1、 函数定义域和值域【考题回放】1函数 f(x) 的定义域是 （ A ）x21A ，0 B0， C （，0） D （，）)2函数 的定义域为 （A ）)34(log)(2xxfA （1，2）（2，3） B ),3()1,(C （1，3） D1，33 对于抛物线线 上的每一个点 ，点 都满足 ，则 的取值范围是 xy42Q0,aPaQ（ B ） A0,B,C2,02,4已知 的定义域为 ，则 的定义域为 。)2(xf20)(logxf 165 不等式 对一切非零实数 x总成立 , 则 的取值范围是 _。mm(,26 已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 ，有 ，2()fxabc()fx0fx
2、()0f则 的最小值为 。 (1)0f 5高考要考什么一、 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数具体函数：只要函数式有意义就行解不等式组；抽象函数：（1）已知 的定义域为 D，求 的定义域；（由 求得 的范围就是）)(xf )(xgf Dxg)(（2）已知 的定义域为 D，求 的定义域；（ 求出 的范围就是）g二、 函数值域（最值）的求法有：直观法：图象在 轴上的“投影”的范围就是值域的范围；y配方法：适合一元二次函数反解法：有界量用 来表示。如 ， ， 等等。如， 。02xxa1sin21xy换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。如求 的值域。2
3、1xy单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数。如求 值域。)1(log2xxy注意函数 的单调性。xky基本不等式：要注意“一正、二定、三相等” ，判别式：适合于可转化为关于 的一元二次方程的函数求值域。如 。21xy反之：方程有解也可转化为函数求值域。如方程 有解，求 的范围。0sini2axa数形结合：要注意代数式的几何意义。如 的值域。 （几何意义斜率）yco1三、 恒成立和有解问题恒成立 的最大值； 恒成立 的最小值；)(xfa)(xfa)(xfa)(xfa有解 的最小值； 无解 的最小值； 突 破 重 难 点【范例 1】已知 f(x)=3xb （2 x4，b 为常数）的图象经过点（
4、2，1） ，求 F(x)=f1 (x)2f 1 (x2)的值域。分析提示：求函数值域时，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域的制约作用。本题要注意 F(x)的定义域与 f1 (x)定义域的联系与区别。解：由图象经过点（2，1）得， ， 2bxxf31log2)( )91(F( x)=f1 (x)2f 1 (x2) 的定义域为 92)F3,1)(log2l)(logl)log)( 233333 xxxF， ， 的值域是,1x1,0xF5,易错点：把 的定义域当做 的定义域。)(f)(变式： 函数 的定义域为 ，图象如图所示，xfy1,x其反函数为 则不等式).(1 021)()(xff
5、的解集为 .,43【范例 2】设函数 2()1(0)fxtxttR，（）求 的最小值 ；()fx()ht（）若 对 恒成立，求实数 的取值范围2htm02， m解：（） ，3()1(0)fxttxtR，当 时， 取最小值 ，t 3f即 3()1h（）令 ，3()2)1gttmt由 得 ， （不合题意，舍去） 2()30 当 变化时 ， 的变化情况如下表：tt()t(01)， (12)，()g0t递增 极大值 1m递减在 内有最大值 ()gt02， (1)m在 内恒成立等价于 在 内恒成立，hm(， ()0gt(2)，即等价于 ，1所以 的取值范围为 1变式：函数 f（x）是奇函数，且在l，1上
6、单调递增，f（1）1，(1) 则 f（x）在1，1上的最大值 1 ，(2) 若 对所有的 x1，1及 a1，1都成立，则 t的取2)(atx值范围是 _ 02tt或或【范例 3】已知函数 与 的图象相交于 ， ， ， 分别是ykx2(0)x 1()Axy， 2()Bxy， 1l2的图象在 两点的切线， 分别是 ， 与 轴的交点2(0)yx AB， MN， l2（I）求 的取值范围；k（II）设 为点 的横坐标，当 时，写出 以 为自变量的函数式，并求其定义域和值域；tM12xt1x（III）试比较 与 的大小，并说明理由（ 是坐标原点） ONO解：（I）由方程 消 得 2ykx， y20xk依
7、题意，该方程有两个正实根，故 解得 2180kx， k（II）由 ，求得切线 的方程为 ，()fx 1l112()yxy由 ，并令 ，得21y0y1xt， 是方程的两实根，且 ，故 ， ，1x2 1221 2848kk2k是关于 的减函数，所以 的取值范围是 1k1x(0)，是关于 的增函数，定义域为 ，所以值域为 ，t1x(2)， )，（III）当 时，由（II）可知 212xOMt类似可得 21xON112Nx由可知 12从而 0M当 时，有相同的结果 21x0OMN所以 ON变式：已知函数 的最大值是 ，最小值是 ，求 的值。)(log)(l212axya)42081a分析提示：（1）能化成关于 的二次函数，注意对数的运算法则； (2)注意挖掘隐含条件“”；（ 3）掌握复合函数最值问题的求解方法。0a解： )(log)(l22axya )log1)(l2(1xaa= ， ，且814y8当 即 时，23logxa23a81miny ，又 最大值是 ， ，32100 即 ， log0logxxaa或 ax12或 )41(2a或 21a
