1、从一道高考题谈函数的教学广东省陆丰市启恩中学（516500）林敏燕在高考复习第一轮复习二次函数时，我把今年广东省高考（理）第 20 题：已知 是实a数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，求 的取2()3fxaxa()yfx1，值范围写在黑板上，直接跟学生说明这就是广东省今年的高考题，让学生来自已来处理这类问题。经过 15 分钟后，我发现能正确解出的学生很少，大部分学生的错误表现在：1、思维混乱，不知道从何处入手；2、讨论不周全，总在讨论对称轴的大小；3、函数和方程的概念混乱。要从哪里教会学生入手呢？我尝试着用波利亚的数学思想来引导学生，起到了良好的效果，实录如下：师：你做过这道题吗？生：没有
2、。师：你做过这种类似的题吗？最近有吗？经过一段时间后，有一学生站起来：前天上课有讲过一道这种这种类似的题：若关于x 的方程 有实根，求 m 的取值范围。|1|12540xxA师：相似的地方在哪里？生：换元后也是一个关于二次函数的零点问题，即方程根的问题。师：还记得当时的处理方法吗？能把这种方法应用到这道高考题上吗？生：有二种方法，一是利用二次函数的图像，得出不等式组；二是把参数和变量分离，把问题转化为二次函数的值域问题。师（提示）：大家不妨用这二种方法都试一试，看看能不能解出这道高考题？同学们大部分都在思考，埋头做起来了。经过几分钟后，有学生站起来：老师，用二次函数的图像来做情况好复杂，应该如
3、何分类才好？师：这位同学问题提得好，在区间-1，1 上有解的情况是比较复杂，首先二次函数有可能开口向上，有可能开口向下；有可能在区间-1，1 有一个根，有可能在区间-1，1有两个根，也有可能二次函数与 x 轴相切，且切点在区间-1 ，1 上。分类如果处理不好，计算量会增大，而且结果也不容易得出。有哪位同学能使分类最简便，更容易计算？生：利用根的个数来分，分为在区间-1，1 上有一个根和二个根，重根也记为二个根。这样计算很方便。这是我的解法：解：函数 在区间-1，1 上有零点，即方程 =0 在-1，1上()yfx 2()3fxaxa有解，a=0 时，不符合题意，所以 a0,方程 f(x)=0 在
4、-1，1上有解有两种情况：（1） 方程 f(x)=0 在-1 ，1上只有一解 (1)0f15a（2） 方程 f(x)=0 在-1 ，1上有二解 或(1)0483).fa372a5a综上，所以实数 a 的取值范围是 或 a1.372a师（赞许）：做得好。这样分类把计算量减少到了最低，又不会漏解。如果利用变量与参数分离，又会如何呢？生：老师，这道高考题比上次讲的哪个更复杂，参数与变量分离后，变量表示的函数比较复杂，难度较大。我只化简到这里：解：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又 =0 在-1，1 上有解，2()3fxaxa在-1，1 上有解 （ ）2(1)3xax231a,师：好，这是一个分式
5、函数，上面是一次函数，下面是二次函数，这种函数的值域我们以前学过吗？生：学过。师：能不能用差别式法来求解？生：不能，因为变量有范围，要用换元法。师：对，下面大家按这种思想解下去。生：因为用换元法要分子分母同时除以一个式子，所以我把函数倒过来求值域。请看：解：a=0 时，不符合题意，所以 a0,又 =0 在-1，1 上有解，2()3fxaxa在-1，1 上有解 在-1，1 上有解，问题转化为求函数2(1)3xax213a-1， 1上的值域；设 t=3-2x，x-1，1 ，则 ，t1,5,y 3xt，设 ， 时， ，此函数21(3)17(6)tt277().()tgtt1,)t()0gtg(t)单
6、调递减， 时， 0,此函数 g(t)单调递增，y 的取值范围是 ，,5tt 73,1 =0 在-1，1 上有解 或 。2()3fxaxa1a73,1a2师：这位同学做得好。一是把参数和变量分离成功了，二是没有直接求参数 a,而是求它的倒数，这是用换元法的解题过程中的需要；三是利用导数来判断单调性，没有利用基本不等式，因为利用基本不等式只能求出它的最小值，而无法求出最大值。小结：当出现二次函数的参数问题或可化为二次函数的参数问题的试题时，解法方向有二个，一是讨论二次函数的图像，结合函数来解之；二是变量与参数分离，把参数表示为变量的函数，求出这个函数的值域就可以得到参数的取值范围。随后，我又布置了一道类似的题：设 ，当 时，2()fxa1,)x恒成立，求实数 a 的取值范围。大部分同学都能完成，其中很大一部分同学对利()fxa用参数和变量分离的方法来求解。由于他们以前没有用过这种方法，所以当用这种方法解出来时，特别有成就感。有兴题的读者不妨一试。从这堂课我常常体会到，函数的教学是一个循序渐进的过程，要慢慢的引导学生思考问题，从简单的、熟悉的、做过的题目来联想陌生的、较难的新题，联想解题过程，联想解题方法，联想解题思路，找出简单的、熟悉的题目和陌生的、较难的新题之间的联系，从而找到解题的突破口。
