1、一丶外接球半径：1.如上图，圆柱丶直三棱柱 A1B1C1-ABC 丶三棱锥 A1-ABC 丶四棱锥 A1- B1C1CB 的外接球都是同一个球，外接球半径均为：=2+(2)2其中：r 为圆 柱底面半径，h 为圆柱的高。同时，圆柱两底面分别为A 1B1C1和ABC 的外接圆，由此可得出如下结论 ：（1）圆柱的外接球半径为：=2+(2)2其中：r 为圆 柱底面半径，h 为圆柱的高。（2）直三棱柱 A1B1C1-ABC 的外接球半径为=2+(2)2其中：r 为三棱柱底面三角形外接圆半径，h 为棱柱的高。（3）有一条棱与底面垂直的三棱锥 A1-ABC 的外接球半径为：=2+(2)2其中：r 为棱 锥底
2、面三角形外接圆半径，h 为与底面 ABC 垂直的棱 A1A 的长A1 B1C1ABC度。（4）有一侧面与底面垂直（侧面 A1B1C1底面 B1C1CB）且底面为矩形的四棱锥 A1- B1C1CB 的外接球半径 为：=2+(2)2其中：r 为棱 锥中与底面垂直的侧面A 1B1C 外接圆的半径， h 为与侧面A1B1C1 垂直的矩形的边 BB1 的长度。注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即sin= sin= sin=2r其中，r 为三角形外接圆半径。2.正三棱锥：以棱长为 a 的正三棱锥外接球半径推 导为例：对于棱长为 a 的正三棱锥，其外接球如图:过 A 作 A O1底面 BCD，则 O1为
3、 BCD 的外接圆圆心，DE 为 BC 边中线，且三棱锥圆心 O 在 A O1上。在等边BCD 中，DE=32故 DO1=23=33在 RtAD O1 中，A O 1= 221=a2(33)2=63因 O 为球心，故 OD=OA=R由 DO12+OO12=DO2 可得：( 33a)2+( 63)2=2解得：R=64aABCDEOO13.正四棱锥：正四棱锥的外接球球心也在底面正方形对角线交点与顶点连线上，同正三棱锥外接球球心半径推导过程。可得：棱长为 a 的正四棱 锥，其外接球半径 为=22a注：棱长为 a 的正四棱 锥的高为 ，故正四棱锥的外接球球心即为底面正方22a形对角线交点。4.长方体：
4、长方体外接球的球心为其体对角线的中点对于长宽高分别为 a.b.c 的长方体，其外接球半径为：=a2+2+22特别地：对于正方体，其长宽高均为 a，故其外接球半径 为=32a注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立方程组求解。二丶内切球半径1. 正方体：正方体内切球球心位于其体对角线中点处，对于边长为 a 的正方体，其内切球半径=a22. 正三棱锥：正三棱锥内切球球心到各面距离均为 R（R 为内切球半径），故以内切球球心为顶点，各面为底面将其分成 4 个三棱锥。 （其中 3 个以侧面为底的三棱锥体积相同，当棱长均为 a 时，分成的 4 个三棱锥体积均相同）对于边长为 a
5、的正三棱 锥，各面均为边长为 a 的正三角形，内切球球心到各面距离均为 R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：134=13其中，S 为正三棱锥各面面 积， h 为正三棱锥的高且 h=63故 R=6123.正四棱锥：推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心为顶点，各面为底面将正四棱锥分成 4 个体积相等的三棱锥和一个四棱锥。 （其中 4 个以侧面为底的三棱锥体积相同）侧面面积为 1=122sin60=342底面面积为 2=a2故由体积不变得：1314+132=132其中，h 为正四棱锥的高，且 h=22故 =624 4.直三棱柱：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径 R 等于底面三角形内切 圆半径 r，又因 为内切球到上下底面距离相等且都为 R，故仅有 满足 h=2r 的直三棱柱有内切球，O其中，h 为直三棱柱的高。三角形内切圆半径求法如下：如图，设三角形三边长分别为 a.b.c，其内切圆圆心为 O，以 O 为顶点，3边为底边将其分成 3 个三角形，由于 O 点到三 边距离均为 r，故三个三角形的高均为 r，由面积 不变得：故12(+)= = 2(+)其中，S 为三角形面积 。5.圆柱：和直三棱柱类似，其内切球半径 R 等于底面半径 r，且仅有满足高 h=2r 的 圆柱有内切球。
