1、7第 1 篇 塑性变形力学基础第 1 章 应力分析与应变分析1.1 应力与点的应力状态1.1.1 外力塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。例如锤上模锻，工件所受的惯性力向上，有利于材料填充上模，故常把形状复杂的型腔设置在上模。对
2、外力的研究，一般采用理论力学的静力平衡法来分析，即使是体积力如惯性力，也可转化为一种等效“静力” ，仍可采用静力平衡法来分析。1.1.2 内力内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。内在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内部各部分之间相互平衡的力。研究内力时，首先须用假想截面剖切物体，暴露出内力，视其为外力，然后再运用理论力学的静力
3、平衡方法来求解。1.1.3 应力应力是单位面积上的内力（见图 1-1） ，其定义式为：Sn=dP/dA （1.1）图 1-1 应力示意图 图 1-2 平行于坐标面上应力示意图8其中 dA 为假想截面某处的微面积， d P 为微面积上“作用 ”的内力。Sn 为力矢量。可以将 Sn 分解成平行于 dA 外法线 n 向的正应力 和“作用 ”在 dA 内的切应力 或者nn二个正交的切应力。特别是，当 dA 分别为平行于直角坐标系下三个坐标面时，其应力分解如图 1-2 所示。每个应力分量的符号带有两个下角标。第一个角标表示该应力分量所在的面（以外法线命名） ，第二个角标表示该应力所指的方向。正应力分量的
4、两个角标相同，一般可用一个下角标表示，如 可简写成 。xx切应力分量的正负号规定如下：外法线指向坐标轴正向的面为正面，反之为负面。在正面上，指向坐标轴正方向上的切应力分量为正；在负面上，指向坐标轴负方向上的切应力分量也为正。即两个角标同号为正，异号为负。正应力分量则以拉为正，压为负，由于单元体处于平衡状态，故绕单元体各坐标轴的合力矩为零，由此可得剪应力互等，即 ， ，yxxzz。zy1.1.4 点的应力状态应力是某点某方位单位作用面上所受的力，而过一点可以有无穷多个方位的面。这些方位作用面上的应力如何，这正是一点的应力状态所反映的问题。现考察变形体内任一点 M 某一斜面上的应力情况。设过 M
5、点三个坐标面上的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为 dx、dy、dz，以四面体近似表示点，从而斜面近似通过 M 点（见图 1-3） 。斜面外法线 n 的方向余弦分别为：（1. 2）zyxlnl令令令),cos(),(设斜面上的全应力为 Sn，它在三个坐标轴上的投影为 Sx， Sy， Sz。Sn 在 n 上的分量为 ，在作用面上的分量为 。列四面体的力平衡方程，即 有：nn 0,0zyzxzyzxyxxllSll （1. 3）或用矩阵形式表达成zyzxyxzyxS （1. 4）图 1-3 四面体受力示意图9常用求和约定简记成（1. 5）),( zyxjilSijj 式中，若 i=j， 表示正
6、应力； 时， 为剪切应力。于是：ij ij（1. 6）),( 22 zyxSixyxn（1. 7）), jillSl jiz （1. 8）2nn从上面可以看出，过 M 点任意斜面上的应力情况取决于 以及方向斜弦 。只要知ijil道三个坐标面上的应力 ，则该点任意斜面上的应力均可求出。因此一点的应力状态可ij用 来描述，即：ijzyxzzxyxij 中，行表示应力作用方向（或作用面） ，列表示应力作用面（或应力作用方向） 。ij称作应力张量。数学上可以证明 为一个二阶对称张量。ij ij假设四面体的斜面正好是物体的外表面，则（式 1.5） 、 （式 1.6） 、 （式 1.7） 、 （式1.8）
7、给出了应力边界条件，即表面上应力与物体内部应力的关系式。1.2 点的应力状态分析由前可知，过一点任意斜面上的应力情况取决于 与 li。当 给定后，应力大小只ijij与斜面的方位有关。改变方向，总可以得出一些特殊的应力值。1.2.1 主应力与应力张量不变量主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向。设主应力为 ，当 为主方向时，有 ， ， ，代入（式nxlSylzlS1.3） ，整理，有：0)()(zzyzxz yy zxyxxllll （1. 9）求解 的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得l,表示 x 方向表示 y 方向表示 z 方向表 表 表示
8、 示 示x y z平 平 平面 面 面10（1. 10）03213II其中 称作应力张量的第一、二、三不变量。321,I（1. 11）可以证明，式（1. 10）有三个不同的实根设为 且它们是相互正交的，习惯321,上有 的约定。321以上分析表明， 一定，主应力与 I1，I 2，I 3 的大小就完全确定。因此，一点的应ij力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时， 的表现形式最为简ij洁。同样 I1， I2， I3 的形式也可简化。不论坐标系怎样变化，一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。求得主应力 之后，代回式（1. 9）中的任意二式，再结合 ，便可求, 1il出 相对于 轴
9、的方向余弦。321,zyx1. 2. 2 主切应力改变方向，总有若干方向使 为主切应力，其作用面为主切平面。n若以主应力表示，则式（1. 8）为：（1. 12）23212321 )(llllln 求解 ，结合 ，可得以下六组解。0 , ,022321znnnlllil表 1.1 的极值解n组织方向余弦项目一 二 三 四 五 六zyxzzxyx xzyzxzyxIII321111l1 0 0 0 21212l0 1 0 21030 0 1 210n123)(32)(31)(210 0 0 前三组为主平面，其上的 为零，绝对值为极小。后三组为主切平面，其上的 绝n n对值为极大，其方向总是与主平面
10、成 45。当有 时，有最大剪切应力321（1. 13）31max21. 2. 3 八面体应力与等效应力在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。因为有： 31321ll由式（1. 7） ，式（1.12） ，有： 21323218 )()()(3借助于 I1， I2，又有：（1. 14）18)(Imzyx2183I（1. 15）)(6)()()( 222 zxyxxzzyyx 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力 （应变能相同的条件下） ，也e称相当应力。12823e)(6)()()(1 2
11、222 zxyxxzzyyx （1.16）至此，由引出了三种殊),( ),(ijnijn lflf应力面，如图 1-4 所示。它们是：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。：四组八面体面，构成正八面体。1.3 应力张量的分解与几何表示1. 3. 1 应力张量的分解塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把 分解成与体积变化有关ij的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设 为平均应力，则m有：（1. 17）13)(31Izyxm按照应力叠加原理， 具有可分解性。因此有：ijijmijijij )(（1. 18）),( zyxij
12、ij 式中，当 时， ；当 时， 。ji1ij0ij上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。值得一提的是， 只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充ijm分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。图 1-4 应力球与特殊面13应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 。321,I（1. ij zxyxxzzyyxzII )(6)()()(61 03 22222 19）表明应力偏张量已不含平均应力成份。 与屈服准则有关（见第二章） ，反01 2I映了物体形状变化的程度。 反映了变形的类型： 表示广义
13、拉伸变形； =0 表3I 033I示广义剪切变形， 0 表示广义压缩变形。31. 3. 2 主应力图表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。主应力图具有九种可能的组合，如图 1-5 所示。这九种组合也可从应力球张量与偏张量来加以理解。由，决定了 只可能有三种状态，而0iij也有三种可能，即 ，0 , ,0mm所以 应该有九种可能。ij主应力图是定性分析塑性加工时工件受力状况类型的一种手段。1. 3. 3 主应力空间与 面若以 为坐标轴，构成主应力空间，321,则一点的应力状态可用一矢量来表示，如图 1-6所示。 kjiOP321jmm)()(3kikONQ这是 为应力偏量对应的
14、矢量， 与 成等倾角，为应力球张量对应的矢量。321,可以证明 。 必正交于下列过原点的平面。 图 1-5 主应力图图 1-6 应力 平面14（1. 20）0321这是一个平均应力为零的平面，称为应力 平面。因 的三个分量 满足OQ321,下列关系（1. 21）032所以 总是在 平面内，可以用二个几何参数来表示。OQ，方向：与 成等倾角13INm321,方向： 平面内,2321e的方向可用 在 平面上投影 与OQ11的夹角 表示。 求法如下：将坐标系旋转，使 平面成水平面。如图 1-7 所示。过 Q点作以 为法线的平面，该平面与 O1投影面交于 AB，显然 AB 平面。则四1面体 OQBA
15、为直角四面体。而 )(321kjiOQ其中， 为 在 空间的方向余弦。由四面体几何关系，有31,21cos32/1 OBQA同理： )20cos(32)1(3所以图 1-7 平面与 角的关系15（1. 22）)120cos(32 cos3233211 eeeOQ三式相乘，得：)cos(2733eI（1. 23）3ar1eI于是，只要知道任意一点的应力状态 ，就可通过下式求出ij 321,（1. 24）)120cos(3cos32332211 mem引入应力空间和 平面后，使得一点的应力状态表示更为直观。尤其是 平面的引 入，可以使与塑性变形有关的应力表示和分析更为简单。1. 4 应力平衡微分方
16、程应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间 关系，可以通过微体沿坐标轴力ij平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。1.4.1 直角坐标下的平衡微分方程假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为 ， ),(zyxij ,(dxij（见图 1-8） 。假设 的连续可导则有),dzyij假设 连续可导，则有ij z)y,xkj,(i d),(),( kijijij xzyxzyx列六面体力平衡，则有008zyxzyxzzyxx （1. 25）16简记作或 （1. 26）0ijx,ij图 1-8 直角坐标系微体受力 图 1-9 柱坐标系下微体受力1. 4. 2 柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程对柱坐标系（图 1-9）平衡微分条件 ，有：0,0zr（1. 27）012)(11rzrrzrzzz T对球坐标系（图 1-10）平衡微分方程 ，有：, 0ctg231sin1 3t)(i 0ctg21sin1 P(1. 28)1. 5 应变与位移关系方程图 1-10 球坐标系微体受力示意
