1、 1 浅论教育数学与数学教育的关系 兼论位置关系数学的新思路 祝宝满 廖云儿 * （上饶师范学院 ，江西，上饶， 334000） 摘 要： 本文运用教育教学的原理和思想，对现行中学数学教材中“异面直线”这一教学难点的“数学教育”处理出发，引申并尝试提出用“远近度”和“倾斜度”这一空间物体位置关系的本质改造位置关系数学的新思路。从而提出正确认识和处理教育数学与数学教育关系的必要性。进而从理论和实践两方面阐述了教育数学与教学教育是既对立又统一的关系。并从“教育数学三原理”出发，研究并提出了用二次函数极值法求 解两异面直线距离的方法模式。从而说明了寻找并建立教育数学的哲学基础的理论与实践意义。 关键
2、词： 教育数学；数学教育；关系 一、问题的提出 教育数学从张景中院士提出至今，已经得到了越来越多人的承认。不少人也在自觉或不自觉地从事着教育数学的研究和实践活动，这其中很多都是长期从事数学教育的工作者。从一个研究领域进入另一个研究领域，这个中的困难和问题是可想而知的。而正确认识和处理好“教育教学”与“数学教育”的关系，是开展教育数学研究，并使这一新兴学科得以成长、壮大所必须首先解决的一个问题。只有把两者的关系搞清楚，明 确了两者的研究对象、研究目标、研究方法等，干起来才会得心应手。 笔者在学习、研究教育数学的过程中，也深感有必要先把这一问题弄清楚。 例如，我们在研究中学立体几何“异面直线”这一
3、教学难点中，就遇到了这一问题。现行中学教材中“异面直线”其定义是指“不同在任何一个平面内，没有公共点的空间两条直线。”然后，通过直观引入异面直线的角，进而引进两条异面直线垂直、两条异面直线的公垂线和两条异面直线的距离。最后不加证明地提出：“对于任意的两条异面直线，它们的公垂线有且仅有一条”的结论。中学作者简介：祝宝满（ 1949 ），男，江西广丰人，上饶师范学院副教授，主要从事数学教育、数学哲学研究 廖云儿（ 1948 ），女，福建福州人，上饶师范学院副教授，主要从事数学教育、数学史研究 2 数学教学的实践和数学教育的研究都 告诉我们，中学生很难建立起异面直线的空间概念。 为解决和突破这个难点
4、，在“数学教学论”的教学中，我们提出了两种教学建议： 一是采用直观演示的方法引入异面直线概念。具体来说，是用两根木棍，先成相交状（建立在学生已有基础知识上），然后平行移动其中一根木棍，这样的两条直线就是异面直线。或者，先把两根木棍摆成平行状，然后，转动其中一根棍子，这样所成的两条直线就是异面直线。通过演示，使学生们很容易建立起了异面在线的空间概念：它们不在同一平面内，它们既不相交也不平行。 另一种是建议从揭示异面直线概念的主要本质进行教学。 两条异面直线的本质主要在于“远近度”（可用距离度量）与“倾斜度”（可用角度量）。两条异面直线是有距离的，它不同于两条相交直线（它们的距离为零）；同时，两条
5、异面直线又是有倾斜度的，它不同于两条平行线（它们之间的倾斜度为零）。 细究上面两种教学建议，第二种教学建议已经不是纯粹的“教学法加工”了。或者说，它已经隐含着一种数学的再创造。也就是说，第二种教学建议已不自觉地实践着、逼近着教育教学了。因为，第二种教学建议，紧紧抓住了空间两物体位置关系的本质。我们知道，空间两物体位置关系的本质就在于两物体的“远近度”（或距 离）和“倾斜度”（或角）。而远近度和倾斜度是初中学生头脑中容易形成和理解的概念。再用“距离”去度量“远近度”，用“角”去度量“倾斜度”。这符合张景中先生提出的教育数学三原理的第一原理，“从学生头脑中找概念。” 因此，我们可否用“远近度”和“
6、倾斜度”来对位置关系数学来一番改造呢？如果能进行改造，那就属于教育数学范畴，而不属于只进行教学法加工的数学教育了。 在此，笔者尝试着提出这样一种改造的思路，祈请各位专家指正。 对位置关系数学在提出了“远近度”和“倾斜度”概念基础上，首先讲点与点的距离。两点间线段最短，点与 点没有倾斜度。第二，讲点与直线的距离。它包括点在直线上（距离为零）和点到直线的距离。点与线也没有倾斜度。第三，讲线与线的距离和倾斜度。线与线没有距离也没有倾斜度，则是两线重合；线与 3 线没有距离但有倾斜度是两线相交；线与线有距离且处处相等，没有倾斜度或倾斜度为零是两线平行；线与线既没有距离又没有倾斜度，这是两条异面直线。第
7、四，讲点与面的距离。点在面上（或距离为零）和点不在面上（有距离），同样点与面没有倾斜度。第五，讲线与面的距离和倾斜度。线与面没有距离，线在平面内；线与面有距离，且处处相等，而倾斜度为零是线面平 行；线与面有距离且有倾斜度，线面相交或垂直。最后，讲面与面的距离与倾斜度。面与面没有距离且没有倾斜度是两平面重合；面与面有距离但没有倾斜度是两平面平行；面与面距离为零且有倾斜度是两平面相交。 这样，我们就可用“远近度”和“倾斜度”把空间点、线、面间的关系很直观地展现给学生。空间各种物体的位置关系以及各种位置关系之间所成的角（异面直线所成的角；直线与平面所成的角；平面与平面所成的角）和距离（异面直线间的距
8、离；点与面的距离；平行的线面距离；平行的面面距离），中学生就比较容易接受，也容易形成空间概念。 当然，作了 这样一番改造的位置关系数学是否能更好地为中学生所理解和接受，还有待于数学教育的实践来检验和证明。 所以，我们认为，要使教育数学这门新兴学科能够成长和壮大，就必须把教育数学与数学教育的关系搞清楚。从而由不自觉进入到自觉的研究和改造中去。 二、教育数学与数学教育既对立又统一 那么，教育数学与数学教育是一种什么关系呢？笔者认为，它们之间存在着既对立又统一的关系。 1、教育数学与数学教育的对立 首先，两者从属于不同的学科范畴。教育数学是数学，它是为数学教育进行再创造的数学，其本质是一种对数学的再
9、创造的活动，它要符合 数学的特有规律。而数学教育属于教育，它主要是对数学教材进行一番教学法的加工，使之学生更容易理解和掌握数学的内容、思想和方法的教育活动，它要符合教育的基本规律。 其次，是两种不同的数学教学观念。所谓数学教学观念是指“关于应当如何去从事数学教学的观点和看法等。” 教育数学与数学教育的区别主要在于“如何从事”的问题上。教育数学和数学教育都要研究数学“教什么”的问题，即教 4 材问题。数学教育的观点是，“把数学家的研究成果作为基本素材 数学材料，经过教学法的加工，便可形成教材” 。这只是进行剪裁、整理，不包括数学上的 再创造。而教育数学的观点是，“要进行数学上的再创造，使琳琅满目
10、但却杂乱无章的材料蔚然成序，成为符合教育基本规律的经典教程” 。所以，两者研究教材的角度是不同的。 2、教育数学与数学教育是统一的 首先，教育数学离不开数学教育，它源于数学教育又服务于数学教育。教育数学与数学教育是有区别的，但两者又是紧密相联的，不能割裂两者的关系。 因为，教育数学源于数学教育。教育数学“为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造。 ”这种创造的着眼点是数学教材中的难点和新点，这就是说，教育数学的再创造是来自于数学教育实践中所呈 现出来的公认的难点和新点。事实上，数学教育可为我们提供非常丰富的可供创造的素材。例如，前述的异面直线概念的教学难点，为我们提供了数学再创造的材料。 又如
11、，在求异面直线距离的教学中，这也是一个教学上的难点，而且一般求解异面直线的距离，现行中学教材都是放在讲了线面关系和面面关系后再强化。因此，运用教育数学的观点，我们能不能从概念中产生方法，并能形成一种模式呢？遵循着“教育数学三原理”，我们就可用二次函数极值法（初三内容）来求解两条异面直线的距离。我们知道，通常求异面直线距离是转化为平行的线面距离和平行的面面距离 之后求解，但比较复杂，而且还要作一个或两个辅助面。而利用二次函数法求解更容易、更简单，而且可形成一个模式。 例 1，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，求两异面直线 B1C 和 BD 之间的距离。 分析：两条异面直线间距离
12、是指夹在两异面直线间的公垂线段的长度。公垂线段是唯一存在的，且在所有夹在两异面直线间的线段中公垂线是最短的。正因为最短，才将公垂线段长作为两异面直线间的距离。 回顾以往有关距离的概念，如两点间的距离，点到直线的距离，两平行线间的距离，均与“最小值”挂钩。既与“最小值”有关，那么就可用函数 思想来解决，而要利用函数思想，得先确定变量，然后确定函数表达式。 如图，在 B1C 上任取一点 E，过 E 作 EF BC，则 EF面 ABCD。过 F 作 FG 5 BD，连 EG，只要求出 EG 长度的最小值，这就是两异面直线的距离。而 EG 取得最小值时的线段位置便是公垂线段的位置。 解：设 EF=X，
13、则 CF=X，所以 BF=1-X， 在 Rt FGB 中， GBF=45，所以 FG=21x在 Rt EFG 中， EG2=EF2 + FG2 = X2 + 221 x=3131232 x所以，当 X=31 时， EG最小值为 33 。 本例同时告诉我们 F 为 BC 的三等分点，因此，只要取 C 到 B 的第一个三等分点 F，过 F 作 FE BC（ E 在 B1C 上），再过 E 作 FG BD，连 EG，则 EG 为公垂线段。也就很容易画出这两条异面直线的公垂线。 教育数学要服务数学教育 .教育数学的任务是为了数学教育的需要对数学成果进行再创造，也就是说要创造出更加适合于数学教育的教材。
14、因此，正是“教什 么”把两者紧密地联系在一起，如果离开数学教育去搞数学的创造，那就不是教育数学，而是数学。正如张景中先生所指出的，教育数学成果还有一个“如何去为数学教育服务”的问题。 此外，教育数学还要接受数学教育的实践检验。 6 其次，数学教育也离不开教育数学。因为，数学教育事实上具有两个不同的方面：“数学方面”和“教育方面”。正如郑毓信所指出的，这两方面是对立统一的，它们是数学教育的基本矛盾。而“能否很好地处理这一矛盾（或者说，搞好这两方面的均衡）正是搞好数学教育的关键所在，” 所以，数学教育既不能离开“教育方面”， 又离不开“数学方面”。既然如此，那么教育数学为数学教育的需要而创造出来的
15、，更适合于教学，更适合于学生理解和接受的数学，理应为数学教育所使用。 最后，教育数学与数学教育统一于数学教育的目标上。 我们知道，数学教育是为了使受教育者掌握一定的数学基本知识和基本技能，帮助学生学会数学地思维。而教育数学则是“为了数学教育的目的，”“用批判的眼光审视已有的数学知识。这批判，当然不是怀疑这些数学知识的正确性，而是检查它在教育上的适用性。” 从而为数学教育选择较优的，或最优的适合数学教育的数学知识；找到一种较优的，或最 优的适合数学教育的数学知识的逻辑结构；找到一种较优的，或最优的解题方法模式。以帮助学生更好的、更容易理解掌握的数学基本知识和基本技能，并学会数学地思维，进而经由数学学习掌握一般的思维方法。所以，两者统一于数学教育的目的中。 综上所述，教育数学与数学教育是既对立又统一的，研究教育数学与数学教育的关系，寻找并建立教育数学的哲学基础，这无疑对教育数学的成长、壮大是有非常重要的理论和实践意义的。 参考文献： 郑毓信，数学教育：从理论到实践，上海教育出版社， 2001.11 月版，第 50 页 张景中，什么 是教育数学，原载数学教师， 1989.2 张景中，从数学教育到教育数学，九章出版社， 1996 年 9 月版，第 214、 216 页 郑毓信，数学教育：从理论到实践，上海教育出版社， 2001.11 月版，第 8 页
