1、【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线章节复习二. 重点、难点：1. 重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质2. 难点：直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用三. 知识结构：【典型例题】例 1 已知 ，试讨论当 的值变化时，方程 表示曲线的形状。解：（1）当 时，方程为 ，即 ，表示两条平行于 轴的直线。（2）当 时， ，方程可化为 ，表示焦点在 轴上的椭圆。（3）当 时，方程为 ，表示圆心在原点，半径为 的圆。（4）当 时， ，方程 表示焦点在轴上的椭圆。（5）当 时，方程化为 ，表示两条平行于 轴的直线。（6）当 时， ， ，方程 表示焦点在 轴上的双曲线。例
2、2 已知双曲线的中心在原点，焦点 、 在坐标轴上，一条渐近线方程为 ，且过点（4， ）。（1）求双曲线方程；（2）若点 M（3， ）在此双曲线上，求 ；（3）求 的面积。解：（1）由题意知，双曲线的方程是标准方程 双曲线的一条渐近线方程为 设双曲线方程为把点（4， ）代入双曲线方程得 ， 所求双曲线方程为（2）由（1）知双曲线方程为 双曲线的焦点为 、 M 点在双曲线上 ， （3） 为直角三角形 例 3 已知抛物线 的焦点为 A，以 B（ ）为圆心， 长为半径，在 轴上方的半圆交抛物线于不同的两点 M、N，P 是 MN 的中点。（1）求 的值；（2）是否存在这样的 值，使 、 、 成等差数列？
3、解：如下图，A（ ） 圆的方程为与 联立得 解得设 则 ， （2）设 P（ ），则 ， 若 、 成等差数列，则 解得 ，这与 矛盾故不存在 ，使 成等差数列例 4 已知双曲线 与点 P（1，2），过 P 点作直线 与双曲线交于 A、B 两点，若 P 为 AB 的中点。（1）求直线 AB 的方程；（2）若 Q（1，1），证明：不存在以 Q 为中点的弦。方法一：（1）解：设过 P（1，2）点的直线为 ，代入双曲线方程得由线段 AB 中点为 P（1，2） 解得 ，又 时，使 从而直线 AB 方程为（2）证明：按同样方法求得 ，而 使 ，所以直线 CD 不存在方法二：设 A（ ）、B（ ）， ， 得：
4、 写出直线方程 ，即 ，检验与双曲线有交点例 5 已知双曲线 （ ， ）的左、右两个焦点分别为 F1、F 2，P 是它左支上一点，P 到左准线的距离为 ，双曲线的一条渐近线为 ，问是否存在点P，使 、 、 成等比数列？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由。解：假设存在点 P（ ）满足题中条件 双曲线的一条渐近线为 ， ， 即由 ，得 双曲线的两准线方程为 点 P 在双曲线的左支上 代入得 ，代入 ，得 存在点 P 使 成等比数列，点 P 的坐标是（ ）例 6 如图，直线 和 相交于点 M， ，点 N ，以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 的距离与到点 N 的距离相等。若 为
5、锐角三角形， ，=3，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程。解：方法一：以 为 轴，MN 的中点 O 为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线段 C 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点 N 是该抛物线的焦点，是准线。所以可令抛物线的方程为 ，过点 A 作 ， ，垂足分别为 Q 和 E，由于 是锐角三角形，则点 E 必在线段 MN 上。所以， 抛物线方程为由上述可知， ，点 B 到准线 的距离为 6，则点 B 的横坐标为 4，又曲线段在 轴上方，故曲线段 C 的方程为方法二：以 为 轴， 为 轴建立如下图的直角坐标系，其中 M 点为原点，这时焦点 N 在 轴上，顶点 应
6、是线段 MN 的中点。令曲线段 C 所在的抛物线方程为：设则：由（1）（2）得 代入（1）得 代入（3）得 曲线段 C 的方程为例 7 设 分别为椭圆 C： （ ）的左、右两个焦点。（1）若椭圆 C 上的点 A（1， ）到 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点。求线段 F1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 时，那么 与 之积是与点 P 位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：（1
7、）椭圆 C 的焦点在 轴上 椭圆上的点 A 到 两点的距离和是 4，得，即又 点 A（ ）在椭圆上 ，得 椭圆 C 的方程为 ，焦点为 、（2）设椭圆 C 上的动点为 K（ ），线段 F1K 的中点 Q（ ）满足： 因此 即 为所求的轨迹方程（3）类似的性质为：若 M、N 是双曲线 上关于原点对称的两个点，点 P是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与之积是与点 P 位置无关的定值。证明如下：设点 M 的坐标为（ ），则点 N 的坐标为（ ），其中 。又设点 P 的坐标为（ ），由 ，= ，得将 ， ，代入得 ，命题得证。例 8 直线 ： 与双曲线 C：
8、的右支交于不同的两点 A、B 。（1）求实数 的取值范围；（2）是否存在实数 ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。解：（1）将直线 的方程 代入双曲线 C 的方程 后，整理，得，依题意，直线 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故解得 的取值范围为（2）设 A、B 两点的坐标分别为 ，则由式得，假设存在实数 ，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（ ），则由 FAFB 得即整理得 把式及 代入式化简得解得 或 （舍去）可得 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。【模拟试题】（答题时间：60 分钟）
9、一. 选择题1. 椭圆 的一条准线为 ，则椭圆的离心率 等于（ ）A. B. C. D. 2. 双曲线 的离心率 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 若椭圆 和双曲线 有相同的左、右焦点 、 ，P 是两条曲线的一个交点，则 的值是（ ）A. B. C. D. 4. 双曲线 的焦点为 、 ，弦 AB 过 且两端点在双曲线的一支上，若，则 （ ）A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 不为定值5. 设 P 是椭圆 上一点， 、 是椭圆的两个焦点，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 6. 若点 P 在抛物线 上，点 Q 在圆 上，则 的最小值为（ ）A. B. C.
10、 D. 7. 抛物线 上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 8. 将离心率为 的椭圆 ，绕着它的左焦点按顺时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程为 ，则新椭圆的另一条准线方程为（ ）A. B. C. D. 二. 填空题1. 已知 、 是双曲线 的两个焦点，PQ 是经过 且垂直于 轴的双曲线的弦，如果 ，则双曲线的离心率是 。2. 已知点 是椭圆 上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦 AP 的长度最大时，则点 P 的坐标是 。3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，这个正三角形的边长是 。4. 抛物线 的弦 AB 垂直于 轴，若 ，则焦点到 AB
11、 的距离为 。三. 解答题1. 已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。2. 设 AB 是抛物线 上的动弦，且 （ 为常数），求弦 AB 中点 M 到轴的最近距离，并研究 的情况。3. 求抛物线 上的点到直线 的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。【试题答案】一.1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D二. 1. 2. 3. 4. 三. 1. 解： 椭圆的中心在原点，焦点在 轴上 椭圆的方程为标准方程 椭圆的方程可写成把直线 代入椭圆的方程并整理得 弦的中点的横坐标为 ， 所求椭圆的方程为2. （1
12、）解法一：设直线 AB 的方程为 ，A、B 两点的坐标分别为 ，由 得 ，化简得点 M 到 轴的距离为当且仅当 ，即 时“=”成立解法二：设 A、M、B 点的纵坐标分别为 、 、 ，A、M、B 三点在抛物线准线上的射影分别为 、 、由抛物线的定义，知 ， ， 又 M 是线段 AB 的中点 ，等号在AB 过焦点 F 时成立 当定长为 的弦过焦点 F 时，M 点与 轴的距离最近，最近距离为（2）若 ，此时只能用解法一，得令 ，得又 在 上是减函数，在 上是增函数又 ，故 在 上是增函数，故当 即 时，3. 解法一：设 是抛物线上的点，则 当 ， 时， 有最小值 2此时抛物线上点的坐标为解法二：由 无实根，知直线与抛物线没有公共点设与直线 平行的直线为代入 得 设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点 ，解得 ，代入，得 ， ，即点到直线 的距离最近，最近距离
