1、1二六年全国高中数学联赛江西省预赛试卷答案及评分标准2006 年 9 月 24 日上午（830-1100）考生注意：1、本试卷共三大题（15 个小题），全卷满分 150分2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答3、解题书写不要超出装订线4、不能使用计算器一、 选择题（本题满分 36分，每小题 6分）本题共有 6小题，每小题均给出 A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0分.1函数 与 的定义域和值域都是 ，且都有反函数，则函数yfxygxR的反函数是（ ）yfg1.
2、 Afx 1.ByfgfxCyfD答：C.解：由 依次得1fgfx1, ,fygfxfyfx，互易 得 .1fy,2集合 由满足如下条件的函数 组成：当 时，有 Mfx12, ,x，对于两个函数 ，12124fxfx15fx以下关系中成立的是（ ）12.,;Aff12.,;BffM12.,;Cff12.,;DfMf答：D.2解： 2111121212fxfxxx124x，取 ，2121212ff 12, 9036则 .12212 12306xxfxf x124x中， 则比式 等于3. ABC,aAbBc:bcabacsin:sin .os:os2222C. tatact:ctAD答： D解：如
3、图易知， 2ot2bcr，2otBacrcCa因此选4抛物线 上两点 关于直线 对称，若 ，2yx12, ,AxyByxm12x则 的值是（ ）.2m3, .4, . 5, . 6ABCD答： 解：由 以及12121212, , yyxmxx221, yx得 ，221112,22myxx21114234xx5椭圆 的中心，右焦点，右顶点，右准线与 轴的交点依次为21 0aba，则 的最大值为（ ）.,OFGHD IBAC3不能确定.11., . , . , 234ABCD答： C解： .（ 时取等号）22141FGaceOHe2e6函数 的值域为（ ）3fxx3. 1,2 . 1, C. 1,
4、 D. 1,22AB答： .D解： 的定义域为 则 ，令 ，则fx34,x03x2sin, 0x2sin1sin3cosin()3因 ，则 .5361(), ()223二、填空题（本题满分 54分，每小题 9分）本题共有 6小题，要求直接将答案写在横线上.7若 ，则 .21cos4in334cosin答： .9解：由条件得， 22si, cos14, cos1则 .334cosin98数列 由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数 连续出现: 1,5,nx k次， ，如果这个数列的通项公式为 ，则 k3 nxabcdabcd答： .解：由 ，即当 时， 22211kkkxx 221kk1nx
5、k，所以 ，于是，nn,1,3abcdabcd9 为实数，满足 ，则 的最大值为 .,xy2xy22xy4答： .2解：设 ，则cos,in, 01, xryrr2222scosinsicos2r，（当 时取等号）.2sin()4r1, 4r10若集合 中的每个元素都可表为 中两个不同的数之积，则集 中元素个数的A,29 A最大值为 .答： .31解：从 中每次取一对作乘积，共得 个值，但其中有重复，重复的情况为,29 2936C，共 种，因此集合 中至多6 84, =36, 4, 85A有 个数 .29531C11作出正四面体每个面的中位线，共得 条线段，在这些线段中，相互成异面直线的12“
6、线段对”有 个.答： 个“线段对”.24解：任取一条中位线 考虑， 所在的侧面没有与 异面的线段；含点 的另一个侧面恰ABABA有一条中位线与 异面；含点 的另一个侧面恰有一条中位线与 异面；不含 的侧面,B恰有两条中位线与 异面；因此与 异面的中位线共有 条，即含有线段 的异面“线段4对”共有 个，于是得异面“线段对” 个，（其中有重复）.41248但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得 个异面“线段对”.82412用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种.答： 种. 10
7、2解： 将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。设有 个扇形格的圆盘染五色的方法数k为 ，则有x E D CBA ED CB A5，于是1154kkx5432xxx432510三、解答题（本题满分 60分，每小题 20分）13设 为正数，证明：12,na 233nnnaaa 12349证：对 归纳， 时显然成立等号；设 时结论对于任意 个正数成立，n1kk当 时，对于任意 个正数 ，据假设有kk121,a，5 分2231313419kkk kaaaa 所以 22311k k 21149a 只要证， 22231214()k k ka aa 1平方整理，只要证， 10 分21
8、2123123414k k kaaaa 2由柯西不等式 2 231k ka 15 分22341123kkaaa即 2 21 12341()k k ka 所以 1223 即 成立，因此当 时结论成立.故由归纳法知，所 2 nk证不等式成立. 20 分14三角形 中， 是 的中点， 、 、ABC,MBCDE分别是 边上的点，且 的外接 圆 F, ,AEF 一一一一EF PMB CAD6交 线 段 于 若点 满足：AD,P2PDEF证明： BMC证明：在圆 中，由于弦 故圆周角EF,A，因此， 0182APBC、 、 、 与 、 、 、 分别共圆，于是 DBPE5 分,FEC设点 在边 上的射影分别
9、为 、 、 ，A1AB1C则 ，故由 得，1PD1EB1PF2DPEF2AC 1设 的内心为 今证 四点共圆：,I,IC连 因 分别共圆，1,B11PAB则 ，00188CAPB又由 ， ， 所以 1 1PBA11C因此 11,PBA而 所以1,CPBC因为 11,1,I故得,2PBIAIA，因此 、 、 、 四点共圆，于是CIBPC10 分00918,延长 AM 交 的外接圆于 则 AO 为该外接圆的直A,O 一一一一ITGDOMB CAP(一一一A1PBACIDC1 B17径, 于是 且 因此, 点 O 是 所在圆的圆心, 从,OBACOBICBIPC而 为O 的切线. 延长 AD 交O
10、于 T, 则 ,所以 , 又由 ,得PATTPATB, 因 故 . 15 分PBACB延长 到 ,使 ，则 为平行四边形,MGCG. 180oTP由 得 . CB 4由 、 得 4 TC所以， , 即 BPM= CPD . 20 分PGP15数列 满足： ，（其中 表示 的整数部na01,2,3nas x分， ），试求 的值.0,1,2kis 206解：观察数列开初的一些项： n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20a1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8ns1 2 3 4 6 8 1
11、0 13 16 20 24 28 33 38 44 50 57 64 72 80 88我们注意到，数列 严格单增，每个正整数 ，顺次在数列 中出现，并且除了首n 1,2 na项 之外，每个形如 的数连续出现三次，其它数各连续出现两次.5 分0a,0,k一般地，我们可证明数列 的以下性质：na若记 ，则 ,1.,k12,km212kmma若记 则当 时，有 10 分20kr00112.krmra对 归纳.据上面所列出的项可知，当 时结论成立.设性质 对于 成立，即在k ,n时， ，则1nm212nmma8012021323nnnmsa 再对满足 的 归纳：nr当 时，由于 ，则 ，22nms11
12、nmas因为 ，则2114nmssa22nms设当 时，均有 ，则当 时，因为rp22mrrnrp2134212m mms aa3nnnn 31nnp 1则 ，2210mpsp240mps即有 ，所以21nnms212npa由于 221 1nnmppsa2p所以 1nmas故由归纳法，当 时，,2nr212nmrra特别是，当 时，上式成为 2nr22nnna 2又由 ， 当 ，有 1 3,mrsrr 1,nr221 1nnnn 221nn所以 221nnas 3由 可知，对于 当 时，亦有 2 3 ,kkn，从而性质 成立. 15 分1mm2因为 ，取 ，则 ， ，0126210m9k20648mr因此 . 20 分90654869mra
