1、 第十三讲 圆的基本性质 在课内同学们已学了圆的许多基本性质，在此基础上，我们再补充一些与圆有关的性质 13 1圆内角与圆外角 与圆有关的角我们学习过圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对 (或夹 )的弧的度 数之间的关系 如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，如图 3 28中的 APB即为圆内角圆内角的大小究竟与弧有何关系呢？延长 AP， BP分别交圆于 C， D两点，再连结 AD，则 APB= A+ D因为 所以 即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半，其中圆心角是特殊的圆内角 如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角，如图 3 29
2、中的 APB即为圆外角，圆外角的度数与它所夹两弧的度数有关连结 AD，则 P= CAD- D因为 所以 即圆外角的 度数等于它所夹两弧度数差的一半 13 2圆内接多边形 1圆内接三角形与正弦定理 在前一讲中我们介绍了正弦定理，利用三角形的外接圆不但可以证明正弦定理，而且还能得出更完满的结果 如图 3 30所示设 O为 ABC的外接圆， O的半径为 R，连接 BO并延长交 O于 A，连结 A C，则 A= A，且 A CB=90，所以 上面这个等式就是正弦定理，它说明任意一个三角形中，一边与其所对的角的正弦值之比都等于该三角形的外接圆的直径 2圆内接四边形与四点共圆 任意一个三角形都存在外接圆，
3、但是任意一个四边形不一定存在外接圆什么样的四边形外接于圆呢？我们知道，圆内接四边形对角互补，这个性质定理的逆命题就是圆内接四边形的判定定理，即对角互补的四边形是圆内接四边形我们学过圆的这个性质：同弧所对的圆周角相等，如图 3 31中 A， B， C， A在圆 O上，则 A= A这个性质的逆命题就是四点共圆的判定定理，即具有公共边的且同侧公共边所对的角相等的两个三角形共圆，如图 3 32所示ABC与 A BC中 A= A，则 A， B， C， A四点共圆 13 3圆外切多边形的性质及判定 1三角形内切圆半径 如图 3 33所示， O是 ABC的内切圆， D， E，F为切点，设内切圆半径为 r，连
4、接 AO， BO， CO，则有 若 ABC为直角三角形，如图 3 34所示， I为其内切圆， D， E， F为切点由切线长定理知， AD=AF，BD=BE， CE=CF，所以有 AC+BC-AB=CF+CE 又因为四边形 IECF是边长为 r的正方形，所以 CF+CE=2r， 即直角三角形内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半 2圆外切四边形 根据切 线长定理可推出，圆外切四边形两组对边和相等，即 AD+BC=AB+CD(如图 3 35所示 ) 若圆外切四边形是梯形，则圆外切梯形两底和等于两腰和特别地，圆外切等腰梯形的腰长等于中位线的长 (如图 3 36所示 ) 我们知道，任意一个三角形既有
5、外接圆也有内切圆，但是任意一个四边形不一定有外接圆，也不一定有内切圆，只有两组对边和相等的四边形才有内切圆 下面通过例题，进一步说明与圆有关的常见的一些问题的思路和解法 例 1 已知 O的半径 r=4， AB， CD为 O的两条弦， AB， CD的长分别是方程 的两根 ，其中 AB CD，且 AB CD求 AB与 CD间的距离 分析 解一元二次方程求得方程两根，从而得出弦 AB与 CD的长，由弦长及半径可求出每条弦的弦心距若 AB， CD位于圆心同侧，则两弦间距离等于弦心距的差；若 AB， CD位于圆心异侧，则两弦间距离等于弦心距之和 解 由方程 所以 作 OF CD于 F，因为 AB CD，
6、所以 OF AB，设垂足为 E (1)若 AB， CD位于圆心 O的同侧 (图 3 37(a)，则AB与 CD间的 (2)若 AB， CD位于圆心 O的异侧 (图 3 37(b)，则AB与 CD间的距离 说明 (1)垂径定理在与弦长有关的计算或证明中是经常使用的，应注意 (2)注意运用分类讨论的思想，将符合条件的图形间的不同位置关系逐一考查 例 2 已知 ABC内接于 O， B=60， AD是直径，过 D点 分析 在 ABC中，只知道 AB的长度及 B的大小，是无法确定 BC的长的因为 AD是直径， DE是O的切线，所以 DE AD若连接 DC，则 ADC=B=60，且 DCE=90， CDE
7、=30，这样 DCE可解，求出 DE边以后可利用切割线定理求出 AC的长，或者求出 DC边后利用射影定理求出 AC，这样由ABC可解出 BC的长 解 连结 DC因为 AD为 O的直径， DE切 O于 D，所以 AD DE， ACD=90 又因为 ADC= B=60， 所以 CDE=90 -60 =30 因为 DC2=AC CE(射影定理 )， 在 ABC中，根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB BC cosB 设 BC=x，则 22+x2-4x cos60 =6， 整理得 x2-2x-2=0， 说明 本题已知条件中虽然给出了两条线段的长度及一个角的大 小，但是这些已知量没有集中在同一
8、个三角形中，所以图中各个三角形都无法求解，这时应通过作适当的辅助线，将这些已知量尽可能地转移到同一个三角形中 另外，在求出 AC后，问题转化为在 ABC中已知两边及一对角求另一边，用余弦定理列出一元二次方程， BC的情况完全由方程确定，也可以通过 A点向 BC边作高线 AF，转化为解直角三角形的问题应注意，垂足 F究竟落在 BC上还是落在 BC的延长线上，因此，应分类讨论 例 3 如图 3 39所示已知 O的外切 ABC，AB， BC， AC边上的切点为 M， D， N， MN与直线 DO交于 E，连 接 AE并延长交 BC于 F求证： BF=CF 分析 若证 F是 BC的中点，因为 ED与
9、BC垂直，因此考虑将 MN绕 E点旋转到与 BC平行的位置，即 MN，这时只要 E点是 M N的中点，结论即可得出 证 过 E点作 M N BC，交 AB于 M，交 AC于 N，连结 OM， ON， OM， ON因为 O是ABC的内切圆，且 D， M， N为切点，所以 OMM = ODB=90 因为 OEM = ODB， 所以 OMM = OEM， 所以 O， E， M， M四点共圆，所以 OME= OM E 同理， O， E， N， N四点共圆，所以 ONE= ON E 因为 OM=ON，所以 OME= ONE， OM E= ON E， OM =ON， EM =EN 因为 M N BC， 所
10、以 BF=FC 例 4 如图 3 40所示在半径为 1的 O中，引两条互相垂直的直径 AE和 BF，在 EF上取点 C，弦 AC交BF于 P，弦 CB交 AE于 Q证明：四边形 APQB的面积是 1 正方形面积为 2而 ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明 S APQB=S ABD，即证 S BPD=S BPQ，即证 DQ PB因为 BP AE，所以，只需证 DQ AE 证 因为 AE， BF为互相垂直的两条直径，垂足 O为圆心，所以 AE， BF互相平分、垂直且相等，所以四边形 ABEF是正方形所以 ACB= AEF=45， 即 DCQ= QED， 所以 D， Q， E， C四点共
11、圆连接 CE， DQ，则 DCE+ DQE=180因为 AE为 O的直径，所以 DCE=90， DQE=90 因为 FOE=90，进而 DQ BF，所以 S BPQ=S BPD， 所以 S ABP+S BPQ=S ABP+S BPD， 即 SABQP=S ABD 说明 当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法 练习十三 任一点，自 M向弦 BC引垂线，垂足为 D求证：AB+BD=DC 2如图 3 42所示 P是 ABC的外接圆上一点，由 P向边 BC， CA， AB引垂线，垂足分别是 D， E， F求证： D， E， F三点共线 3如图 3 43所示 AB为半圆 O的直径，经过 A，B引弦 AC与 BD，设两弦交于 E，又过 C， D分别引 O的切线交于点 P，连接 PE求证： PE AB
