1、十五、乘法原理（1）年级 班 姓名 得分 一、填空题1.书架上有 6 本不同的画报、10 本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法.2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有 种.3.用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数.4.有一个面积为 693 平方米的长方形,其周长最多可有 种不同的数值.5.两个点可以连成一条线段,3 个点可以连成三条线段,4 个点可以连成六条线段,5 个点可以连成几条线段?6 个点可以连成 条线段.6.学雷锋小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手
2、36 次,这个小组共有 人.7.数出图中长方形(包括正方形)的总个数是 .8.用 9 枚钉子组成 方阵,用橡皮筋勾在 3 枚钉子上,组成一个三角形,共可3组成 个三角形.9.有 5 人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,站成一排,其中 2 名队长不排在一起,一共有 种排法.10.在图中画出 方格中(n 是自然数)每一列中的 3 个方格中分别用红、3白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同).最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同.二、解答题11.在 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸” 字形图形?812.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角 A 处走到东北角 B 处,要求走
3、得最近的路,并且不能通过十字路口 C(正在修路),共有多少种不同的走法?13.一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都是一样的,则称这个数为“回文数”.例如 1331, 7, 202 都是回文数.而 220 则不是回文数.问 1 到 6 位的回文数一共有多少个?14.如图,把 A、B、C、D、E 这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?BACEDCBA答 案1. 60.第一步,取一本画报,有 6 种方法;第二步,取一本科技书 ,有 10 种方法.根据乘法原理,一共有 610=60(种 )不同取法.2. 1
4、6384.放第一个球,有 4 种方法;放第二个球,也有 4 种方法 ,放第七个球,还有 4 种方法.由乘法原理知,一共有 4444444=47=16384(种)放法.3. 648.第一步,排百位数字,有 9 种方法(0 不能作首位);第二步,排十位数字,有 9 种方法; 第三步,排个位数字,有 8 种方法.根据乘法原理 ,一共有 998=648(个)没有重复数字的三位数.4. 6.将 693 分解质因数得 693=71132,它有(1+1)(1+1)(2+1)=12 个约数,故它可以组成 6 组不同的长和宽,即周长最多有 6 种不同数值.5. 10;15.每一条线段有两个端点,从五个点中选一个
5、点作为端点有 5 种方法,而选第二个点有 4 种方法,共有 54=20(种) 方法.但是因先选 A 再选 B 与先选 B 再选 A 是同一条线段,故实际上是(54)2=10( 条)线段.同理,六个点可以连成(65)2=15( 条)线段.6. 9.设小组有 x 人,则握手总次数为 ,即 .相邻两个连续362)1(x72)1(x自然数的积为 72,即 98=72,故 x=9.7. 90.大长方形长上有 6 个点,共可组成 条线段;大长方形宽上有 4 个点,1526可以组成 条线段.故图中长方形的个数为 156=90(个).2348. 72.从 9 枚钉子中取 3 枚,先取第一枚有 9 种方法,再取
6、第二枚有 8 种方法,最后取第三枚有 7 种方法,共有 987 种方法.但其中每个三角形顶点有 6 种排列次序,故实际上只有 9876=84 种方法.又有三个点在一直线不能组成三角形,这种情况有 8 种,所以一共可得到 84-8=72(个)三角形.9. 72.我们可以先将除二名队长的三人排成一列,有 321=6(种)排法.A再将两名队长插入到这三个人之间或两头,第一个队长有 4 种方法,第二个队长有 3 种方法,故一共有 643=72(种)排法.10. 7.每一列的排法有 321=6(种),故最少需要 6+1=7(列)才能保证至少有两列染色方式相同.11. 如图,将标有 A 字的方格称为凸字形
7、的“头”,当“ 头”在 88 的正方形边上时,一个“ 头” 对应着一个凸字形 ,这样的凸字形有 64=24(个);当“头” 位于 88的正方形内部时,一个“ 头 ”对应着 4 个凸字形,这样的下凸字形有 4(66)=144(个),合计 24+144=168(个).12. 用标数法可以求出一共有 120(种)走法.13. 一位回文数有 9 个 ;二位回文字也有 9 个;三位回文数有 910=90(个); 四位回文数也有 90 个;五位回文数有 91010=900(个); 六位回文数也有 900 个.一共有 9+9+90+90+900+900=1998(个).14. 按 A,B,C,D,E 的顺序
8、,分别有 4,3,2,2,2 种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有 43222=96(种).BAC111 1 1 112 3 4 5 763 6 10 13614 10 20 20 392615 15 25 55 120811十五、乘法原理（2）年级 班 姓名 得分 一、填空题1.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出 种不同颜色搭配的“IMO ”.2.H 市的电话号码有七个数字,其中第一个数字不为 0,也不为 1.这个城市、数字不重复的电话号码共有 个.3.这是一个棋盘(如图), 将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交叉点上,但不
9、能在同一条棋盘线上,共 种不同的放法.4.电影院有六个门,其中 A、B、C、D 门只供退场时作出口 ,甲、乙门作为入口也作为出口.共有 种不同的进出路线.5.将 3 封信投到 4 个邮筒中,一个邮筒最多投一封信,有 种不同的投法.6.两人见面要握一次手,照这样的规定,五人见面共握 次手.7.有四张卡片,上面分别写有 0,1,2,4 四个数字,从中任意抽出三张卡片组成三位数.这些卡片共可组成 个不同的三位数.8.圆周上有 A、B、C、D、E、F、G、H8 个点,每任意三点为顶点作三角形.这样共可作出 个不同的三角形?9.用 1,2,3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数.如果按从小到大的顺序排
10、列,213 是第 个数.10.一排房有四个房间,在四个房间中住着甲、乙、丙三人,规定每个房间只许住一人,并且只允许两个人住的房间挨在一起.第三个人的房间必须和前两个人隔开,有 种住法.ABCD甲 乙HGFEDCBA二、解答题11.在一次晚会上男宾与每一个人握手(但他的妻子除外),女宾不与女宾握手,如果有 8 对夫妻参加晚会,那么这 16 人共握手多少次?12.20 名运动员进行乒乓球球比赛,每两名运动员都要比赛一场,每场比赛 3局 2 胜,全部比赛结束后,所有各局比赛最高得分为 25:23,那么,至少有多少局的比分是相同的?13.下面五张卡片上分别写有数字: 可以用它们组成许多不同的五位数,求
11、所有这些五位数的平均数.14.有一种用六位数表示日期的方法,如:890817 表示的是 1989 年 8 月 17 日,也就是从左到右第一、二位数表示年,第三、四位数表示月,第五、六位数表示日.如果用这种方法表示 1991 年的日期,那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天?0 0 1 2 3答 案1. 60.先写 I,有 5 种方法;再写 M,有 4 种方法;最后写 O,有 3 种方法.一共有543=60(种 )方法.2. 483840.先排首位,有 8 种方法.再依次排后面六位,依次有 9,8,7,6,5,4 种方法.故一共有 8987654=483840(个)数字不同的电话号码 .3.
12、 72.先排黑子,它可以放在任一格,有 12 种放法.再排白子,它与黑子不能在同一行,也不能在同一列,只有 6 种方法.一共有 126=72(种) 放法 .4. 12.先选入口,有 2 种方法,再选出口,有 6 种方法,一共有 12 种方法.5. 24.第一封信有 4 种投法,第二封信有 3 种投法,第三封信有 2 种投法,共有432=24(种 )投法.6. 10.每一人要握 4 次手,五人共握 45=20(次), 但在上述计算中 ,每次握手都被计算了 2 次,故实际上握手次数为 202=10(次).7. 18.先排百位,有 3 种方法(0 不能在首位);再排十位,也有 3 种方法;最后排个位
13、,有 2 种方法,一共有 332=18(种)方法.即可以组成 18 个不同的三位数.8. 56.选第一个顶点,有 8 种方法;选第二个顶点,有 7 种方法 ;选第三个顶点,有 6 种方法.共有 876(种)选法 .但在上述计算中,每个三角形都被计算了 6 次,故实际上有(876)6=56(个)三角形.9. 6,3.排百位、十位、个位依次有 3 种、2 种、1 种方法,故一共有 321=6(种)方法,即可以组成 6 个不同三位数.它们依次为 123,132,213,231,312,321.故 213 是第3 个数.10. 12.三个人住四个房间,一共有 432=24 种不同住法 .其中三人挨着的
14、有(321)2=12(种),故符合题意的住法有 24-12=12(种).11. 如果 16 人都互相握手应握 (次).其中应减去女宾间的握手次数12056(次), 还应减去夫妻间的握手次数 8 次,即共握手 120-28-8=84(次).28712. 20 名运动员共要赛 (场),每场最少打 2 局,故比赛局数不少于19021902=380.而最高分为 25:23,这样就会有 25:23,24:22,23:21,22:20 以及 21:0 至21:19 这 24 种情况,故至少有 局比分相同 .643813. 当首数为 1 时,2 有 4 个位置可放,3 有 3 个位置可放,其余为 0,共有 43=12个不同的数.在 12 个数中 0,0,2,3 在各个数位上都出现了 3 次,故 12 个数之和为:(112)10000+(23+33)1111=136665.当首位为 2 或 3 时,用以上方法可求得和为 253332 和 369999,平均数为(136665+253332+369999)36=21111.14. 显然第一、二位为 9 和 1.这样一来第三位不能是 1,只能是 0.第五位不能是0,1,只能是 2.第 4 位有 6 种排法(在 3,4,5,6,7,8 中选一个),第 6 位有 5 种排,故一共有 65=30(种)排法,即全年中六个数字都不同的日期共有 30 天.
