1、第6章 解线性方程组的迭代法,直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适（neps) x1=x2; for(i=0;in;i+) x2i=0; for(j=0;ji;j+) x2i += Aij*x1j for(j=i+1;jn;j+) x2i += Aij*x1j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2,迭代矩阵,记,易知，Jacobi迭代有,收敛条件,迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps) for(i=0;in;i+) for(j=0;ji;j+) x2i += Aij*x2j for(j=i
2、+1;jn;j+) x2i += Aij*x2j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2,迭代矩阵,是否是原来的方程的解？,A=(D-L)-U,收敛条件,迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps) for(i=0;in;i+) temp-0 for(j=0;ji;j+) temp += Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+) temp += Aij*x2j temp = -(x2i-bi)/Aii x2i = (1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2,迭代矩阵,定理：,松弛迭代收敛,定理：,A对称正定，则松弛迭代收敛,是否是原来的方程的解？,SOR
3、方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使()达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.41.6.,定理 若SOR方法收敛, 则02.,证 设SOR方法收敛, 则()1,所以 |det()| =|12 n|1,而 det() =det(D-L)-1 (1-)D+U),=det(E-D-1L)-1 det(1-)E+D-1U),=(1-)n,于是 |1-|1, 或 02,定理 设A是对称正定矩阵, 则解方程组Ax=b的SOR方法,当00,(Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y),=-i,0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y) =-2,所以,当02时,有,(-+)2-(-)2= (2-)(2-) = (2-)(2-)0,所以|21, 因此()1,即S0R方法收敛.,可得 =2/,设是B的任一特征值, y是对应的特征向量, 则,(L+U)y=Dy,于是 (Ly,y)+(Uy,y)=(Dy,y),当A对称正定时,即2-0,而 (2D-A)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y) =+2,即,当A对称正定时,Jacobi迭代法收敛2D-A正定.,
