1、简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简单无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分，它的计算是比较麻烦的。但对某些特殊情况，我们可通过作变量替换，将其转化为有理函数的不定积分，这样就可以用上述的方法计算。下面总假设 表示关于变量 的有理函数。),(yxRyx,1 型函数的不定积分。其中ndcba, 0bcad解法：作变量替换 ，即 ,于是ncxt dtxtctn)(,)(，ttRdxbaRn )(,转化为有理函数的不定积分。例 1求 dx145782分析：要把被积函数中的几个根式化为同次根式。， ， ，21471x7141x164788x15415x作变量替换 ，即 ，就可以把原
2、不定积分化为有理函数的不定积分。t dtt13,解：作变量替换 ，即 ，则14xx14 dtdttdx 51351672145782例 2求 x23)(解：设 则 ， ，所以,3tx31tdtd23)1( dtttd 3232323 14)(1)(122 型函数的不定积分，其中 （即方程 无重根）cbxaR2, 02acb02cbxa分两种情况讨论：（1） 时，方程 有两个不等的实数根 、0422cxa这时，设 ，即)()(2 xtxcbax，从而有 2t,)(22dtd 22)(tcba于是， dtttRxcbaxR 222 )()(, 这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例 3
3、求 2)1(xd解：方程 有两个根： ， ，设 ，022x12x)1(2xt则 ，即 ，于是 ，t121tdtd2)(623txCxttttxd 13312)(2)( 22（2） 时，方程 没有有实数根。此时， 、 同号（否则04acb02cbxaac） ，且 （否则 时， 没有意义） ，从而2 0设 ，则 ，或 ，此时ctxbax2 xct)(2tatcbx，从而dt)( dtctRxcbaxR)()(,2 这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分。例 4求 dx12解：设 ，或 ，即2txxt1212tx有 ， ，dttd2)1(22tx2t dttdxx 22 )1(21（3）当被
4、积函数是最简形式时，可用特殊的简单方法计算。例 5求 dx261例 6求 x542例 7求 d1)(二、三角函数的不定积分三角函数有理式的积分，即 型的积分，其计算方法的总思路就是把它转化为有理xR)sin,(co函数的不定积分。计算方法多种多样，有一种通用的计算方法万能代换。令 ，就有 ， 且2xtg.artg,12td，22secosini txx,1cos2tx21ttg于是 dttRdR22,)in,(化为了有理函数的不定积分。讲解课本例 8、例 9。补充例子：求 xdIcos1解：( 用万能代换 ) cxtgdttItg 21222还可以用其它的解法。解法 2：( 用初等化简 ) .
5、cxtgdxdxI 2)(sec2co2解法 3：( 用初等化简, 并凑微 )xdxdxI 222sincscos1.inctgttg可以看到，三角函数的不定积分的计算方法是比较灵活的，只要我们注意观察被积函数的特征，就能找到一些简便的计算方法。下面介绍一些特殊的有理三角函数的不定积分的简便计算方法。1如果 ，那么可设 即可)sin,(co)sin,co( xRxR xtsin例 10求 d46ita解： )(sinsi)1(sincosincot 323546 xdxx可见，在解题时不一定要“设” ，懂得“凑”就行了。2如果 ，那么设 即可)si,(co)si,(coxRxRxtcos例 1
6、1求 d45n解： )(coscs)1(cosi4245 xdx3如果 ，那么设 即可in,)in,(RR xtan例 12求 dx42cos1i解： xdxtant1tantcsinin 222424被积函数是形如 的三角函数，分两种情况：xmnoi（1）如果 n 与 m 至少有一个是奇数，那么 n 是奇数时设 ；m 是奇数时设 。xtcosxtsin例 13求 dxcsta3解： xdxdcoss1cossinointn 27272733（2）如果 n 与 m 都是偶数，则通过三角公式， ， 2cos1sin2xx2cos1s2xx2sin1coin将被积函数降幂、化简。例 14求 d42i解： dxxdxxx 2cos2cos182cos1s81cosn 32241835如果被积函数是形如 、 、 的函数，那么就用积化和差公式将nxmsinxcosi nxmcos被积函数化简。 sinco()co()2mx1sinsinxxcosc()c()xm例 15求 dx32os15s上面介绍的积分都是能积出来的，但并不是所有的积分都能积出来的。如， ， ，dxsinexlnex2这些不定积分按道理应该有结果，但他们都是“积不出来”的。主要原因他们是不能用初等函数来表示。（用上面方法计算的不定积分的结果都是初等函数。 ）
