1、2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计131第五章 大数定理与中心极限定理考试内容切比雪夫（Chebyshev ）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗拉普拉斯（De MoivreLaplace）定理 列维林德伯格（LevyLindberg）定理考试要求1了解切比雪夫不等式。2了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）3 了解棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）本章导读 3 大均 2 中和 1
2、不等（3 个大数定理、2 个中心极限定理和一个不等式） 。一、切贝雪夫不等式1.1 切贝雪夫不等式及其应用范围如果不知道 属于何种分布，只要 和 存在，就可以估算出以 为中心的对XEX()DEX称区间上取值的概率。即：则任给 有0,或 2()()DPE 2()()1DP证 明：由积分比较定理可知：2 22() ()22() 2 2()()1() ()1xEXxEXxEXDfdfdfxdfxPDPXDXEX 1.2 依概率收敛的定义设 a 是一个常数， 为一随机变量序列， 或 ，n 0, nPa0nPa2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计132则称 依概率收敛于 ，记为 或
3、。nXaPnXa limnXaP二、大数定理大数定理的应用范围： 相互独立且同分布； 。12, 45nX li0nXEP大数定理的特征： 体现一个“均”字 。大数中的随机变量、数学期望、方差（标准差）均是对“均”而言。如 和 X2.1 切比雪夫大数定理设随机变量 相互独立，服从同一分布（任意分布） ，且具有相同的数学期望和12,nX方差 则 有1(), ; nkk kEDX0,1limlim1nknnPPX评 注 在大量的测量值中，算术平均值 具有稳定性，即 个随机变量的算术平均值，当1kxn无限增加时，将几乎变成一个常数，即接近数学期望 ，这种接近是概率意义上的n ()kEX接近，也就是 依
4、概率收敛 ，记为 ，这也是为什么在实际应用中，常用算术平均XPX 来描述事件发生的加权平均（即数学期望）的原因。2.2 辛钦大数定理设随机变量 相互独立，服从同一分布（任意分布） ，且具有相同的数学期望12,nX，则 有（不要求方差存在）1() ,; nk kEX 0,1limnknPx评 注 在大量的测量值中，算术平均值具有稳定性，即 个随机变量的算术平均值，当 无限nn增加时将几乎变成一个常数。显然，伯努利大数定理是辛钦大数定理的特例。2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计1332.3 伯努利大数定理设 是 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验
5、中发生的概率，则AYn，有0或 lim1AnYPlim0AnYPp评 注 1 ， 服从同一 分布；12.AnX12,.X12当 很大（一般要求大于 45）时，事件发生的频率 具有稳定性，且逼近于其概AYn率，这也是为什么在实际应用中，常用频率来代替事件发生概率的原因。3它本质上是离散情形下的辛钦大数定理。陈氏第 8 技 3 个大数定理的应用选择方法大数定理提供了算术平均代替加权平均的理论根据，适应于事件发生的平均值依概率收敛情形。如果能已知 ， 都存在，则使用切比雪夫大数定理；如果仅知道 存在，而未EXDEX知 是否存在，则使用辛钦大数定理；如果是伯努利试验，则使用伯努利大数定理。DX三、中心
6、极限定理 中心极限的应用范围：独立同分布； 12, 45nX。()01, 2nEDX且中心极限的特征： 体现一个“和”字中心极限中的随机变量、数学期望、方差（标准差）均是对“和”而言。如 和 及1nkX。n3.1 列维一林德伯格中心极限定理（又称独立同分布的中心极限定理）设 相互独立，服从同一分布（任意分布） ，且具有数学期望和方差12,nX，则随机变量 的标准化量2(), ()0(1,)kkEDkn1nkiXnY2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计134的分布函数 满足111nnnkkkkXEXYD()nFx211lim()lin tkxnXFxPedx评 注 ， ；21
7、(,)nkXN此处 表达式中，分子与分母可同乘以 正好对应标准化 。nY1,/nXY0, 1N3.2 棣莫佛拉普拉斯中心极限定理设随机变量 服从参数为 的二项分布（二次分布也是要求 相互独1,2.nnp， 1,nX立， ， ，同时隐含 ） ，则 随机变量 的标准化1nkX2()(1)0kDX,x1nk量 2lim(1)txnnpPedx评 注 正态分布是二项分布的极限分布； ， 。1, 1nkXNpnn 一般来说， 3; 30xxx陈氏第 9 技 2 个中心极限定理的应用选择方法中心极限定理提供了任何备选事件发生的标准化量依概率收敛于 的理论根据。0, 1N当 ， 都存在，且 时，如果是伯努利
8、试验（离散型） ，则使用莫佛拉普拉斯中EXD0X心极限定理；一般型使用列维一林德伯格中心极限定理。四、先进题型与求解秘诀题型 1 切贝雪夫不等式题型题法2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计135【例 1】已知随机变量 的数学期望分别为 和 ，方差分别为 和 4，相关系数为 ，, XY210.5试估计 。6P解：由于未知 的具体分布，故使用切贝雪夫不等式 , 2()()DXPXE2 20 140.53()3()()616XYZXYEZXYDDPPZEXY【例 2】随机掷 6 颗骰子，利用切比雪夫不等式估计 6 颗骰子点数之和大于 14 小于 28 的概率至少为多少？解：设 i
9、X第 颗 骰 子 出 现 的 点 数612222661112345166719345697312351428i iiiiiiiiiiiiiiiXEXDEXEXDPX235972121714PXPX【例 3】假设某一年龄段女孩平均身高 130cm，标准差是 8 厘米，现在从该年龄段女孩中随机抽取 5 名女孩，测其身高，估计她们的平均身高 之间的概率。在 0cm-解：不知分布估计概率使用切贝雪夫不等式设 为第 名被测女孩的身高，显然 相互独立同分布iX15,X2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计13652151()30; ()864; 513064()()()52.822i i
10、 iiiii iEXDX应用切贝雪夫不等式，有 。 21.014130087PXP【例 4】设 X 为连续型随机变量，则是对任意常数 C，必有（A） （B）()ECP()EXC（C ） （D ）()X 2()DP解： ()()()XCXCPfdfxd应选（C） 。1()Efx题型 2 大数定理题型题法【例 5】 ， 独立同，求 。iXEi 21limniiX解：注意随机变量的极限是指依概率收敛情形。本题知道了具体分布，求随机变量平均值的极限，故使用大数定理，又能够确定 ，故使用切比雪夫大数定理。, ED21 122 221 1lim1li1lilim.n ni iin ni iiiin ni
11、ini iPXPXEEDP 【例 6】设 独立同分布， ，问辛钦大数定理可否适应。X()(0)xFXarctgb解： 2()()bfxx2020) ()bEXfddxmX数学期望不存在，故不可适用辛钦大数定理。2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计137评 注 设 独立同分布，且 ， ，求 。1nX0nEX1,2 1limniiX解：根据辛钦大数定理 11 111 1limlimli lili li而 n nleti in n ni inni i inn ni i iPPPXXX 设 相互独立， 。则下列哪个不符合切比雪夫大数定理。2XE,22212 1, , , ,n nA
12、BCXDX 解：选 。B22 422231; ,1; ,11 1; 符 合 。 无 界 ， 即 不 存 在 不 符 合 。符 合 。符 合 。nnnnnAEDXXCnDED 题型 3 中心极限定理题型题法（分为求概率 和个数 两类）Pn评 注 设 相互独立， 。则下列哪个条件下， 符合列维一林德nX1,2n 2nX1,伯格中心极限定理。 1- 212 22 1 0, 3 , . 0, 服 从 ， xmi ini iiAPpq BPdtcCXcDXEim 解：选 。2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计138222202201, 1, 1 limli1 li 期 望 和 方 差
13、 都 存 在 ， 符 合 。i ixix xxaaxaaAXBpXBpPdtttddtt022 n1|ln1|2 lim期 望 不 存 在 ,不 符 合 。xaiattX2 2111 不 收 敛 ， 故 不 符 合 。i mmccCPXmxP 随 的 变 化 而 变 化 ， 不 同 分 布 ， 故 不 符 合 。iD【例 7】 一个供电网内共有 10000 盏功率相同的灯，夜晚每一盏灯开着的概率是 0.7，假设各盏灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着的灯数在 6800 到 7200 之间的概率。解：设 X 表示夜晚同时开着的灯的数目，依题意， X 服从 n=10000，P=0.7 的二项分布。()
14、10.70,()(1)20EnpDp由 n 较大，根据棣莫佛拉普拉斯定理 X 近似服从正态分布 N（7000，2100）22682 110txxPXPedx其中 .92 2txed（题中： ）70; nnpx【例 8】 多次重复观测一个物理量，假设每次测量产生的随机误差都服从正态分布 ，20, .3N如果取 次测量的算术平均值作为测量结果，试计算：（1）测量结果与真值之差的绝对值小于一个小正数 的概率 P；（2）给定 使 P 不小于 0.95，至少应进行的测量次数 n。0.5,解：令随机变量 Xi， 分别表示第 i 次的测量结果与测量误差， 表示真值，所以i , 12,ii n易见 相互独立(
15、0.3)iNi2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计139所以， 服从相互独立的正态分布iX2(,0.3)N服从 1nii(,0.9)n服从 i,（1） 根据独立同中心极限定理 210.3.0.3iXnn nPXP * 注意中心极限定义中积分下限为 时，对应中 。()x（2） .50.210.953n138.976n故观测次数至少为 139。【例 9】设随机变量 相互独立， ，则根据列维一林德柏格中心极限定理，当 nnX1nkSX充分大 似服从正态分布，只要 （ ）nSn（A）有相同的数学期望 （B）有相同的方差（C ）服从同一指数方布 （D）服从同一离散分布解：不管是哪一种
16、中心极限定理，其共同的条件是 存在数学期望（可以为 0）和方差（不nX能为 0） ，上述中只有（C）满足。【例 10】一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50kg，标准差为 5kg，若用最大载重量为 5 吨的汽车承远，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977 。(2)0.97)解：设 是装运的第 i 的重量，n 表示装运箱数。iX2()50,()5iiEDX且装运的总重量 独立同分布12,nYX()n()iP由刘维一林德伯格中心极限定理知 (50, 2)YNn2009 智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计140于是
17、505010(50) .97(2)YnnnPY故 1298.1n也就是最多可以装 98 箱。评 注 本题是求 ，题目中隐含条件为 ，若写出此条件，则求解过程就变为0X05510051.970无 法 解 出 结 果 。但 我 们 可 以 判 断 ， 所 以 原 解 答 没 必 要 写 出 此 隐 含 条 件 。nYnnPYPnnn【例 11】利用中心极限定理证明 1lim!2knne证明：设 独立同分布，均服从参数 的泊松分布 ，iX1, 0,!kePXk 则由泊松分布的可加性知服从 的泊松分布，且 1niiYn(), ()!kneEYnDY于是由列维林德伯格中心极限定理知 11 1 1limli()lim()li0()! 2nk in niin xi XePYXP 评 注 在应用中心极限定理时可采用下列步骤：第一步 根据题意选取独立同分布的随机变量序列 ，求出iX(),iiEDX第二步 弄清 所表示的意义，求出 ，重新写出新的分布函数。1niiYX(),EYD第三步 应用中心极限定理（独立同分布，林维林德柏格） ，计算 ()PaYb若 则2(),()iiED
