1、几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过 对求极限ns的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 1 用定义求极限 1根据极限的定义：数列 收敛 a, 0, N ,当 nN 时，有 -nxnxa . 例 1 用定义证明 1limn证明： 要使不等式 = 成立：解得 n ,取 N= ，于0,n11是 N= ， ，有 即,1N1,limn2 利用两边夹定理求极限 例 2 求极限 nnn2222 131lim解：设 nc2221则有： 22221n nn
2、同时有： ，于是 222211ncn由 . 22,1n 22,1nn有 2211nnc已知： =1 1limn nnn2222 13lim3 利用函数的单调有界性求极限 1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例 3 设 ， ， （n=1,2, ）( ),求ax1a2 aaxn 0anlim解：显然 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 x， ， ， 12a23xa 1nnxa从而 ，显然 是单调增加的，所以 12nnxn 2nax两段除以 ，得 这就证明了 的有界性 nx1xan 设 ，对等式 两边去极限，则有 lxn12nna nnxax12limli 解得 al2 4l4 利用无穷
3、小的性质求极限 2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数 f(x)(x 是无穷小，)a函数 g(x)在 U（ 有界，则函数 f(x)*g(x)(x 是无穷小. ),a)a例 求极限 )cos1(cslimxxx解 4 )21sin()2in(2cos x而)21in(x)1(21)si(0 xx而 故 ,0)1(2limxx 0_limn5 应用“两个重要极限”求极限 2exxx)(li,sinl0例 5 求 )1cos(inlmxx解 2sin12i11(sinco)(sinco)()xxx原式= exxx 2sini1)(lim6 利用洛必达法则求极限 2例 6 求 （xx1s
4、inarct2li)0解： = xnsiarctlim1cosli2xn例 7 求极限 （ x3tali2)解 = xtnli2 326coslim2sin6lsico63lim)(cos3li)(talim 2232,2 xxxxxx 7 利用泰勒公式求极限 2例 8：求极限 xxncossi1lim解 中分子为 ，将各函数展开到含 项。 xcsi22 2x当 时， 从而0221o0(),sin0().xx=1- )(0)(21)(021)cos1(cos 222 xxxxx )(0412x(0in1 22原式= )(043lim)(041)(21lim222 xxxnn 8 利用数列求和来
5、求极限 有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。 例 9：求极限 ).21321(limnn 解：令 ，则 s 143225ns- = 从而 1212nns ,21*1n， 原式= nnns211 321limnn9 用定积分求和式的极限 例 10 设函数 f(x)在 上连续，且 f(x) ,求 1,00n nfff)(1)2(.li 2解 令 T= 于是 lnT= =n nfff)()2(.lim )().(1l fff)(l)(l)1(l fff而 dxfnkfTnkn )(l1).(lili 01所以 = n fff)()2(.lim 1
6、0)(lnf10 利用定积分求极限 4利用定积分求极限可分为以下两种形式 （1） 型. nnffffn )()3(2)1(lim定理 1 设 f(x)在 上可积，则有： = 1,0 nnffffn )()3(2)1(lim 10)(dxf例 12 求 nn32lim4解：设 f(x)=x,f(x)在 上可积。则 = = 1,0nn321lim1oxd2（2） 型 . nnff)(2)(lim4定理 2 设 f(x)在 上可积，则有 =epx 1,0nnff)(2)1(li10)(ldxf例 13 求 n!li4解： = n!limn2.1li令 f(x)=x,则有 = =exp = n!lin
7、.lim10lnxde111 利用数列的递推公式求极限 3这种方法实际上包含有两种方法 （1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决. 例 14 设 =1， ，3 （ ，求 1a20412nnaa1)nalim3解：递推公式可化为 3（ )设 ，那么 所以， =1，nnab1 31nb121ab2343232 1,ab 211nnab将以上各式相加得 321n213.53nnna25limna（1） 如果数列极限存在设为 A，则根据递推公式求出 A.令数列的第 n 项记为 A+ ，na利用无穷小和极限的关系，只需证明 （ ，便可确定数列的极限
8、确0na)实存在且就为 A. 例 15 证明数列 2，2+ ，2+ ， 极限存在并求出这个极限 . 21 3解：由题意知递推关系为 ，若数列的极限存在并设为 A，则 A=2+ nna1 1设 ，有递推关系得 1+ ，即 nna21 nn212 nn21)(因为 而11)()1( nnn aaa但 2=1+ ，所以1122nnnna122即 由此推出数列的极限存在并且就为 1+ 1n )(0n12 利用级数收敛的必要条件求极限 1当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限. 收敛的必要条件：若级数 收敛，则 1nu)(0n例 16 计算 2lim(!)n解：作级数 ，令 12)!(n 2(!)nu 10lim1lilim1 neunnn有达朗贝尔判别法知 收敛.又有级数收敛的必要条件 =0 12)!(n 2li(!)n参考文献 陈传璋 金福临 朱学炎 数学分析（第二版）高等教育出版社 .1983.7 1解红霞.浅谈求极限的几种方法.太原教育学院学报.2001.6 第 19 卷第 2 期 2杨曼英 极限的证明与求极限的方法娄底师专学报 1994.第 2 期 3唐守宪 几种求极限的方法沈阳师范学院学报 2003.1 第 22 卷第 1 期4
