1、一元二次方程单元复习知识点及例题精讲知识点一：一元二次方程的概念 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式： ，它的特征是：等式左边)0(2acbxa加一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，a 叫2x做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。例 1、下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）、 、 、 、123x021x02cbx2x变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。32xk例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 0132mx。变式
2、：1、关于 的一元二次方程 中，求 的取值范围.2()6axa2、方程 的一般形式为 49523523xx。3、已知关于 的方程 ：20m（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。知识点二、一元二次方程的解法 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 例 1、已知方程 ，则代数式 _.2314x2183x例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值04aa为 。例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足 ，2cbxbc则此方程必有一根为 。例 4、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同
3、。022kx31x求 k 的值； 方程的另一个解。例 5、方程 的一个根为（ ）02acxbaA B 1 C D 1cba一元二次方程的解法 1、直接开平方法: ， 等形式max222nxx（1） （3） 、1628x ;091)(、 22169xx7、2、配方法: 在解题中，多不用配方法，但常利用配方思想求解代数式的值或极值，配方法强调将二次项前面的系数化为 1 再配方。例 1、(1) x2-2x-4=0 (2) （3）0272x0842例 2、试用配方法说明 的值恒大于 0。32x例 3、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值。7422yx例 4、已知 为实数，求 的值。、xyyx013
4、642 yx例 5、试证：不论 x 取何值时，多项式 的值总大于26-41-2x变式 1、试证明：不论 x 取何值时，多项式 的值总大于1-x24 4-243、公式法：化为一般形式,然后要计算判别式。例 1、 （1） （2） .863x 0142x（3） （4）042x523xx例 2、在实数范围内分解因式：（1） ； （2） . 3x1842x2254yx说明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般cbxa2情况要用求根公式，这种方法首先令 =0，求出两根，再写成 =2 cbxa2.)(21xa4、因式分解法： 1、提取公因式法 2、公式法 3、十字相乘法 4、换元法
5、例 1、(1) (2) (3) (3)x2()()x(4) （5） （6）0)21()(2xx22()5()60xx例 2、若 ，则 4x+y 的值为 。4342yy变式 1： 。22,06b、aba变式 2：若 ，则 x+y 的值为 。yx变式 3：若 ， ，则 x+y 的值为 。142 282x知识点三、一元二次方程根的判别式 一元二次方程 中，)0(2acbxaacb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 x012xk。例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m 的取值范围是( )2mxA. B. C. D.1
6、0、m011例 3、已知关于 x 的方程 022kx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长。 例 4、当 m 满足何条件时，方程 有两个不相等实根？有两个0192mxx相等实根？有实根？知识点四、一元二次方程根与系数的关系 （前提是 0） acb42如果方程 的两个实数根是 ，那么 ，)0(2acbxa 21x， bx21。cx21例 1. 设 是一元二次方程 的两个根，求下列各式的值：2, 052x（1） ； （2） （3） （4）)3(1x 221)1()( 12x|21x例 2、已知一个直角三角
7、形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三0782x角形的斜边是（ ）A. B.3 C.6 D.36例 3.若 ab1,且有 ，求 的值.052190215 baba例 4已知关于 的一元二次方程 x2(41)20xmx(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值12,12x知识点五.一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。例 1、5 个连续正整数，前 3 个数的平方和比后两个数的积小 1，这 5 个连续正整数分别是多少？例 2、有一人患了流感，经
8、过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例 3、为了绿化校园，某中学在 2007 年植树 400 棵，计划到 2009 年底使这三年的植树总数达到 1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。例 4、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳 1200 人,经调研,如果票价定为 30 元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加 1 元，售出的门票数就减少 30 张，如果想获得 36750 元的门票收入，票价应定为多少元？例 5、甲、乙两个城市间的铁路路程为 1600 公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加 20 公里/小时，列车从甲城到乙城行驶
9、时间减少 4 小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过 140 公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.例 6、如图，在宽为 20m ，长为 30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为 551。则道路的宽为?例 7、某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A kWh,那么这个月这户只需要交 10 元电费；如果超过 A kWh，则这个月除了仍要交 10元用电费外，超过部分还要按每度 元交费。10（1）该厂某户居民 2 月份用电 90 kWh，超过了规定的 A kWh，则超过部分应交电费多少元（用 A 的
10、代数式表示）。（2）下表是这户居民 3 月、4 月份用电情况和交费情况：月份 用电量/ kWh 交电费总数/元3 80 254 45 10根据上表的数据，计算电厂规定的 A kWh 是多少？课内练习1.把方程（x+3） （x-2）4 化成一般式后其二次项系数和常数项之和是 。2. 方程 的解是 1)(22x3. 如果关于 x 的方程 x2+kx+3=0,有一根为-1，则 k 的值为 4. .关于 x 的方程 x2-x+a(1-a)=0 有两个不相等的正根，则 a 可取值为 （只需填写一个可能的数值即可）5 已知关于 x 的方程 x2-2ax+a2-2a+2=0 的两个实数根 x1,x2满足 ,
11、则221xa 的值为 _6. 在实数范围内定义一种运算“ ”，其规则为 ,根据这个规则，方程)(ba的解为_.(2)50x7. 若一个三角形的三边长均满足方程 x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 8. 甲、乙两人同解一个一元二次方程，甲看错常数项，解得两根为 8 和 2，乙看错一次项系数，解得两根为-9 和-1，则这个方程是 9. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数x 01)1(2k根，则 的取值范围是。k10.某企业为节约用水，自建污水净化站，3 月份净化污水 3000 吨，5 月份增加到 3630 吨，则这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为 11、已知 ， 、 为实数，
12、且 ，则22130,30pqpq1pq=_。112、已知代数式 7x(x+5)+10 与代数式 9x-9 的值互为相反数，则 x= .13、如果 a 是一元二次方程 的一个根，a 是一元二次方程032mx的一根, 那么 a 的值是_032mx14、若方程（ab）x 2+（bc）x+（ca）=0 是关于 x 的一元二次方程，则必有（ ） Aa=b=c B一根为 1 C一根为1 D以上都不对15若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） 263xA3 或2 B3 C2 D3 或 216已知（x 2+y2+1） （x 2+y2+3）=8，则 x2+y2的值为（ ） A5 或 1 B1 C5 D5 或1
13、17已知方程 x2+px+q=0 的两个根分别是 2 和3，则 x2px+q 可分解为（ ） A （x+2） （x+3） B （x2） （x3）C （x2） （x+3） D （x+2） （x3）15已知 ， 是方程 x2+2006x+1=0 的两个根，则（1+2008+ 2）（1+2008+ 2）的值为（ ） A1 B2 C3 D416、若 是一个三角形的三边，且关于 的方程,abcx有两个相等实根，则这个三角形是（ ）22()(1)0xxA正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形17.一个三角形两边的长分别是 6 和 8，第三边的长正好是一元二次方程的2160x一个实数根，则该三角
14、形的面积是（ ）A.24 B.24 或 C.48 D.858518、解方程1、 2、 3、 )4(5)(2xx4)1(2 22)1()(xx4、(x+1)(x+3)=6x+4 5、2 （用配方法） 6、012x23x19、如果 x210x+y 216y+89=0，求 的值xy20、阅读下面的材料，回答问题：解方程 x45x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为 y25y+4=0 ，解得y1=1，y 2=4当 y=1 时，x 2=1，x=1；当 y=4 时，x 2=4，x=2；原方程有四个根：x 1=1，x 2=1，
15、x 3=2，x 4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用_法达到_的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x 2+x） 24（x 2+x）12=021、已知方程 有两个相等的实数根，求 值，并22(9)(34)0xkkk求出方程的根。22、设 a，b，c 是ABC 的三条边，关于 x 的方程 x2+ x+c a=0 有两个1b1相等的实数根，方程 3cx+2b=2a 的根为 x=0（1）试判断ABC 的形状（2）若 a，b 为方程 x2+mx3m=0 的两个根，求 m 的值23、已知 x1、x 2是一元二次方程 的两个实数根，且 x1、x 2031x2满足不等式 ，求实数 m 的取值范围
16、.0)(21x24、已知关于 x 的一元二次方程 有两个非零实数根.0142x（1）求 m 的取值范围；（2）两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的 m 的取值范围，若不能，请说明理由.25、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格某种药品经过两次连续降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？26、用 22 长的铁丝，折成一个面积是 30 2的矩形，求这个矩形的长和宽。又问：能否折成面积是 32 2的矩形呢？为什么？ 27某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 30 件，每件盈利 40元为了扩大销售，减少库存，商场决定
17、降价销售，经调查，每件降价 1 元时，平均每天可多卖出 2 件（1）若商场要求该服装部每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多28、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池,由于受地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过 16 米，已知池外围墙建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 300 元，池底建造单价为每平方米为 80 元（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为 47200 元时，求池长 x（2）如果总造价越低合算，那么根据题目提供的信息，以 47200 元为总造价来修建三级污水处理池是否合算？请说明理由。DCBAx
