2+49明显，当 x=3 时，有最大值 49；当 4x10 时，y=16
7、+2（20-x）=56-2x，y 随 x 的增大而减小，因此当 x=4 时，有最大值 48综合以上，当 x=3 时，有最大值 49，此时 20-x=17即小迪用于回顾反思的时间为 3 分钟，用于解题的时间为 17 分钟时，学习的总收益量最大5. 如图，等腰梯形花圃 ABCD 的底边 AD 靠墙，另三边用长为 40 米的铁栏杆围成，设该花圃的腰 AB 的长为 x 米.(1)请求出底边 BC 的长（用含 x 的代数式表示） ；（2）若BAD=60, 该花圃的面积为 S 米 2.求 S 与 x 之间的函数关系式（要指出自变量 x 的取值范围） ，并求当 S= 39时 x 的值；如果墙长为 24 米，
8、试问 S 有最大值还是最小值？这个值是多少？解：（1）AB=CD=x 米，BC=40-AB-CD=（40-2x）(2)如图，过点 B、C 分别作 BEAD 于 E，CFAD 于 F，在 RtABE 中，AB=x,BAE=60AE= 21x,BE= 3x.同理 DF= 21x,CF= 3x 又 EF=BC=40-2xAD=AE+EF+DF= x+40-2x+ x=40-xS= (40-2x+40-x) 2x= 43x(80-3x)= 32043x (0x20)当 S=9时， 3204=9解得：x 1=6,x2= 3（舍去）.x=6由题意，得 40-x24,解得 x16，结合得 16x20由，S=
9、 042x= 340)(342xa= 30函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）.其对称轴为 x= 34，16 0,由左图可知，当 16x20 时，S 随 x 的增大而减小当 x=16 时，S 取得最大值，6. 如图，在一块正方形 ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形 EFCG 部分贴 A 型墙纸，ABE 部分贴 B 型墙纸，其余部分贴 C 型墙纸.A 型、 B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方 60 元、80 元、40 元.探究 1：如果木板边长为 2 米，FC1 米，则一块木板用墙纸的费用需 元；探究 2：如果木板边长为 1 米，求一块木板需用墙纸的最省费用；探究
10、 3：设木板的边长为 a（a 为整数） ，当正方形 EFCG 的边长为多少时？墙纸费用最省；如要用这样的多块木板贴一堵墙（73 平方米）进行装饰，要求每块木板 A 型的墙纸不超过 1 平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板 块.（1）220（2）设 CF=x，费用为 yy=20x220x+60 当 x= 21时，y 小 =55 元.（3）y=20x 220ax+60a2 当 x= a 时，费用最省 21 块 DEB ACOBCAEDDCOFE BA圆的证明与计算1.如图, O,AB 是O 的直径,点 D 在O 上,过点 C 的切线交 AD 的延长线于内 接 于ABC点 E,且 AECE,连
11、接 CD.(1)求证:DC=BC;(2)若 AB=5,AC 等于 4,求 tanDCE 的值.2.如图,已知直线 AB/CD,且 AB,CD 为O 的切线,切点分别为 A,B 两点,直线 BC 切O 于 E点.(1)求证:AB+CD=BC;(2)若O 的半径为 5,BC=13,求 tanAEB 的值.3.如图,ABC 是等腰,AB=AC, 以 AC 为直径的O 与 BC 交于点 D,DEAB,垂足为 E,ED的延长线与 AC 的延长线交于 F.(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若O 的半径为 2,BE=1,求 cosA 的值.DO ABCEFOBDCA E4.如图,O 的圆心在 RtABC
12、 的直角边 AC 上,O 经过 C、D 两点,与斜边 AB 交于点 E,连接 BO、ED,有 BOED,作弦 EFAC 于 G，连接 DF.(1)求证:AB 为O 的切线;(2)若O 的半径为 5, ,求 EF 的长. 53sinDFE5.如图,四边形 ABCD 内接于O,BD 是O 的直径,AECD,垂足为 E,DA 平分BDE.(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若DAE=30,AB= ,求O 的半径长.cm326. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，以 AB 为直径的O 交对角线 AC 于点 F，点 E在O 上（E，F 分别在直径 AB 的两侧） （1）求AEF 的度数；（2）若 AE7，求AFE 的正弦值； （3）求图中阴影部分的面积.FOED CBA
