第十九讲几何图形的计数问题.DOC

1、第十九讲 几何图形的计数问题 在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真 分析 ，还是可以找到一些处理方法的常用的方法 有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等 例 1 如图 1 65所示，数一数图中有多少条不同的线段？ 解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分 5类分别计数： (1)以 A为左端点的线段有 AB， AC， AD， AE， AF共 5条； (2)以 B为左端点的线段有 BC， BD， BE， BF共 4条； (3)以 C为

2、左端点的线段有 CD， CE， CF共 3条； (4)以 D为左端点的线段有 DE， DF共 2条； (5)以 E为左端点的线段只有 EF一条 所以，不同的线段一共有 5+4+3+2+1=15(条 ) 一般地，如果一条线段上有 n+1个点 (包括两个端点 )，那么这 n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+ +2+1=n(n+1)/2 例 2 图 1 66中有多少个三角形？ 解 以 OA为一边的三角形有 OAB， OAC， OAD， OAE， OAF共 5个；以 OB为一边的三角形还有 4个 (前面已计数过的不再数，下同 )，它们是 OBC， OBD， OBE， OBF；以

3、OC为一边的三角形有 OCD，OCE， OCF共 3个；以 OD为一边的三角形有 ODE， ODF共 2个；以 OE为一边的三角形有 OEF一个所以，共有三角形 5+4+3+2+1=15(个 ) 说明 其实，不同的三角形数目等于线段 AF中不同线段的条数一般地，当原三角形的一条边上有 n+1个点 (包括两端点 )时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为 n+(n-1)+ +2+1=n(n+1)/2. 例 3(1)图 1 67中一共有多少个长方形？ (2)所有这些长方形的面积和是多少？ 解 (1)图中长的一边有 5个分点 (包括端点 )，所以，长的一边上不同的线段共有 1+2+3+4=10(

4、条 ) 同样，宽的一边上不同的线段也有 10条 所以， 共有长方形 10 10=100(个 ) (2)因为长的一边上的 10条线段长分别为 5， 17， 25， 26， 12， 20， 21， 8， 9， 1， 宽的一边上的 10条线段长分别为 2， 6， 13， 16， 4， 11， 14， 7， 10， 3 所以，所有长方形面积和为 (5 2+5 6+ +5 3) +(17 2+17 6+ +17 3) + +(1 2+1 6+ +1 3) =(5+17+ +1) (2+6+ +3) = 144 86=12384 例 4 图 1 68中共有多少个三角形？ 解 显然三角形可分为尖向上与尖向下

5、两大类， 两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为 6类：最大的三角形 1个 (即 ABC)， 第二大的三角形有 1+2=3(个 )， 第三大的三角形有 1+2+3=6(个 )， 第四大的三角形有 1+2+3+4=10(个 )， 第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15(个 )， 最小的三角形有 1+2+3+4+5+6+3=24(个 ) 我们的计数是有规律的当然，要注意在 ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形 (左、右、下各一个 )，所以最小的三角形不是 21个而是 24个 于是尖向上的三角形共 1+3+6+10+15+24=59(个 ) 图中共有三角形 59 2=118(个 ) 例

6、5 图 1 69中有多少个等腰直角三角形？ 解 图 1 69中有 5 5+4 4=41 个点在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数因此，共有等腰直角三角形 4 8+5 16+6 4+10 4+8 4+11 4+16 1 =268(个 ) 例 6(1)图 1 70(a)中有多少个三角形？ (2)图 1 70(b)中又有多少个三角形？ 解 (1)图 1 70(a)中有 6条直线一般来说，每 3条直线能围成一个三角形，但是这 3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了 从 6条直线中选 3条，有 种选法 (见说明 )，每次选出的 3条直线围成一个三角形，但是在图

7、1 70(a)中，每个顶点处有 3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有 20-3=17 个三角形 (2)图 1 70(b)中有 7条直线，从 7条直线中选 3条，有 7 6 5/6=35 种选法每不过同一点的 3条直线构成一个三角形 图 1 70(b)中，有 2个顶点处有 3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有 4条直线通过，因为 4条直线中选 3条有 4种选法，即能构成 4个三角形， 现在这 4个三角形没有了，所以，图 1 70(b)中的三角形个数是 35-2-4=29(个 ) 说明 从 6条直线中选 2条，第一条有 6种选法，第二条有 5种选法，共有 6 5种选法但是每一种

8、被重复算了一次， 例如 l1l2与 l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是 6 5 2=15种 从 6条直线中选 3条，第一条有 6种选法，第二条有 5种选法，第三条有 4种选法，共有 6 5 4种选法但是每一种被重复计算了 6次，例如， 111213，111312， 121113， 121311， 131112， 131211实际上是同一种，所以， 不同的选法应为 6 5 4/6=20种 下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题 例 7 问 8条直线最多能把平面分成多少部分？ 解 1条直线最多将平面分成 2个部分； 2条直线最多将平面分成 4个部分；3条直线最多将平面分成 7个部分；

9、现在添上第 4条直线它与前面的 3条直线最多有 3个交点，这 3个交点将第 4条直线分成 4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图 1 71，所以 4条直线最多将平面分成 7+4=11个部分 完全类似地， 5条直线最多将平面分成 11+5=16个部分； 6条直线最多将平面分成 16+6=22个部分； 7条直线最多将平面分成 22+7=29个部分； 8条直线最多将平面分成 29+8=37个部分 所以， 8条直线最多将平面分成 37个部分 说明 一般地， n条直线最多将平面分成 个部分 例 8 平面上 5个圆最多能把平面分成多少个部分？ 解 1个圆最多能把平面分成 2个部分； 2个圆最多能

10、把平面分成 4个部分；3个圆最多能把平面分成 8个部分；现在加入第 4个圆，为了使分成的部分最多，第 4个圆必须与前面 3个圆都有两个交点如图 1 72所示因此得 6个交点，这 6个交点将第 4个圆的圆周分成 6段圆弧，而每一段圆弧将原来 的部分一分为二，即增加了一个部分，于是， 4个圆最多将平面分成 8+6=14个部分 同样道理， 5个圆最多将平面分成 14+8=22个部分 所以， 5个圆最多将平面分成 22个部分 说明 用上面类似的方法，我们可以计算出 n个圆最多分平面的部分数为 2+1 2+2 2+ +(n-1) 2 =2+2 1+2+ +(n-1) =n2-n+2 例 9 平面上 5个

11、圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？ 解 首先，由上题可知，平面上 5个圆最多能把平面分成 22个部分现在加入一条直线由于一条直线最多与一个圆有两个交 点，所以，一条直线与5个圆最多有 10个交点 10个点把这条直线分成了 11段，其中 9段在圆内， 2条射线在圆外 9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了 9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分所以，总共增加了 10个部分 因此， 5个圆和 1条直线，最多将平面分成 22+10=32个部分 例 10 平面上 5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？ 解 首先，由 例 7知， 5条直线最多将平面分成

12、16个部分 现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与 5条直线最多有 10个交点这 10个交点将圆周分成 10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以， 10段圆弧又把原来的部分增加了 10个部分 因此， 5条直线和一个圆，最多能把平面分成 16+10=26个部分 例 11 三角形 ABC内部有 1999个点，以顶点 A， B， C和这 1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？ 解 设 ABC内部的 n-1个点能把原三角形分割成 an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点 Pn之后的情况： (1)若点 Pn在某个小三角形的内部，如图 1 73(a)，则原小三角形的三个

13、顶点连同 Pn将这个小三角形一分为三 ，即增加了两个小三角形； (2)若点 Pn在某两个小三角形公共边上，如图 1 73(b)则这两个小三角形的顶点连同点 Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形 所以， ABC内部的 n个点把原三角形分割成的小三角形个数为 an=an-1+2 易知 a0=1，于是 a1=a0+2， a2=a1+2， an an-1+2 将上面这些式子相加，得 an=2n+1 所以，当 n=1999时，三个顶点 A， B， C和这 1999个内点能把原三角形分割成 2 1999+1=3999个小三角形 练习十九 1填空： (1)在圆周上有 7个点 A， B，

14、C， D， E， F和 G，连接每两个点的线段共可作出 _条 (2)已知 5条线段的长分别是 3， 5， 7， 9， 11，若每次以其中 3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形 _个 (3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为 4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有 _个 (4)以正七边形的 7个顶点中的任意 3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是 _ (5)平面上 10条直线最多能把平面分成 _个部分 (6)平面上 10个圆 最多能把平面分成 _个区域 2有一批长度分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取 3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是 11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？ 3图 1 74中有多少个三角形？ 4图 1 75中有多少个梯形？ 5在等边 ABC所在平面上找到这样一点 P，使 PAB， PBC， PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？ 6平面上有 10条直线，其中 4条直线交于一点，另有 4 条直线互相平行，这 10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？