1、1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)在第一象限 0,yx点 P(x,y)在第二象限 点 P(x,y)在第三象限 ,点 P(x,y)在第四象限 yx1
2、常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 在某一范围的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x是自变量，y 是 x 的函数3自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数(2)分式：分母不为零(3)偶次方根：被开方数为非负数(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当 xa 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做 xa 时的函数值 简单说：就是 X 与 y 的对应值5函数的表示法(1)解析法；(2)列表法；(3) 图象法
3、6函数的图象把自变量 x 的一个值和函数 y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 （k，b 是常数，k 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。xy特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， （k 为常数，k 0） 。这时
4、，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像是经过原点（0，0）的直线。kxy kxyk 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征b0y0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。k0b0y0 x图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小K0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的
5、取值范围是 x 0，y 的取值范围是 y 0；当 k0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最ab2小值， cy4最 小 值（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之
6、的值越小，开口越0大； 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越a大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决aa定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧002y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；ba当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；002y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧ba总结起来，在 确
7、定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，aax2y0aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为0cyxy负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置cy总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析
8、式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的24x120AxB， ， ， 12()x是一元二次方程 的两根这两点间的距离12
9、x， 20abca. 2214AB 当 时，图象与 轴只有一个交点； 0x 当 时，图象与 轴没有交点.当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1ax0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 20x 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中2yaxbcabc， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合；abc
10、 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x0抛物线与 轴有x二次三项式的值可正、 一元二次方程有两个不相等实根 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母2(0)axbc的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的x0a图像参考：y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2两个交点 可零、可负0抛物线与 轴只x有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与 轴无交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2十一、函数的应用1、已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则 的x 2)2(mxy m值是： 2、已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求这条抛物线的解析式。35
