1、求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形已知：ABC 中，BE 平分ABC，CF 平分ACB，求证：ABAC己知 在ABC 中，BE,CF 是B ，C 的平分线，BE=CF。求证:AB=AC. 证法一 设 ABAC,不妨设 ABAC，这样ACBABC，从而BCF= FCE=ACB/2ABC/2=CBE=EBF。 在BCF 和CBE 中，因为 BC=BC, BE=CF，BCF CBE. 所以 BFCE。 (1) 作平行四边形 BEGF，则EBF= FGC,EG=BF,FG=BE=CF ，连CG， 故FCG 为等腰三角形，所以FCG=FGC 。 因为FCEFGE，所以ECGEG=BF. (2) 显然
2、(1)与(2)是矛盾的，故假设 ABAC 不成立，于是必有AB=AC。 证法二 在ABC 中，假设BC ，则可在 CF 上取一点 F，使FBE=ECF，这有 CFCF。 延长 BF交 AC 于 A,则由BAE=CAF,有 ABE ACF. 从而 AB/AC=BE/CFBE/CF=1. 那么在ABC 中，由 ABAC，得: ACB ABC，即C( B+ C)/2 ，故BC 。 再由假设BC，即有B=C。 所以ABC 为等腰三角形。斯坦纳-雷米欧司定理: 设在三角形 ABC 中，有 B、C 的角平分线 CF、BE 交于 O BE 是角平分线推出：BC/CE=AB/AE ，同理：BC/BD=AC/A
3、D，因为 BD=CE，所以等量代换得出： OF EAB CAB/AE=AC/AD，角 A 是公共角，所以三角形 ACD 与 ABE 相似，所以 LACD=LABE，同理 LBDC=LBEC，再加上 BD=CE，所以三角形 BOD 全等于三角形 OEC，所以 OB=OC且 LDBE=LECD，OB=OC 推出 LOBC=LOCB，再等量代换得到 LABC=LACB，所以AB=AC 注:“L“为角的符号说是有十三种证法三角形 ABC 内底角 B 和 C 的角平分线交 AC 和 AB 于点 E 和点 D，假设角 B 大于角 C，作与角 ACD 相等的角 EBF 交 CD 于点 F，交 AC 于点 G
4、，由于同一个三角形中大角对大边，又因为角 GBE 加二分之一角 ABC 大于角 ACB，所以 GC 大于 GB，由于两个对应角相等，三角形 GBE 与三角形 GCF 相似，则 CF 大于 BE，因为 CD 等于 BE,CF 是 BE 中的一部分所以假设不正确。同理可证角 ACB 不大于角 ABC，所以只有一种可能即角 ABC 等于角ACB。 （请自己准确作图我没空作图!) 应该对的、求证：AB=AC 证明一：设 ABAC,于是角 ACB角 ABC 角 BCF=FCE=ACB1/2 角 ABC=CBE=CBF 在三角形 BCF 和三角形 CBF 中 BC=BC BE=CF 角 BCFCBE 所以
5、 BFCE 作平行四边形 BEGF,则角 EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接 CG,三角形 FCG 为等腰三角形 则角 FCG=FGC 因为角 FCEFGE 所以角 ECGEG=BF 显然1 2矛盾 同理 ABAC 矛盾 则 AB=AC 证明二：引证:若三角形 AD 为角平分线，则 BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c) 由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c)+b2(ac/(b+c)-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则 AD2=bc(1-(a/(b+c)2) 三角形 ABC 中 BE CF 为角 B C 的平分线 由 BE=CE 得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以 a(a+b+c)(a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0 所以 b=c您好，很高兴为您解答，OutsiderL 夕为您答疑解惑如果本题有什么不明白可以追问，如果满意记得采纳,手机客户端右上角评价点满意即可。如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助，答题不易，请谅解，谢谢。祝学习进步
