1、专题一 函数复习一、函数1、 （1）映射的概念：设 、 是两个非空集合，如果存在一个法则 ，使得对XYf中每个元素 ，按法则 ，在 中有唯一确定的元素 与之对应，则称 为Xxf y从 到 的映射，记作 其中 称为元素 (在映射 下)的像，并Y,:xf记作 ，即 。元素 称为元素 (在映射 下)的一个原像，集合)(xf)(xfyyf称为映射 的定义域，记为 ，即 ， 中所有元素的像所组成的集XfDXf合称为映射 的值域，记作 或 ，即 。ffR)( |)(XxffR（1）映射的理解映射三要素：集合 ,集合 ,对应法则 ，即定义域，值域，对应法则。XYf对于每个 ，元素 的像 是唯一的；而对每个
2、，元素 的原像不xxyfyy一定是唯一的；映射 的值域 是 的一个子集，即 不一定 。ffR,YRfYf（3）设 是从集合 到集合 的映射，若 中任一元素 都是 中某元素的像，fXYyX则称 为 到 上的映射或满射；Y2、函数的概念(1)函数的定义：设 BA、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 中的每一个数 x，在集合 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 到 的一个函数，通常记为 Axfy),(2)函数的定义域、值域在函数 Axfy),(中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做 )(xfy的定义域；与 的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合 f)(称为函数)(
3、xfy的值域。(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(4) 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。5、反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值yx与之对应，故
4、单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。()0)fx（2）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。函数 的图象与其反函数 的图象关于直线()yfx1()yfx对称，注意函数 的图象与 的图象相同。互为反函数的yx 1()f两个函数具有相同的单调性和奇函数性。设 的定义域为 A，值域为 B，x则有 ， ，但 。1()fxB1()fx)A11()()ffx2、函数的单调性1、函数的单调性定义：设函数 )(xfy的定义域为 A，区间 I，如果对于区间 I内的任意两个值 1x，2x，当 21时，都有 )(21xff，那么
5、就说 )(xfy在区间 上是单调增函数， I称为 )(xy的单调增区间；如果对于区间 I内的任意两个值 1x，2x，当 21时，都有 )(21xff，那么就说 )(xfy在区间 I上是单调减函数， I称为 )(xy的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数 )(xfy，如果在某区间 I上 0)(xf，那么 )(xf为区间 I上的增函数；如果在某区间 I上 0f，那么 为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义法（取值作差变形定号） ；导数法,在区间 内，(,)ab若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，()0fx()fx()fx(,)则 ， （
6、2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等，特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(0byax)，减区间为 . (,0)(ba（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减（4）若 )(xf与 g在定义域内都是增函数（减函数） ，那么 )(xgf在其公共定义域内是增函数（减函数） 。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的 1x， 2有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(211xx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制
7、，如函数y分别在 )0,(和 ),(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即 ),(内是单调递减的，只能说函数 xy1的单调递减区间为0和 。4、函数的最大（小）值设函数 )(xfy的定义域为 A， 如果存在定值 Ax0，使得对于任意 Ax，有)(0f恒成立，那么称 )(0xf为 )(fy的最大值；如果存在定值 0，使得对于任意 x，有 恒成立，那么称 )(0xf为 )(xfy的最小值。3、函数的奇偶性1、函数的奇偶性的定义：对 于 函 数 )(xf的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有)(xff 或 0)(xff ，则称 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对 于 函 数 的
8、 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 )(xff 或0)(xff ，则称 )(xf为偶函数. 偶函数的图象关于 y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断 ()fxf（2）利用定义的等价形式, ， （ ）0f(1)xf()0f（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称y3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单
9、调性恰恰相反.（2）若奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为奇函()fx(0)f()0f()fx数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 是定义域为 R 的任一函数， )(xf， 。()2fxF()2Gx（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇+()fg12,D奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇四、函数的周期性1、函数的周期性的定义：对于函数 )(xf，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x值，
10、都满足 T，那么函数 )(xf就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。2周期性的性质（1）若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函()yfx,()xab()yfx数，且一周期为 ；2|ab（2）若 图像有两个对称中心 ，则 是周期()yfx(,0),()ABa()yfx函数，且一周期为 ；|T（3）如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，()f (,)()ba则函数 必是周期函数，且一周期为 ；yfx 4|Tab（4）若 f(x+a)=f(x+b) 则 T=|b-a|；函数 满足 ，则()fxxf()fx是周期为 2 的周期函数；若 恒成立，则 ；若a1()(0)fxaf2Ta恒
11、成立，则 ；1()(0)fxaf2Ta5、二次函数1、二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a0)。(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h) 2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。2二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴 ，顶点坐ab2标 )4,(abc（1）a0 时，抛物线开口向上，函数在 上单调递减，在 上2,(ab),单调递增， 时， ；abx2acxf4)(min（2）a0) ，(1)x1,x2
12、,则0)(2/afb0)(/afb(3) (0(0(0(0)的解集为 或者是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(,)(,)(,)6、指数与指数函数1、指数运算； ； ； ；mna1mna0rsrsa(0,)asQ、 (rsra；(0,)rsQ、 (rsb(,)、2.指数函数： （ ） ，定义域 R，值域为（ ）.当 ，指xay0,1,01a数函数： 在定义域上为增函数；当 ，指数函数： 在定义域01axy上为减函数.当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相xayy反.7、对数与对数函数1、对数运算：； ；log()loglaaaMNNlogllogaaaMNllognaa
13、M； ； ； ；1llnaala llba换 底 公 式 ：loglog1abc推 论 ：2对数函数：如果 （ ）的 次幂等于 ，就是 ，数 就叫做以a0,1bNNabb为底的 的对数，记作 （ ，负数和零没有对数） ；其中 叫aNNalog,1aa底数， 叫真数.当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.1xyalx08、幂函数1、幂函数的概念：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数()Rx2、幂函数的图像及性质 yx2yx3y12y1yx定义域 R R R |0x|0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇第象限增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象
14、限单调递增第象限单调递减幂函数 的图像在第一象限的分布规律yx(,)R是 常 数是：所有幂函数 的图像都过点 ；(,)x是 常 数 (1,)当 时函数 的图像都过原点 ；0y(0,当 时， 的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 ） ；1x 2c当 时， 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如 ）2,3y 1当 时， 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如 ）x 3c当 时， 的的图像不过原点 ，且在第一象限是“下滑”曲线1y(0,)（如 ）4c3、幂函数性质的拓展当 时，幂函数 有下列性质：0yx（1）图象都通过点 ， ；(0,)1,（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内， 时，图象
15、是向下凸的； 时，图象是向上凸的；10（4）在第一象限内，过点 后，图象向右上方无限伸展。(1,)当 时，幂函数 有下列性质：0yx（1）图象都通过点 ；(1,)（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近；向右无限地与 轴无限地接yx近；（4）在第一象限内，过点 后， 越大，图象下落的速度越快。(1,)无论 取任何实数，幂函数 的图象必然经过第一象限，并且一定不经过yx第四象限。9、函数图象1、 函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域
16、；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要把表列在关键处，要把线连在恰当处 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换
17、：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数 ()fa的图像可以把函数 ()yfx的图像沿 x轴方向向左 (0)a或向右 0平移 |个单位即可得到；1）y=f(x)h左 移y=f(x+h)；2）y =f(x) h右 移y=f(xh)；、竖直平移：函数 的图像可以把函数 ()yfx的图像沿 x轴方向向上 (0)a或向下 (0)a平移 |个单位即可得到；1）y=f(x) h上 移y=f(x)+h；2）y =f(x) h下 移y=f(x)h 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j。对称变换：、函数 的图像可以将函数 ()fx的图像关于 y轴对称即可得到；y =f(x) 轴
18、yy=f(x)、函数 的图像可以将函数 ()yfx的图像关于 x轴对称即可得到；y=f(x) 轴y= f(x)、函数 ()yfx的图像可以将函数 ()yfx的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原 点y= f(x)、函数 )(yfx的图像可以将函数 的图像关于直线 yx对称得到。y=f(x) xy直 线x=f(y)、函数 )2(xafy的图像可以将函数 的图像关于直线 ax对称即可得到；y=f(x) 直 线y=f(2ax)。翻折变换：、函数 |()|fx的图像可以将函数 ()yfx的图像的 x轴下方部分沿 x轴翻折到 x轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留 f的 轴上方部分即可得到； y=f
19、(x) cbaoy x y=|f(x)| cbaoy x、函数 (|)yfx的图像可以将函数 ()yf的图像右边沿 y轴翻折到 y轴左边替代原 轴左边部分并保留 ()fx在 轴右边部分即可得到 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y=f(x) cbaoy x y=f(|x|) cbaoy x伸缩变换：、函数 ()yfx0的图像可以将函数 ()yf的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 1a或压缩（ 1a）为原来的 a倍得到；y =f(x)ayy=af(x)、函数 ()yfx0的图像可以将函数 ()fx的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 或压缩（ ）为原来的 1a倍得到 f(x)
20、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =f(x)axy=f( )（ 3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。10、函数与方程1、函数零点概念：对于函数 )(Dxfy，把使 0)(xf成立的实数 x叫做函数)(xfy的零点。函数零点的意义：函数 )(xfy的零点就是方程 )(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与 x轴交点的横坐标。即：方程 0有实数根 函数的图象与 轴有交点 函数 )(xfy有零点。零点存在性定理：如果函数 )(f在区间 ,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)(bfa，那么函数 )(xfy在区间 ),(内有零点。既存在),(c，使得 c，这个
21、 c也就是方程的根。2、两个函数 ()yfx与 ()ygx图象交点的横坐标就是方程 ()fxg的解；反之，要求方程 的解，也只要求函数 yf与 y图象交点的横坐标11、抽象函数1、抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： - ；()0)fxk()()fxyfy幂函数型： - ， ；2()fxyx指数函数型： -()xfa， ； ()fxyy()fy对数函数型： - ， ； ()logafx()fxfy()()xffy三角函数型： - tnf1()ffx（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 表示 除以 3 的余数，则对任意的 ，都有 ()fxNx,yN
